Weak solutions to the Navier-Stokes equations for steady compressible non-Newtonian fluids

Technische Samenvatting: Zwakke oplossingen voor de stationaire Navier-Stokes-vergelijkingen voor samendrukbare niet-Newtoniaanse vloeistoffen

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de existentie van zwakke oplossingen voor het stationaire Navier-Stokes-systeem dat de stroming van samendrukbare, barotrope, niet-Newtoniaanse vloeistoffen regelt op een begrensde, $C^2$ domein $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ (waarbij $d \in \{2, 3\}$). Het systeem wordt gedefinieerd door de continuïteitsvergelijking $\text{div}(\varrho u) = 0$ en de impulsvergelijking:
$$\text{div}(\varrho u \otimes u) - \text{div} S(Du) + \nabla p(\varrho) = \varrho f + g,$$
met no-slip randvoorwaarden $u=0$ op $\partial\Omega$. De druk volgt een $\gamma$-wet, $p(\varrho) = \varrho^\gamma$ (met $\gamma > 1$) en de viskeuze spanningsctor $S(Du)$ is een niet-lineaire functie van de symmetrische gradiënt $Du$. De auteurs nemen aan dat $S$ voldoet aan monotoniciteits- en machtswet-groeicondities met exponent $r > 1$.

De primaire wiskundige uitdaging die wordt aangepakt, is de existentie van oplossingen wanneer de spanningsctor niet-Newtoniaans is (specifiek machtswet-vloeistoffen) en de vloeistof samendrukbaar is. In het samendrukbare geval is het verkrijgen van zwakke oplossingen aanzienlijk moeilijker dan in het onsamendrukbare geval, vanwege de noodzaak om de oscillaties van de dichtheidssequentie te beheersen. Eerdere resultaten voor samendrukbare niet-Newtoniaanse vloeistoffen vertrouwden vaak op structurele aannames die garandeerden dat de divergentie van de snelheid tot $L^\infty$ behoorde of dat de spanningsctor "bijna isotroop" was. Dit werk beoogt de "bijna isotrope" restrictie voor machtswet-vloeistoffen te verwijderen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een regularisatie- en limietpassage-strategie, waarbij oplossingen worden geconstrueerd als limieten van benaderde systemen. De methodologie verloopt in drie hoofdfasen:

1. Benaderde systemen: De auteurs introduceren een geregulariseerd systeem met parameters $\alpha, \delta, \varepsilon, \eta$. Dit systeem bevat kunstmatige viscositeitstermen ($-\varepsilon \Delta \varrho$), kunstmatige druktermen en gemollificeerde convectieve termen ($\omega_\delta * T_\delta(u)$) om de existentie van gladde oplossingen te waarborgen via de Leray-Schauder vaste-puntstelling.
2. Uniforme schattingen: Een cruciaal onderdeel van het bewijs is het afleiden van uniforme grenzen voor de benaderde oplossingen $(\varrho_\varepsilon, u_\varepsilon)$ onafhankelijk van de regularisatieparameters. De auteurs stellen grenzen vast in $L^{\frac{r\gamma}{r-1}}(\Omega)$ voor de dichtheid en $W^{1,r}_0(\Omega)$ voor de snelheid. Het bewijs maakt onderscheid tussen gevallen waar $r < d$, $r = d$, en $r > d$, gebruikmakend van Sobolev-insluitingen en de Bogovskii-operator om de impulsvergelijking te testen.
3. Sterke convergentie en identificatie van limieten: De kern van de moeilijkheid ligt in het overgaan naar de limiet in de niet-lineaire termen, specifiek het identificeren van de zwakke limieten $S(Du)$ en $\varrho^\gamma$ met de niet-lineaire functies van de zwakke limieten.
   • Energie-identiteit: De auteurs leiden een lokale energie-identiteit af door de impulsvergelijking te testen met $\varphi u_\varepsilon$. Door de energie-identiteit van het limiet-systeem af te trekken, verkrijgen zij een relatie met de defectmaat $S(Du) : Du - S(Du) : Du$.
   • Maattheoretische argumentatie: Een belangrijke innovatie is de behandeling van de singuliere term $(\varrho^\gamma)^{\frac{1}{\gamma}-1}$ in de energie-identiteit. In plaats van te vertrouwen op hogere integreerbaarheidsschattingen voor $\nabla u$ (die "bijna isotrope" aannames vereisten in eerder werk zoals [7]), passen de auteurs een maattheoretisch argument toe gebaseerd op de stelling van Egorov. Zij bewijzen dat er voor elke $\eta > 0$ een compacte verzameling $\Omega_\eta$ bestaat waar de defectmaat verdwijnt. Dit stelt hen in staat om de sterke convergentie van $\nabla u_\varepsilon$ naar $\nabla u$ in $L^p(\Omega)$ vast te stellen voor $p < r$.
   • Dichtheidsconvergentie: Zodra de sterke convergentie van de snelheidsgradiënt is vastgesteld, wordt de sterke convergentie van de dichtheid teruggewonnen door de impulsvergelijking te analyseren als een Poisson-vergelijking voor de druk, gebruikmakend van de sterke convergentie van de spanningsctor en de convectieve termen.

