Three-qubit W state tomography via full and marginal state reconstructions on ibm_osaka

Resumen Técnico: Tomografía del Estado W de tres cúbits mediante reconstrucciones de estado completas y marginales en ibm_osaka

Planteamiento del Problema
La Tomografía de Estados Cuánticos (QST) es esencial para evaluar el rendimiento del hardware cuántico, pero enfrenta un desafío de escalabilidad. La reconstrucción de un estado genérico de $N$ cúbits requiere típicamente $(2^N)^2 - 1$ parámetros independientes, lo que exige un número exponencial de configuraciones de medición de Pauli (por ejemplo, 63 configuraciones para tres cúbits). Esto impone una carga experimental significativa en los dispositivos de la era NISQ (Quantum de Escala Intermedia con Ruido), donde los errores de puerta y la decoherencia degradan el rendimiento a medida que aumenta la profundidad del circuito. Además, el "problema de los marginales cuánticos" investiga si un estado cuántico global puede ser determinado de forma única por sus matrices de densidad reducidas (subsistemas). Aunque los resultados teóricos sugieren que casi todos los estados puros de tres cúbits (excluyendo los estados GHZ) están determinados de forma única por cualquiera de sus dos matrices de densidad reducidas de dos cúbits, la validación experimental de esta reconstrucción de "el todo desde las partes" en hardware superconductor actual sigue siendo una prueba crítica de eficiencia y fidelidad.

Metodología
Los autores implementaron dos protocolos distintos de QST en el procesador superconductor de 127 cúbits, ibm_osaka, utilizando los cúbits q97, q98 y q99. El estado objetivo fue el estado W de tres cúbits, $|W_{ABC}\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle)$.

1. Tomografía Completa de Tres Cúbits (17 Configuraciones):
   En lugar de las 63 configuraciones de Pauli estándar, los autores propusieron un esquema eficiente en recursos utilizando solo 17 configuraciones de medición. Este esquema utiliza puertas unitarias de uno y dos cúbits ($H$, $CNOT$, $R_x(\pi/2)$) aplicadas antes de las mediciones de la base computacional. Las configuraciones están diseñadas para determinar las partes reales e imaginarias de los elementos de la matriz de densidad $\rho_{ABC}$.

2. Tomografía Marginal (de Estado Reducido) (7 Configuraciones por Marginal):
   Para probar la hipótesis del "todo desde las partes", los autores realizaron tomografía de dos cúbits en los subsistemas $\rho_{AB}$ y $\rho_{BC}$. Esto requirió solo 7 configuraciones de medición por cada marginal (14 en total). Las matrices de densidad reducidas experimentales resultantes fueron posteriormente introducidas en el protocolo de reconstrucción de Diósi. Este marco teórico permite la reconstrucción única de un estado puro genérico de tres partes a partir de cualquiera de sus dos matrices de densidad bipartitas resolviendo para los factores de fase indeterminados.

3. Mitigación de Errores y Análisis:

   • Mitigación de SPAM: Los errores de lectura se caracterizaron mediante matrices de calibración ($F$) y se mitigaron mediante la inversión de matrices sobre los vectores de probabilidad.
   • Corrección de Fisicalidad: Para asegurar que las matrices de densidad reconstruidas fueran físicamente válidas (semidefinidas positivas), se aplicó un procedimiento de corrección espectral, estableciendo los autovalores negativos en cero y renormalizando.
   • Estimación de Máxima Verosimilitud (MLE): Para validar aún más los resultados y evitar problemas de deficiencia de rango, se realizó MLE utilizando un estado de referencia ruidoso ($\rho_{noisy} = 0.15 \frac{I}{8} + 0.85 |W\rangle\langle W|$) como entrada. Se utilizó un análisis de bootstrap con 100 remuestreos para estimar las incertidumbres estadísticas.

Contribuciones Clave

• Esquema Eficiente de 17 Configuraciones: El artículo presenta un protocolo de QST de 17 configuraciones específico para estados arbitrarios de tres cúbits, reduciendo significativamente la carga de medición en comparación con el esquema de Pauli convencional de 63 configuraciones.
• Demostración Experimental del "Todo desde las Partes": El trabajo proporciona una demostración experimental de principio sobre un procesador cuántico IBM de que un estado puro de tres cúbits puede reconstruirse a partir de sus marginales de dos cúbits, validando el resultado teórico de que dos matrices de densidad reducidas bastan para determinar el todo para los estados W.
• Análisis de Fidelidad Comparativa: El estudio compara directamente la fidelidad del estado reconstruido mediante la tomografía completa frente al estado reconstruido mediante el enfoque marginal.

Resultos
Los experimentos se llevaron a cabo en cinco ensayos independientes involucrando aproximadamente 70,000 disparos (shots) de medición.

• Comparación de Fidelidad: La fidelidad del estado W reconstruido a partir de sus marginales de dos cúbits ($\rho^{II}_{ABC}$) fue consistentemente mayor que la obtenida mediante la tomografía completa de tres cúbits ($\rho^{I}_{ABC}$).
  • Inversión Lineal Mitigada: Las fidelidades de los ensayos para el enfoque marginal oscilaron entre ~0.96 y 0.99, mientras que el enfoque completo osciló entre ~0.85 y 0.93.
  • Análisis MLE: La fidelidad media para la tomografía completa de 17 configuraciones fue de $0.9313 \pm 0.0033$, mientras que la tomografía marginal produjo $0.9359 \pm 0.0036$.
• Fuentes de Error: Los autores atribuyen la menor fidelidad en el esquema de tomografía completa al aumento de la profundidad del circuito y al mayor número de puertas CNOT requeridas, lo que amplifica los errores de SPAM y de puerta inherentes al hardware NISQ. El enfoque marginal, que utiliza circuitos más cortos, resultó ser más robusto contra estas fuentes de ruido.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma demostrar una ventaja práctica de la tomografía basada en subsistemas sobre la tomografía de estado completo en el hardware cuántico actual. Al mostrar que la reconstrucción de un estado global a partir de información parcial (marginales de dos cúbits) produce una fidelidad mayor que la reconstrucción directa del estado completo, los autores resaltan una vía más eficiente y confiable para la caracterización de estados cuánticos. El trabajo sirve como una prueba de concepto de que el resultado teórico sobre la determinación única de estados puros a partir de marginales es experimentalmente viable en procesadores superconductores, ofreciendo una alternativa con menos recursos para el benchmarking y la validación de estados cuánticos en la era NISQ. Los autores mantienen la modestia, señalando que la mejora en la fidelidad es probablemente una consecuencia de la reducción en la complejidad del circuito más que de una superioridad fundamental del algoritmo de reconstrucción en sí mismo, y que los resultados son específicos para las características de ruido del procesador ibm_osaka.