Jacob's ladders, new classes of sum variants of almost linear formula and corresponding $\zeta$-functionals and $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theorem

Resumen Técnico: Escaleras de Jacob, Nuevas Clases de Variantes de Sumas de la Fórmula Casi Lineal y Correspondientes $\zeta$-Funcionales y $\zeta$-Equivalentes del Teorema de Fermat-Wiles

1. Planteamiento del Problema
El artículo aborda el análisis estructural de la función zeta de Riemann, centrándose específicamente en la integral de Hardy-Littlewood del módulo al cuadrado de la función de Riemann-Siegel, $Z(t)$, definida como $Z(t) = e^{i\vartheta(t)}\zeta(\frac{1}{2} + it)$. El autor busca derivar nuevas "variantes de suma" de una "fórmula casi lineal" que describe el comportamiento asintótico de esta integral sobre intervalos específicos. Además, el artículo pretende construir nuevas clases de $\zeta$-funcionales y $\zeta$-equivalentes del teorema de Fermat-Wiles (el último teorema de Fermat) basadas en estas propiedades integrales. Una distinción central en este trabajo es el cambio del uso de la secuencia de ceros de $Z(t)$ (denotada como $\{\gamma_k\}$) al uso de la secuencia de Gramm (denotada como $\{t_\nu\}$), definida por las raíces de la ecuación $\vartheta(t) = \nu\pi$.

2. Metodología
La metodología se basa en la teoría de las "escaleras de Jacob", un marco desarrollado en los trabajos previos del autor ([2]–[7]). Los componentes metodológicos clave incluyen:

• Escaleras de Jacob e Iteraciones: El artículo utiliza la función $\varphi_1(T)$ y sus iteraciones (directas e inversas) para definir intervalos $[T, \frac{1}{T}(T)]$, donde $\frac{1}{T}(T) = \varphi_1^{-1}(T)$. Estos intervalos se expanden a medida que $T \to \infty$, comportándose analógicamente a un universo en expansión de Friedmann-Hubble unidimensional.
• Secuencia de Gramm: En lugar de los ceros de $Z(t)$, la construcción se basa en la secuencia $\{t_\nu\}$ donde $\vartheta(t_\nu) = \nu\pi$. El espaciamiento entre estos puntos está gobernado por la fórmula de Titchmarsh: $t_{\nu+1} - t_\nu \sim \frac{2\pi}{\ln t_\nu}$.
• Señales $\zeta$ Rectangulares: El autor define señales rectangulares $A_2(n)$ sobre intervalos $[t_n, t_{n+1}]$ dentro del intervalo de la escalera de Jacob. El área de estos rectángulos se define como $|A_2(n)| = Z_2(\tilde{t}(n))(t_{n+1} - t_n)$, donde $Z_2(t) = |Z(t)|^2$ y $\tilde{t}(n)$ es un punto de valor medio.
• Partición y Sumación: La integral de $Z_2(t)$ sobre el intervalo $[T, \frac{1}{T}(T)]$ se descompone en una suma de estas áreas rectangulares. El artículo descompone además estos rectángulos en rectángulos elementales más pequeños $A_{r,p}^2(n)$ dividiendo equidistantemente las dimensiones de tiempo y amplitud.
• Análisis Asintótico: El artículo emplea estimaciones asintóticas ($T \to \infty$) para derivar límites para sumas de estas áreas y para construir límites funcionales involucrando un parámetro de escala $\tau$.

3. Contribuciones Clave y Resultados

• Cuarta Variante de Suma de la Fórmula Casi Lineal:
  El artículo establece una nueva fórmula asintótica para la suma de las áreas de las señales rectangulares generadas por la secuencia de Gramm:
  $$\sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim (1-c)T, \quad T \to \infty$$
  Esta se identifica como la "cuarta variante de suma" de la fórmula casi lineal del autor, distinta de las variantes previas basadas en los ceros de $Z(t)$.

• Fórmula Canónica para la Media Aritmética:
  Un resultado significativo es la derivación del comportamiento asintótico de la media aritmética de las áreas $|A_2(n)|$. El artículo demuestra:
  $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim 2\pi, \quad T \to \infty$$
  Este resultado se deriva independientemente de cualquier hipótesis no probada. El autor señala que $2\pi$ corresponde al área de un círculo con radio $\sqrt{2}$ o de un rectángulo específico, sugiriendo una oscilación de las áreas de la señal alrededor de esta constante geométrica.

• Nuevos $\zeta$-Funcionales y $\zeta$-Equivalentes de Fermat-Wiles:
  Al aplicar una sustitución $T = \frac{x}{1-c}\tau$, el artículo deriva nuevos funcionales. Para un $x > 0$ fijo:
  $$\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\tilde{t}(n) > \frac{x}{1-c}\tau} |A_2(n)| = x$$
  El artículo extiende esto a los racionales de Fermat ($x = \frac{x^m + y^m}{z^m}$ para $m \ge 3$). Postula una condición donde el límite de la suma escalada no es igual a 1 (o a una fracción específica $l/sq$ para sumas particionadas) en el conjunto de los racionales de Fermat. Esta desigualdad se presenta como un nuevo "$\zeta$-equivalente" del teorema de Fermat-Wiles.

• Segunda Generación de Fórmulas:
  El artículo introduce clases de "segunda generación" de estas fórmulas mediante la partición de las señales rectangulares en $l$ sub-rectángulos. Deriva límites para las sumas de estas sub-áreas, mostrando que convergen a $\frac{l}{sq}x$ (donde $s, q$ son parámetros de partición y $l$ es el número de sub-rectángulos seleccionados).

4. Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que estos resultados representan nuevos conocimientos sobre la estructura de la integral clásica de Hardy-Littlewood. Específicamente:

• Independencia de Hipótesis no Probadas: Una principal reivindicación de significancia es que el resultado respecto a la media aritmética ($2\pi$) para la secuencia de Gramm se mantiene independientemente de cualquier hipótesis no probada (como la Hipótesis de Riemann o la Hipótesis de Mertens).
• Contraste con el Trabajo Previo: El autor contrasta explícitamente este resultado con los derivados de la secuencia de ceros $\{\gamma_k\}$. El resultado análogo para la secuencia basada en ceros (Teorema 10) se muestra como condicional a la hipótesis de Mertens muy fuerte ($M(x) = O(\sqrt{x})$), la cual implica la Hipótesis de Riemann y la simplicidad de los ceros.
• Interpretación Geométrica: El artículo sugiere una interpretación geométrica de los resultados analíticos, vinculando la oscilación de las áreas de energía de la función zeta al constante $2\pi$ y a la geometría de las escaleras de Jacob.

El autor concluye que estos hallazgos proporcionan una nueva clase de incrementos para la integral de Hardy-Littlewood y ofrecen una nueva perspectiva sobre el teorema de Fermat-Wiles a través de los $\zeta$-funcionales generados por la secuencia de Gramm.