Weak solutions to the Navier-Stokes equations for steady compressible non-Newtonian fluids

Resumen Técnico: Soluciones Débiles para las Ecuaciones de Navier-Stokes Estacionarias para Fluidos No Newtonianos Compresibles

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia de soluciones débiles para el sistema de Navier-Stokes estacionario que gobierna los fluidos compresibles, barotrópicos y no newtonianos en un dominio acotado $C^2$ $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ (donde $d \in \{2, 3\}$). El sistema está definido por la ecuación de continuidad $\text{div}(\varrho u) = 0$ y la ecuación de cantidad de movimiento:
$$\text{div}(\varrho u \otimes u) - \text{div} S(Du) + \nabla p(\varrho) = \varrho f + g,$$
con condiciones de contorno de no deslizamiento $u=0$ en $\partial\Omega$. La presión sigue una ley $\gamma$, $p(\varrho) = \varrho^\gamma$ (con $\gamma > 1$), y el tensor de esfuerzo viscoso $S(Du)$ es una función no lineal del gradiente simétrico $Du$. Los autores asumen que $S$ satisface condiciones de monotonía y de crecimiento de tipo ley de potencia con exponente $r > 1$.

El principal desafío matemático abordado es la existencia de soluciones cuando el tensor de esfuerzo es no newtoniano (específicamente fluidos de ley de potencia) y el fluido es compresible. En el caso compresible, obtener soluciones débiles es significativamente más difícil que en el caso incompresible debido a la necesidad de controlar las oscilaciones de la secuencia de densidad. Los resultados previos para fluidos no newtonianos compresibles a menudo dependían de suposiciones estructurales que aseguraban que la divergencia de la velocidad perteneciera a $L^\infty$ o que el tensor de esfuerzo fuera "casi isotrópico". Este trabajo tiene como objetivo eliminar la restricción de "casi isotrópico" para los fluidos de ley de potencia.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de regularización y paso al límite, construyendo soluciones como límites de sistemas aproximados. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Sistemas Aproximados: Los autores introducen un sistema regularizado que involucra los parámetros $\alpha, \delta, \varepsilon, \eta$. Este sistema incluye términos de viscosidad artificial ($-\varepsilon \Delta \varrho$), términos de presión artificial y términos convectivos suavizados ($\omega_\delta * T_\delta(u)$) para asegurar la existencia de soluciones suaves mediante el teorema del punto fijo de Leray-Schauder.
2. Estimaciones Uniformes: Una parte crítica de la prueba consiste en derivar cotas uniformes para las soluciones aproximadas $(\varrho_\varepsilon, u_\varepsilon)$ independientes de los parámetros de regularización. Los autores establecen cotas en $L^{\frac{r\gamma}{r-1}}(\Omega)$ para la densidad y en $W^{1,r}_0(\Omega)$ para la velocidad. La prueba distingue entre los casos $r < d$, $r = d$ y $r > d$, utilizando las inserciones de Sobolev y el operador de Bogovskii para probar la ecuación de cantidad de movimiento.
3. Convergencia Fuerte e Identificación de Límites: La dificultad central radica en pasar al límite en los términos no lineales, específicamente identificando los límites débiles $S(Du)$y$\varrho^\gamma$ con las funciones no lineales de los límites débiles.
   • Identidad de Energía: Los autores derivan una identidad de energía local probando la ecuación de cantidad de movimiento con $\varphi u_\varepsilon$. Al restar la identidad de energía del sistema límite, obtienen una relación que involucra la medida de defecto $S(Du) : Du - S(Du) : Du$.
   • Argumento de Teoría de la Medida: Una innovación clave es el manejo del término singular $(\varrho^\gamma)^{\frac{1}{\gamma}-1}$ en la identidad de energía. En lugar de depender de estimaciones de mayor integrabilidad para $\nabla u$ (que requerían suposiciones de "casi isotropía" en trabajos previos como [7]), los autores aplican un argumento de teoría de la medida basado en el teorema de Egorov. Demuestran que para cualquier $\eta > 0$, existe un conjunto compacto $\Omega_\eta$ donde la medida de defecto se anula. Esto les permite establecer la convergencia fuerte de $\nabla u_\varepsilon$ a $\nabla u$ en $L^p(\Omega)$ para $p < r$.
   • Convergencia de la Densidad: Una vez establecida la convergencia fuerte del gradiente de velocidad, la convergencia fuerte de la densidad se recupera analizando la ecuación de cantidad de movimiento como una ecuación de Poisson para la presión, utilizando la convergencia fuerte del tensor de esfuerzo y de los términos convectivos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia para Fluidos de Ley de Potencia: El artículo demuestra la existencia de soluciones débiles para fluidos no newtonianos compresibles estacionarios con tensores de ley de potencia. El resultado principal (Teorema 1.3) se cumple bajo las condiciones:

  • $d > r > \frac{3d}{d+2}$ y $\gamma > \frac{d(r-1)}{(d+2)r - 3d}$, O
  • $d \leq r$ y $\gamma > 1$.
    Esto generaliza los resultados previos al eliminar el requisito de que el fluido sea "casi isotrópico", una condición previamente necesaria para controlar las oscilaciones de la densidad.

• Estabilidad: El Teorema 1.4 establece la estabilidad de estas soluciones débiles con respecto a los términos fuente $f$ y $g$. Si los términos fuente convergen débilmente-*, la secuencia correspondiente de soluciones converge fuertemente para la densidad y el gradiente de velocidad (en $L^p$ para $p < r$).

• Fluidos de Herschel-Bulkley: Los autores extienden sus resultados a los fluidos de Herschel-Bulkley, que poseen una parte singular en su viscosidad (comportamiento viscoplástico). El Teorema 1.5 establece la existencia de soluciones débiles para un modelo discretizado en el tiempo de estos fluidos, donde el tensor de esfuerzo incluye un término de tensión de fluencia $\tau^*$. Este resultado se presenta como un paso hacia la construcción de soluciones para el caso no estacionario.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver la cuestión abierta de la existencia de fluidos no newtonianos de ley de potencia compresibles estacionarios con presión de ley $\gamma$ sin imponer restricciones estructurales de "casi isotropía" al tensor de esfuerzo. Los autores señalan explícitamente que, si bien Zhikov y Pastukhova [41] propusieron una identidad similar (relacionando defectos de energía con oscilaciones de densidad) para el caso no estacionario, permanecía sin llenar un vacío en su argumento respecto a la justificación rigurosa del producto de medidas y funciones (como se nota en [20]).

La contribución de los autores reside en proporcionar una justificación rigurosa de esta identidad para el caso estacionario utilizando el teorema de Egorov y la localización de la teoría de la medida, evitando así la necesidad de una mayor integrabilidad del gradiente de velocidad. Afirman que su método permite la recuperación de la convergencia fuerte para la densidad y el gradiente de velocidad bajo condiciones más amplias de lo que era posible anteriormente. El trabajo se enmarca como un paso fundacional, particularmente para los resultados de Herschel-Bulkley, hacia el caso no estacionario (evolutivo) más complejo, el cual sigue siendo un problema abierto para el entorno general no newtoniano.