Point counts, automorphisms, and gonalities of Shimura curves

Resumen Técnico: Conteos de Puntos, Automorfismos y Gonalidades de Curvas de Shimura

Planteamiento del Problema
Este trabajo aborda tres problemas aritméticos interconectados relativos a las curvas de Shimura $X^D_0(N)$ sobre $\mathbb{Q}$ y sus cocientes de Atkin–Lehner, donde $D > 1$ es el discriminante de una álgebra de cuaterniones indefinida y $N$ es un entero positivo coprimo con $D$.

1. Conteos de Puntos: Determinar el número de puntos racionales sobre cuerpos finitos $\mathbb{F}_{p^r}$ para estas curvas y sus cocientes, específicamente para identificar curvas que alcancen conteos de puntos récord para un género dado.
2. Grupos de Automorfismos: Determinar los grupos de automorfismos completos $\text{Aut}(X^D_0(N))$ y $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$, probando específicamente la conjetura de que estos grupos consisten únicamente en involuciones de Atkin–Lehner para casi todos los casos, excepto para un número finito de ellos.
3. Gonalidades: Determinar qué curvas son tetragonales (admiten un mapa de grado 4 a $\mathbb{P}^1$) o geométricamente tetragonales sobre $\mathbb{Q}$.

Un desafío principal al abordar estos problemas es la escasez de ecuaciones definitorias explícitas para las curvas de Shimura cuando $D > 1$, debido en gran medida a la ausencia de puntos cuspidales y puntos reales, lo que limita la aplicación de las técnicas estándar de geometría algebraica utilizadas para las curvas modulares ($D=1$).

Metodología
Los autores implementan un algoritmo (Algoritmo 1.1) para computar conteos de puntos sin requerir ecuaciones definitorias explícitas. El método se basa en los siguientes componentes:

• Isogenia de Ribet: Utilizando un teorema de Ribet (Teorema 2.3) que establece una isogenia sobre $\mathbb{Q}$ entre el jacobiano de la curva de Shimura $X^D_0(N)$ y un subcociente específico "D-nuevo" del jacobiano de la curva modular $X_0(DN)$.
• Datos de Formas Modulares: El algoritmo computa el número de puntos analizando la acción de los operadores de Hecke y las involuciones de Atkin–Lehner sobre el espacio de formas de cuspide de peso 2 asociadas a la curva modular $X_0(DN)$. Específicamente, utiliza los autovalores de estos operadores (obtenidos de la LMFDB [LMF25]) para determinar las trazas de Frobenius que actúan sobre los factores de isogenia del jacobiano.
• Verificaciones de Automorfismos: Para determinar los grupos de automorfismos, los autores combinan los conteos de puntos computados con un lema de restricción de González (Lema 5.1). Este lema proporciona un límite en el número de puntos en extensiones específicas si existe un automorfismo no trivial de orden primo. Al verificar que los conteos de puntos violan este límite para varias potencias de primos, descartan la existencia de automorfismos que no sean de Atkin–Lehner.
• Análisis de Gonalidad: Para determinar las gonalidades, los autores combinan los límites inferiores de la gonalidad derivados de los conteos de puntos (vía Lema 3.3) con la desigualdad de Castelnuovo–Severi (Teorema 6.4) y resultados conocidos sobre curvas de bajo género. Filtran sistemáticamente los candidatos para curvas tetragonales verificando límites de género, estructuras de cociente y la existencia de puntos racionales en cocientes específicos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Récords de Conteo de Puntos: Los autores computaron conteos de puntos para 783,514 cocientes de Atkin–Lehner de curvas de Shimura. Identificaron 116 curvas que alcanzan un número de puntos racionales que excede cualquier curva conocida anteriormente del mismo género sobre el mismo cuerpo finito (basado en los datos de [vdGHLR09]). Adicionalmente, encontraron 898 curvas que son maximales (alcanzando el conteo de puntos máximo teórico) para su género y parámetros de campo específicos. Entre estas, identificaron al menos cuatro clases de isomorfismo de curvas maximales previamente desconocidas.
• Grupos de Automorfismos: Para el conjunto de 10,609 pares $(D, N)$ con $D > 1$, $DN \le 10,000$, y género $g > 2$, los autores demostraron que el grupo de automorfismos consiste enteramente en involuciones de Atkin–Lehner para 9,288 de estos casos. Específicamente:
  • Para 9,288 pares, $\text{Aut}(X^D_0(N)) = W_0(D, N)$.
  • Para los cocientes, establecieron que $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$ consiste solo en involuciones de Atkin–Lehner para todos excepto 1,321 pares (los cuales se enumeran en la Tabla 8).
• Curvas Tetragonales: Los autores estrecharon la clasificación de curvas de Shimura tetragonales y geométricamente tetragonales.
  • Identificaron 161 curvas geométricamente tetragonales y 141 curvas que son tetragonales sobre $\mathbb{Q}$ (excluyendo un pequeño número de excepciones).
  • Redujeron el conjunto de incógnitas a 32 pares $(D, N)$ para los cuales no está claro si la curva es geométricamente tetragonal (Tabla 1) y 32 pares para los cuales no está claro si la curva es tetragonal sobre $\mathbb{Q}$ (Tabla 2).
  • Demostraron que para 14 tríos específicos $(D, N, W)$, la curva es tetragonal sobre $\mathbb{Q}$ si y solo si el cociente $X^D_0(N)/W$ tiene un punto racional.

Significado
El artículo reclama significancia principalmente a través de la implementación de un algoritmo de conteo de puntos que evita la necesidad de ecuaciones definitorias explícitas, un cuello de botella importante en el estudio de las curvas de Shimura con $D > 1$.

• Utilidad Aritmética: Los autores demuestran que los conteos de puntos sirven como una herramienta poderosa para resolver cuestiones aritméticas respecto a los grupos de automorfismos y las gonalidades, áreas donde las técnicas para las curvas modulares (que dependen de los cúspides) no son directamente aplicables.
• Expansión de Datos: La identificación de 116 nuevos conteos de puntos récord y 898 curvas maximales expande el panorama conocido de curvas con altos conteos de puntos, proporcionando nuevos ejemplos para el estudio de la cota de Hasse–Weil y problemas relacionados de geometría aritmética.
• Progreso en la Clasificación: El trabajo avanza significativamente en la clasificación de curvas de Shimura de baja gonalidad, pasando de un estado de conocimiento limitado a una clasificación casi completa para curvas con $DN \le 10,000$, dejando solo una lista finita y manejable de casos para futuras investigaciones.

Los autores señalan que sus resultados son condicionales a la disponibilidad de datos de autovalores de la LMFDB y al límite específico $DN \le 10,000$, sugiriendo que más recursos computacionales podrían extender estos resultados a niveles superiores. Todo el código y los datos se ponen a disposición en un repositorio de GitHub.