Simulation of PBH formation in a matter-dominated universe

Technische Zusammenfassung: Simulation der PBH-Bildung in einem materiedominierten Universum

Problemstellung
Die Bildung von Primordialen Schwarzen Löchern (PBHs) reagiert hochsensibel auf den Zustandsgleichung der dominanten kosmischen Komponente. Während die PBH-Bildung während der strahlungsdominierten Ära relativ gut verstanden ist, bleibt der Prozess während einer frühen materiedominierten Epoche weniger gesichert. In einer materiedominierten Ära sind Druckgradienten vernachledigbar, was es überdichten Regionen ermöglicht, leichter zu kollabieren. Kriterien für die PBH-Bildung werden jedoch signifikant durch nicht-sphärische Dynamik, Inhomogenität und Elliptizität beeinflusst. Vorherige analytische Schätzungen stützen sich oft auf perturbative Approximationen oder die Zel'dovich-Approximation, welche im hochgradig nichtlinearen Regime des Gravitationskollapses möglicherweise nicht gültig sind. Eine große Herausforderung bei der Untersuchung dieses Regimes ist die Implementierung nicht-sphärischer Symmetrie in numerischen Simulationen, insbesondere beim Umgang mit Staubflüssigkeiten, bei denen Shell-Crossing-Singularitäten zu numerischen Abstürzen führen, bevor die Horizonte Schwarzer Löcher vollständig aufgelöst werden können.

Methodik
Die Autoren verwenden die voll nichtlineare numerische Relativitätstheorie unter Verwendung des Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN)-Formalismus, um die PBH-Bildung in einem expandierenden, materiedominierten Hintergrund zu simulieren.

• Anfangsbedingungen: Die Simulationen nutzen eine funktionale Form der Krümmungsstörung $\zeta$, die Elliptizität beinhaltet und somit triaxiale Konfigurationen erzeugt. Die Anfangsdaten werden mittels Langwellen-Gradientenexpansionslösungen für eine Staubflüssigkeit konstruiert, die durch einen Amplitudenparameter $\mu$ und Elliptizitätsparameter ($e, p$) charakterisiert sind.
• Gauge und Koordinaten: Es wird eine neuartige Zeit-Slicing-Bedingung angewandt, die von einer auf der E-Folding-Zahl basierenden Gauge zu einer Singularitäts-vermeidenden „1+log“-artigen Slicing übergeht, sobald der Horizont-Eintritt näher rückt. Ein nicht-kartesisches Koordinatensystem wird verwendet, um den zentralen Bereich der Simulationsbox zu vergrößern, was die Auflösung dort verbessert, wo der Kollaps stattfindet.
• Materiebeschreibungen: Zwei verschiedene Materiemodelle werden getestet:
  1. Staubflüssigkeit: Eine drucklose Fluidbeschreibung. Die Autoren stellen fest, dass diese Beschreibung zwangsläufig zu Shell-Crossing-Singularitäten führt, bei denen die Fluiddichte divergiert, was zum Absturz des numerischen Codes führt.
  2. Kollisionslose Teilchen: Um das Versagen der Fluid-Approximation zu umgehen, implementieren die Autoren einen Particle-in-Cell (PIC)-Ansatz innerhalb der vollen numerischen Relativitätstheorie. Teilchen werden Massen zugewiesen, um die gewünschte Dichteinhomogenität zu reproduzieren, und ihre Bewegung wird durch Geodäten-Gleichungen bestimmt. Dies ermöglicht es der Simulation, über den Punkt hinaus fortzufahren, an dem Fluid-Elemente kreuzen würden.

