Jacob's ladders, new classes of sum variants of almost linear formula and corresponding $\zeta$-functionals and $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theorem

Résumé Technique : Échelles de Jacob, Nouvelles Classes de Variantes de Sommes de Formules Presque Linéaires et $\zeta$-Fonctionnelles et $\zeta$-Équivalents du Théorème de Fermat-Wiles

1. Énoncé du Problème
L'article traite de l'analyse structurelle de la fonction zêta de Riemann, en se concentrant spécifiquement sur l'intégrale de Hardy-Littlewood du carré du module de la fonction de Riemann-Siegel, $Z(t)$, définie par $Z(t) = e^{i\vartheta(t)}\zeta(\frac{1}{2} + it)$. L'auteur cherche à dériver de nouvelles « variantes de sommes » d'une « formule presque linéaire » qui décrit le comportement asymptotique de cette intégrale sur des intervalles spécifiques. De plus, l'article vise à construire de nouvelles classes de $\zeta$-fonctionnelles et de $\zeta$-équivalents du théorème de Fermat-Wiles (le dernier théorème de Fermat) basés sur ces propriétés intégrales. Une distinction centrale dans ce travail est le passage de l'utilisation de la suite des zéros de $Z(t)$ (notée $\{\gamma_k\}$) à l'utilisation de la suite de Gram (notée $\{t_\nu\}$), définie par les racines de l'équation $\vartheta(t) = \nu\pi$.

2. Méthodologie
La méthodologie repose sur la théorie des « échelles de Jacob » (Jacob's ladders), un cadre développé dans les travaux précédents de l'auteur ([2]–[7]). Les composantes méthodologiques clés incluent :

• Échelles de Jacob et Itérations : L'article utilise la fonction $\varphi_1(T)$ et ses itérations (directes et inverses) pour définir des intervalles $[T, \frac{1}{T}(T)]$, où $\frac{1}{T}(T) = \varphi_1^{-1}(T)$. Ces intervalles s'étendent à mesure que $T \to \infty$, se comportant de manière analogue à un univers en expansion de type Friedmann-Hubble unidimensionnel.
• Suite de Gram : Au lieu des zéros de $Z(t)$, la construction est basée sur la suite $\{t_\nu\}$ où $\vartheta(t_\nu) = \nu\pi$. L'espacement entre ces points est régi par la formule de Titchmarsh : $t_{\nu+1} - t_\nu \sim \frac{2\pi}{\ln t_\nu}$.
• Signaux $\zeta$ Rectangulaires : L'auteur définit des signaux rectangulaires $A_2(n)$ sur des intervalles $[t_n, t_{n+1}]$ au sein de l'intervalle de l'échelle de Jacob. L'aire de ces rectangles est définie par $|A_2(n)| = Z_2(\tilde{t}(n))(t_{n+1} - t_n)$, où $Z_2(t) = |Z(t)|^2$ et $\tilde{t}(n)$ est un point de valeur moyenne.
• Partitionnement et Sommation : L'intégrale de $Z_2(t)$ sur l'intervalle $[T, \frac{1}{T}(T)]$ est décomposée en une somme de ces aires rectangulaires. L'article partitionne ensuite ces rectangles en de plus petits rectangles élémentaires $A_{r,p}^2(n)$ en divisant équidistamment les dimensions temporelles et d'amplitude.
• Analyse Asymptotique : L'article emploie des estimations asymptotiques ($T \to \infty$) pour dériver les limites des sommes de ces aires et pour construire des limites fonctionnelles impliquant un paramètre d'échelle $\tau$.

3. Contributions Clés et Résultats

• Quatrième Variante de Somme de la Formule Presque Linéaire :
  L'article établit une nouvelle formule asymptotique pour la somme des aires des signaux rectangulaires générés par la suite de Gram :
  $$\sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim (1-c)T, \quad T \to \infty$$
  Ceci est identifié comme la « quatrième variante de somme » de l'auteur de sa formule presque linéaire, distincte des variantes précédentes basées sur les zéros de $Z(t)$.

• Formule Canonique pour la Moyenne Arithmétique :
  Un résultat significatif est la dérivation du comportement asymptotique de la moyenne arithmétique des aires $|A_2(n)|$. L'article prouve :
  $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim 2\pi, \quad T \to \infty$$
  Ce résultat est dérivé indépendamment de toute hypothèse non prouvée. L'auteur note que $2\pi$ correspond à l'aire d'un cercle de rayon $\sqrt{2}$ ou d'un rectangle spécifique, suggérant une oscillation des aires de signaux autour de cette constante géométrique.

• Nouvelles $\zeta$-Fonctionnelles et $\zeta$-Équivalents de Fermat-Wiles :
  En appliquant une substitution $T = \frac{x}{1-c}\tau$, l'article dérive de nouvelles fonctionnelles. Pour un $x > 0$ fixé :
  $$\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\tilde{t}(n) > \frac{x}{1-c}\tau} |A_2(n)| = x$$
  L'article étend cela aux rationnels de Fermat ($x = \frac{x^m + y^m}{z^m}$ pour $m \ge 3$). Il pose une condition où la limite de la somme mise à l'échelle n'est pas égale à 1 (ou à une fraction spécifique $l/sq$ pour les sommes partitionnées) sur l'ensemble des rationnels de Fermat. Cette non-égalité est présentée comme un nouveau « $\zeta$-équivalent » du théorème de Fermat-Wiles.

• Seconde Génération de Formules :
  L'article introduit des classes de « seconde génération » de ces formules en partitionnant les signaux rectangulaires en $l$ sous-rectangles. Il dérive des limites pour les sommes de ces sous-aires, montrant qu'elles convergent vers $\frac{l}{sq}x$ (où $s, q$ sont les paramètres de partition et $l$ est le nombre de sous-rectangles sélectionnés).

4. Signification et Revendications
L'article affirme que ces résultats représentent de nouvelles perspectives sur la structure de l'intégrale classique de Hardy-Littlewood. Spécifiquement :

• Indépendance vis-à-vis des Hypothèses Non Prouvées : Une revendication de signification primaire est que le résultat concernant la moyenne arithmétique ($2\pi$) pour la suite de Gram est vrai indépendamment de toute hypothèse non prouvée (telle que l'Hypothèse de Riemann ou l'Hypothèse de Mertens).
• Contraste avec les Travaux Précédents : L'auteur contraste explicitement ce résultat avec ceux dérivés de la suite des zéros $\{\gamma_k\}$. Le résultat analogue pour la suite basée sur les zéros (Théorème 10) est montré comme étant conditionnel à la très forte hypothèse de Mertens ($M(x) = O(\sqrt{x})$), laquelle implique l'Hypothèse de Riemann et la simplicité des zéros.
• Interprétation Géométrique : L'article suggère une interprétation géométrique des résultats analytiques, liant l'oscillation des aires d'énergie de la fonction zêta à la constante $2\pi$ et à la géométrie des échelles de Jacob.

L'auteur conclut que ces découvertes fournissent une nouvelle classe d'incréments pour l'intégrale de Hardy-Littlewood et offrent une perspective nouvelle sur le théorème de Fermat-Wiles à travers le prisme des $\zeta$-fonctionnelles générées par la suite de Gram.