Weak solutions to the Navier-Stokes equations for steady compressible non-Newtonian fluids

技術要約：圧縮性非ニュートン流体における定常ナビエ・ストークス方程式の弱解

問題設定
本論文は、有界な $C^2$ ドメイン $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ （ここで $d \in \{2, 3\}$）における、圧縮性かつバロトロピックな非ニュートン流体を支配する定常ナビエ・ストークス系の弱解の存在について調査している。系は、連続の式 $\text{div}(\varrho u) = 0$ と、運動量方程式：
$$\text{div}(\varrho u \otimes u) - \text{div} S(Du) + \nabla p(\varrho) = \varrho f + g,$$
によって定義される。境界条件には、$\partial\Omega$ 上での滑りなし条件 $u=0$ を用いる。圧力は $\gamma$-則 $p(\varrho) = \varrho^\gamma$ （$\gamma > 1$）に従うものとし、粘性応力テンソル $S(Du)$は対称勾配$Du$の非線形関数である。著者らは、$S$が指数$r > 1$ の冪乗則（パワーロー）の成長条件と単調性を満たすと仮定している。

数学的な主要課題は、応力テンソルが非ニュートン（具体的にはパワーロー流体）であり、かつ流体が圧縮性である場合の存在性である。圧縮性の場合は、密度の振動を制御する必要があるため、非圧縮性のケースよりも弱解の取得が著しく困難になる。圧縮性非ニュートン流体に関するこれまでの結果の多くは、速度のダイバージェンスが $L^\infty$ に属することや、応力テンソルが「ほぼ等方的（almost isotropic）」であるといった構造的仮定に依存していた。本研究は、パワーロー流体に対するこの「ほぼ等方的」という制限を取り除くことを目的としている。

手法
著者らは、近似解の極限として解を構成する、正則化および極限通過戦略を採用している。手法は以下の3つの段階で進められる。

1. 近似系： 著者らは、パラメータ $\alpha, \delta, \varepsilon, \eta$ を含む正則化された系を導入する。この系には、人工粘性項（$-\varepsilon \Delta \varrho$）、人工圧力項、およびレレイ・シャウダーの不動点定理による滑らかな解の存在を保証するための平滑化された対流項（$\omega_\delta * T_\delta(u)$）が含まれる。
2. 一様評価： 証明の極めて重要な部分は、正則化パラメータに依存しない近似解 $(\varrho_\varepsilon, u_\varepsilon)$ の一様有界性を導出することである。著者らは、密度に対して $L^{\frac{r\gamma}{r-1}}(\Omega)$、速度に対して $W^{1,r}_0(\Omega)$ における有界性を確立する。証明では、ソボレフ埋め込みとボゴフスキー作用素を用いて運動量方程式をテストすることにより、$r < d$、$r = d$、$r > d$ の各ケースを区別して扱う。
3. 強収束と極限の特定： 非線形項、特に $S(Du)$および$\varrho^\gamma$ の弱極限を特定することが核心的な困難となる。
   • エネルギー恒等式： 運動量方程式に $\varphi u_\varepsilon$ をテストすることで、局所的なエネルギー恒等式を導出する。極限系のエネルギー恒等式を差し引くことで、欠損測度 $S(Du) : Du - S(Du) : Du$ に関する関係式を得る。
   • 測度論的議論： 本研究の主要な革新は、エネルギー恒等式における特異項 $(\varrho^\gamma)^{\frac{1}{\gamma}-1}$ の取り扱いである。先行研究［7］のように $\nabla u$ の高次可積分性を求める代わりに、著者らはエゴロフの定理に基づく測度論的な議論を適用する。任意の $\eta > 0$ に対して、欠損測度が消滅するコンパクト集合 $\Omega_\eta$ が存在することを証明する。これにより、$\nabla u_\varepsilon$ が $p < r$ において $\nabla u$ へ強収束することを確立できる。
   • 密度の収束： 速度勾配の強収束が確立されると、応力テンソルと対流項の強収束を利用して、運動量方程式を圧力に関するポアソン方程式として解析することで、密度の強収束を回収する。

主な貢献と結果

• パワーロー流体の存在性： 本論文は、パワーロー応力テンソルを持つ定常圧縮性非ニュートン流体の弱解の存在を証明している。主要な結果（定理 1.3）は、以下の条件の下で成立する：

  • $d > r > \frac{3d}{d+2}$ かつ $\gamma > \frac{d(r-1)}{(d+2)r - 3d}$、または
  • $d \leq r$ かつ $\gamma > 1$。
    これは、「ほぼ等方的」という条件を排除することで、従来の結果を一般化したものである。この条件は、以前は密度の振動を制御するために必要であった。

• 安定性： 定理 1.4 は、ソース項 $f$ および $g$ に対するこれらの弱解の安定性を確立している。ソース項が弱-*収束する場合、対応する解の列は密度および速度勾配（$p < r$ における $L^p$）に関して強収束する。

• ハーシェル・バルクレー流体： 著者らは、粘性に特異部分（塑性挙動）を持つハーシェル・バルクレー流体へと結果を拡張している。定理 1.5 は、応力テンソルに降伏応力項 $\tau^*$ を含むこれらの流体の時間離散化モデルにおける弱解の存在を確立している。この結果は、非定常の場合の解を構築するためのステップとして提示されている。

意義と主張
本論文は、応力テンソルに対して「ほぼ等方的」な構造的制約を課すことなく、$\gamma$-則圧力を伴う定常圧縮性非ニュートン・パワーロー流体の存在という未解決問題の解決を主張している。著者らは、同様の恒等式（エネルギー欠損と密度の振動を関連付けるもの）が Zhikov および Pastukhova［41］によって非定常の場合に提案されていたが、測度と関数の積の厳密な正当化に関する議論に空白があったこと（［20］で指摘されている）を明記している。

著者らの貢献は、エゴロフの定理と測度論的な局在化を用いることで、この恒等式を定常の場合において厳密に正当化し、速度勾配の高次可積分性を必要とせずに済むようにした点にある。彼らは、自身の手法が、以前よりも広い条件下で密度と速度勾配の強収束を回復できることを述べている。本研究は、より複雑な非定常（発展的）なケース（一般的な非ニュートン設定においては依然として未解決の問題である）へのステップとして、ハーシェル・バルクレーの結果に向けた基礎的な枠組みとして位置づけられている。