Jacob's ladders, new classes of sum variants of almost linear formula and corresponding $\zeta$-functionals and $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theorem

Sintesi Tecnica: Le Scale di Giacobbe, Nuove Classi di Varianti di Somma della Formula Quasi Lineare e Corrispondenti $\zeta$-Funzionali e $\zeta$-Equivalenti del Teorema di Fermat-Wiles

1. Enunciato del Problema
Il saggio affronta l'analisi strutturale della funzione zeta di Riemann, concentrandosi specificamente sull'integrale di Hardy-Littlewood del modulo al quadrato della funzione di Riemann-Siegel, $Z(t)$, definita come $Z(t) = e^{i\vartheta(t)}\zeta(\frac{1}{2} + it)$. L'autore mira a derivare nuove "varianti di somma" di una "formula quasi lineare" che descrive il comportamento asintotico di questo integrale su intervalli specifici. Inoltre, il saggio mira a costruire nuove classi di $\zeta$-funzionali e $\zeta$-equivalenti del teorema di Fermat-Wiles (l'ultimo teorema di Fermat) basandosi su queste proprietà integrali. Una distinzione centrale in questo lavoro è lo spostamento dall'uso della sequenza degli zeri di $Z(t)$ (denotata con $\{\gamma_k\}$) all'uso della sequenza di Gramm (denotata con $\{t_\nu\}$), definita dalle radici dell'equazione $\vartheta(t) = \nu\pi$.

2. Metodologia
La metodologia si basa sulla teoria delle "Scale di Giacobbe" (Jacob's ladders), un quadro sviluppato nei lavori precedenti dell'autore ([2]–[7]). I componenti metodologici chiave includono:

• Scale di Giacobbe e Iterazioni: Il saggio utilizza la funzione $\varphi_1(T)$ e le sue iterazioni (dirette e inverse) per definire intervalli $[T, \frac{1}{T}(T)]$, dove $\frac{1}{T}(T) = \varphi_1^{-1}(T)$. Questi intervalli si espandono all'aumentare di $T \to \infty$, comportandosi analogamente a un universo in espansione di tipo Friedmann-Hubble monodimensionale.
• Sequenza di Gramm: Invece degli zeri di $Z(t)$, la costruzione si basa sulla sequenza $\{t_\nu\}$ dove $\vartheta(t_\nu) = \nu\pi$. La spaziatura tra questi punti è governata dalla formula di Titchmarsh: $t_{\nu+1} - t_\nu \sim \frac{2\pi}{\ln t_\nu}$.
• Segnali $\zeta$ Rettangolari: L'autore definisce segnali rettangolari $A_2(n)$ su intervalli $[t_n, t_{n+1}]$ all'interno dell'intervallo della scala di Giacobbe. L'area di questi rettangoli è definita come $|A_2(n)| = Z_2(\tilde{t}(n))(t_{n+1} - t_n)$, dove $Z_2(t) = |Z(t)|^2$ e $\tilde{t}(n)$ è un punto di valore medio.
• Partizione e Sommazione: L'integrale di $Z_2(t)$ sull'intervallo $[T, \frac{1}{T}(T)]$ viene decomposto in una somma di queste aree rettangolari. Il saggio suddivide ulteriormente questi rettangoli in piccoli rettangoli elementari $A_{r,p}^2(n)$ dividendo equamente le dimensioni temporali e di ampiezza.
• Analisi Asintotica: Il saggio impiega stime asintotiche ($T \to \infty$) per derivare i limiti per le somme di queste aree e per costruire limiti funzionali coinvolgendo un parametro di scala $\tau$.

3. Contributi Chiave e Risultati

• Quarta Variante di Somma della Formula Quasi Lineare:
  Il saggio stabilisce una nuova formula asintotica per la somma delle aree dei segnali rettangolari generati dalla sequenza di Gramm:
  $$\sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim (1-c)T, \quad T \to \infty$$
  Questa è identificata come la "quarta variante di somma" della formula quasi lineare dell'autore, distinta dalle precedenti varianti basate sugli zeri di $Z(t)$.

• Formula Canonica per la Media Aritmetica:
  Un risultato significativo è la derivazione del comportamento asintotico della media aritmetica delle aree $|A_2(n)|$. Il saggio dimostra che:
  $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim 2\pi, \quad T \to \infty$$
  Questo risultato è derivato indipendentemente da qualsiasi ipotesi non provata. L'autore nota che $2\pi$ corrisponde all'area di un cerchio con raggio $\sqrt{2}$ o di un rettangolo specifico, suggerendo un'oscillazione delle aree dei segnali attorno a questa costante geometrica.

• Nuovi $\zeta$-Funzionali e $\zeta$-Equivalenti di Fermat-Wiles:
  Applicando una sostituzione $T = \frac{x}{1-c}\tau$, il saggio deriva nuovi funzionali. Per un valore fissato $x > 0$:
  $$\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\tilde{t}(n) > \frac{x}{1-c}\tau} |A_2(n)| = x$$
  Il saggio estende questo ai razionali di Fermat ($x = \frac{x^m + y^m}{z^m}$ per $m \ge 3$). Esso pone una condizione in cui il limite della somma scalata non è uguale a 1 (o a una specifica frazione $l/sq$ per le somme partizionate) sull'insieme dei razionali di Fermat. Questa non-uguaglianza è presentata come un nuovo "$\zeta$-equivalente" del teorema di Fermat-Wiles.

• Seconda Generazione di Formule:
  Il saggio introduce classi di "seconda generazione" di queste formule partizionando i segnali rettangolari in $l$ sotto-rettangoli. Deriva limiti per le somme di queste sotto-aree, mostrando che esse convergono a $\frac{l}{sq}x$ (dove $s, q$ sono i parametri di partizione e $l$ è il numero di sotto-rettangoli selezionati).

4. Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene che questi risultati rappresentano nuovi approfondimenti nella struttura del classico integrale di Hardy-Littlewood. In particolare:

• Indipendenza da Ipotesi Non Provate: Una principale rivendicazione di importanza è che il risultato riguardante la media aritmetica ($2\pi$) per la sequenza di Gramm sia vero indipendentemente da qualsiasi ipotesi non provata (come l'Ipotesi di Riemann o l'Ipotesi di Mertens).
• Contrasto con il Lavoro Precedente: L'autore confronta esplicitamente questo risultato con quello derivato dalla sequenza degli zeri $\{\gamma_k\}$. Il risultato analogo per la sequenza basata sugli zeri (Teorema 10) è mostrato essere condizionato dalla molto forte ipotesi di Mertens ($M(x) = O(\sqrt{x})$), che implica l'Ipotesi di Riemann e la semplicità degli zeri.
• Interpretazione Geometrica: Il saggio suggerisce un'interpretazione geometrica dei risultati analitici, collegando l'oscillazione delle aree di energia della funzione zeta alla costante $2\pi$ e alla geometria delle scale di Giacobbe.

L'autore conclude che questi risultati forniscono una nuova classe di incrementi per l'integrale di Hardy-Littlewood e offrono una nuova prospettiva sul teorema di Fermat-Wiles attraverso la lente dei $\zeta$-funzionali generati dalla sequenza di Gramm.