Belangrijkste bijdragen en resultaten

• Existentie voor machtswet-vloeistoffen: Het artikel bewijst de existentie van zwakke oplossingen voor stationaire samendrukbare niet-Newtoniaanse machtswet-vloeistoffen. Het hoofdbestanddeel (Stelling 1.3) is geldig onder de condities:

  • $d > r > \frac{3d}{d+2}$ en $\gamma > \frac{d(r-1)}{(d+2)r - 3d}$, OF
  • $d \leq r$ en $\gamma > 1$.
    Dit generaliseert eerdere resultaten door de vereiste dat de vloeistof "bijna isotroop" moet zijn, een conditie die voorheen noodzakelijk was om de oscillaties van de dichtheid te beheersen, te verwijderen.

• Stabiliteit: Stelling 1.4 vestigt de stabiliteit van deze zwakke oplossingen met betrekking tot de brontermen $f$ en $g$. Als de brontermen zwak-* convergeren, convergeert de bijbehorende sequentie van oplossingen sterk voor de dichtheid en de snelheidsgradiënt (in $L^p$ voor $p<r$).

• Herschel-Bulkley vloeistoffen: De auteurs breiden hun resultaten uit naar Herschel-Bulkley vloeistoffen, die een singulier deel in hun viscositeit bezitten (viscoplastisch gedrag). Stelling 1.5 vestigt de existentie van zwakke oplossingen voor een tijd-gediscretiseerd model van deze vloeistoffen, waarbij de spanningsctor een yield-stress term $\tau^*$ bevat. Dit resultaat wordt gepresenteerd als een stap naar het construeren van oplossingen voor het niet-stationaire geval.

Betekenis en claims
Het artikel beweert de openstaande vraag over de existentie van stationaire samendrukbare niet-Newtoniaanse machtswet-vloeistoffen met $\gamma$-wet druk op te lossen zonder structurele beperkingen van "bijna isotropie" op de spanningsctor op te leggen. De auteurs merken expliciet op dat hoewel een vergelijkbare identiteit (die de relatie tussen energiedefecten en dichtheidsoscillaties beschrijft) door Zhikov en Pastukhova [41] voor het niet-stationaire geval werd voorgesteld, een gat in hun argumentatie met betrekking tot de rigoureuze rechtvaardiging van het product van maten en functies ongevuld bleef (zoals opgemerkt in [20]).

De bijdrage van de auteurs ligt in het leveren van een rigoureuze rechtvaardiging van deze identiteit voor het stationaire geval met behulp van de stelling van Egorov en maattheoretische lokalisatie, waardoor de noodzaak voor hogere integreerbaarheid van de snelheidsgradiënt wordt omzeild. Zij stellen dat hun methode het mogelijk maakt om sterke convergentie voor de dichtheid en de snelheidsgradiënt te herstellen onder bredere condities dan voorheen mogelijk was. Het werk wordt geframed als een fundamentele stap, met name voor de Herschel-Bulkley resultaten, richting het complexere niet-stationaire (evolutionaire) geval, dat een openstaand probleem blijft voor de algemene niet-Newtoniaanse setting.