Wesentliche Ergebnisse

• Validierung der sphärischen Symmetrie: Der Code wurde gegen die Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)-Lösung für den sphärisch symmetrischen Staubkollaps validiert. Die numerischen Ergebnisse reproduzierten die analytische Lösung erfolgreich bis zum Punkt der Horizontbildung und identifizierten korrekt die Schwelle zwischen lokal nackten Singularitäten (PBH-Bildung) und global nackten Singularitäten.
• Staubflüssigkeits-Simulationen (Nicht-sphärisch):
  • Für den triaxialen Kollaps stürzen die Staubflüssigkeits-Simulationen aufgrund von Shell-Crossing-Singularitäten ab, bevor ein scheinbarer Horizont entstehen kann, es sei denn, die Anfangsamplitude $\mu$ ist signifikant groß.
  • Die erforderliche Schwellenamplitude, um die Horizontbildung vor dem Absturz des Codes zu beobachten, liegt etwa beim Zweifachen des Wertes, der zuvor durch analytische Schätzungen basierend auf der Zel'dovich-Approximation und der Hoop-Vermutung vorhergesagt wurde.
  • Dies deutet darauf hin, dass die PBH-Bildung innerhalb des gültigen Bereichs der Fluid-Approximation schwieriger zu erreichen ist als bisher angenommen.
• Kollisionslose Teilchen-Simulationen:
  • Bei der Modellierung desselben Systems mit kollisionslosen Teilchen stürzen die Simulationen nicht bei Shell-Crossing ab.
  • Die Bildung eines Schwarzen Lochs (angezeigt durch die Bildung eines scheinbaren Horizonts) wird bereits bei Anfangsamplituden von $\mu \approx 0,045$ (für Elliptizität $e=0,2$) beobachtet.
  • Dieser Schwellenwert ist um eine Größenordnung kleiner als die vorherigen analytischen Schätzungen und signifikant niedriger als der aus den Staubflüssigkeits-Simulationen abgeleitete Schwellenwert.
  • Jedoch zeigen die Teilchen-Simulationen signifikante Verletzungen der Hamiltonian-Constraint nach den Teilchen-Intersektionen, was darauf hindeutet, dass die quantitative Genauigkeit der Spätzeit-Evolution zwar durch die Diskrepanz zwischen der Teilchenbeschreibung und der Geometrie begrenzt ist, der Kollaps jedoch dennoch voranschreitet.

Bedeutung und Ansprüche
Das Paper beansprucht zu zeigen, dass eine große theoretische Unsicherheit im PBH-Bildungskriterium während einer materiedominierten Epoche besteht, welche von der physikalischen Beschreibung des Materiefeldes abhängt:

1. Grenze der Fluid-Approximation: Wenn die mit Shell-Crossing assoziierten Singularitäten in einer Fluidbeschreibung als physikalischer Unterdrückungsmechanismus interpretiert werden (oder wenn die Fluid-Approximation vor dem Kollaps zusammenbricht), ist die Schwelle für die PBH-Bildung signifikant höher als die analytischen Vorhersagen, was die PBH-Bildung erschwert.
2. Teilchendynamik: Wenn die Beschreibung durch kollisionslose Teilchen als gültige Erweiterung über die Single-Stream-Fluid-Approximation akzeptiert wird, wird die PBH-Bildung viel einfacher (niedrigere Schwelle) als erwartet.
3. Theoretische Unsicherheit: Die Diskrepanz zwischen den Fluid- und Teilchen-Ergebnissen verdeutlicht, dass die Standard-Analytik-Kriterien (Zel'dovich-Approximation) die nichtlineare Dynamik des triaxialen Kollapses möglicherweise nicht korrekt erfassen. Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass der Schwellenwert hochsensibel auf die Behandlung des Materiefeldes bei hohen Dichten reagiert.

Das Paper behauptet nicht, die PBH-Abundanz definitiv zu klären, sondern vielmehr die Sensitivität der Bildungs-Schwellenwerte gegenüber dem zugrunde liegenden Materiemodell und der numerischen Behandlung von Singularitäten aufzuzeigen. Zukünftige Arbeiten werden als notwendig identifiziert, um die Behandlungen hoher Dichten zu verfeinern, die Erhaltung der Constraints in Teilchen-Simulationen zu verbessern und die daraus resultierende PBH-Abundanz sowie Gravitationswellen-Signaturen zu quantifizieren.