Weak solutions to the Navier-Stokes equations for steady compressible non-Newtonian fluids

Resumo Técnico: Soluções Fracas para as Equações de Navier-Stokes Estacionárias para Fluidos Não-Newtonianos Compressíveis

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a existência de soluções fracas para o sistema de Navier-Stokes estacionário que governa fluidos compressíveis, barotrópicos e não-newtonianos em um domínio limitado, $C^2$, $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ (onde $d \in \{2, 3\}$). O sistema é definido pela equação de continuidade $\text{div}(\varrho u) = 0$ e pela equação de momento:
$$\text{div}(\varrho u \otimes u) - \text{div} S(Du) + \nabla p(\varrho) = \varrho f + g,$$
com condições de contorno de não-deslizamento $u=0$ em $\partial\Omega$. A pressão segue uma lei $\gamma$, $p(\varrho) = \varrho^\gamma$ (com $\gamma > 1$), e o tensor de tensão viscosa $S(Du)$ é uma função não-linear do gradiente simétrico $Du$. Os autores assumem que $S$ satisfaz condições de monotonicidade e de crescimento de lei de potência com expoente $r > 1$.

O principal desafio matemático abordado é a existência de soluções quando o tensor de tensão é não-newtoniano (especificamente fluidos de lei de potência) e o fluido é compressível. No caso compressível, obter soluções fracas é significativamente mais difícil do que no caso incompressível devido à necessidade de controlar as oscilações da sequência de densidade. Resultados anteriores para fluidos não-newtonianos compressíveis frequentemente dependiam de suposições estruturais que garantiam que a divergência da velocidade pertencesse a $L^\infty$ ou que o tensor de tensão fosse "quase isotrópico". Este trabalho visa remover a restrição "quase isotrópica" para fluidos de lei de potência.

Metodologia
Os autores empregam uma estratégia de regularização e passagem ao limite, construindo soluções como limites de sistemas aproximados. A metodologia procede em três estágios principais:

1. Sistemas Aproximados: Os autores introduzem um sistema regularizado envolvendo os parâmetros $\alpha, \delta, \varepsilon, \eta$. Este sistema inclui termos de viscosidade artificial ($-\varepsilon \Delta \varrho$), termos de pressão artificial e termos convectivos suavizados ($\omega_\delta * T_\delta(u)$) para garantir a existência de soluções suaves via teorema do ponto fixo de Leray-Schauder.
2. Estimativas Uniformes: Uma parte crítica da prova envolve derivar limites uniformes para as soluções aproximadas $(\varrho_\varepsilon, u_\varepsilon)$ independentes dos parâmetros de regularização. Os autores estabelecem limites em $L^{\frac{r\gamma}{r-1}}(\Omega)$ para a densidade e $W^{1,r}_0(\Omega)$ para a velocidade. A prova distingue os casos em que $r < d$, $r = d$ e $r > d$, utilizando imersões de Sobolev e o operador de Bogovskii para testar a equação de momento.
3. Convergência Forte e Identificação de Limites: A dificuldade central reside em passar ao limite nos termos não-lineares, especificamente identificando os limites fracos $S(Du)$e$\varrho^\gamma$ com as funções não-lineares dos limites fracos.
   • Identidade de Energia: Os autores derivam uma identidade de energia local testando a equação de momento com $\varphi u_\varepsilon$. Ao subtrair a identidade de energia do sistema limite, obtêm uma relação envolvendo a medida de defeito $S(Du) : Du - S(Du) : Du$.
   • Argumento de Teoria da Medida: Uma inovação fundamental é o tratamento do termo singular $(\varrho^\gamma)^{\frac{1}{\gamma}-1}$ na identidade de energia. Em vez de depender de estimativas de maior integrabilidade para $\nabla u$ (que exigiam suposições de "quase isotropia" em trabalhos anteriores como [7]), os autores aplicam um argumento de teoria da medida baseado no teorema de Egorov. Eles provam que, para qualquer $\eta > 0$, existe um conjunto compacto $\Omega_\eta$ onde a medida de defeito desaparece. Isso permite estabelecer a convergência forte de $\nabla u_\varepsilon$ para $\nabla u$ em $L^p(\Omega)$ para $p < r$.
   • Convergência da Densidade: Uma vez estabelecida a convergência forte do gradiente de velocidade, a convergência forte da densidade é recuperada analisando a equação de momento como uma equação de Poisson para a pressão, utilizando a convergência forte do tensor de tensão e dos termos convectivos.

Contribuições Principais e Resultados

• Existência para Fluidos de Lei de Potência: O artigo prova a existência de soluções fracas para fluidos compressíveis não-newtonianos de lei de potência com tensores de tensão de lei de potência. O principal resultado (Teorema 1.3) sustenta-se sob as condições:

  • $d > r > \frac{3d}{d+2}$ e $\gamma > \frac{d(r-1)}{(d+2)r - 3d}$, OU
  • $d \leq r$ e $\gamma > 1$.
    Isso generaliza resultados anteriores ao remover a exigência de que o fluido seja "quase isotrópico", uma condição anteriormente necessária para controlar as oscilações da densidade.

• Estabilidade: O Teorema 1.4 estabelece a estabilidade dessas soluções fracas em relação aos termos de fonte $f$ e $g$. Se os termos de fonte convergem fracamente-*, a sequência correspondente de soluções converge fortemente para a densidade e o gradiente de velocidade (em $L^p$ para $p<r$).

• Fluidos de Herschel-Bulkley: Os autores estendem seus resultados para fluidos de Herschel-Bulkley, que possuem uma parte singular em sua viscosidade (comportamento viscoplástico). O Teorema 1.5 estabelece a existência de soluções fracas para um modelo de tempo-discretizado desses fluidos, onde o tensor de tensão inclui um termo de tensão de escoamento $\tau^*$. Este resultado é apresentado como um passo para a construção de soluções para o caso não-estacionário.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver a questão aberta da existência de fluidos não-newtonianos de lei de potência estacionários com pressão de lei $\gamma$ sem impor restrições estruturais de "quase isotropia" ao tensor de tensão. Os autores explicitamente observam que, embora uma identidade semelhante (relacionando defeitos de energia a oscilações de densidade) tenha sido proposta por Zhikov e Pastukhova [41] para o caso não-estacionário, uma lacuna em seu argumento referente à justificativa rigorosa do produto de medidas e funções permaneceu não preenchida (como observado em [20]).

A contribuição dos autores reside em fornecer uma justificativa rigorosa desta identidade para o caso estacionário usando o teorema de Egorov e localização de teoria da medida, thereby contornando a necessidade de maior integrabilidade do gradiente de velocidade. Eles afirmam que seu método permite a recuperação da convergência forte para a densidade e o gradiente de velocidade sob condições mais amplas do que anteriormente possível. O trabalho é enquadrado como um passo fundamental, particularmente para os resultados de Herschel-Bulkley, em direção ao caso não-estacionário (evolutivo) mais complexo, que permanece um problema aberto para o cenário não-newtoniano geral.