Point counts, automorphisms, and gonalities of Shimura curves

Technische Samenvatting: Puntentellingen, Automorfismen en Gonaleiten van Shimuracurven

Probleemstelling
Dit werk behandelt drie onderling verbonden arithmetische problemen betreffende Shimuracurven $X^D_0(N)$ over $\mathbb{Q}$ en hun Atkin–Lehner-quotiënten, waarbij $D > 1$ de discriminant is van een indefiniete quaternionalgebra en $N$ een positief geheeltal is dat relatief priem is aan $D$.

1. Puntentellingen: Het bepalen van het aantal rationale punten over eindige velden $\mathbb{F}_{p^r}$ voor deze curven en hun quotiënten, specifiek om curven te identificeren die recordbrekende puntentellingen bereiken voor een gegeven genus.
2. Automorfisme groepen: Het bepalen van de volledige automorfismegroepen $\text{Aut}(X^D_0(N))$ en $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$, waarbij wordt getoetst of deze groepen voor bijna alle gevallen uitsluitend bestaan uit Atkin–Lehner-involuties.
3. Gonaleiten: Bepalen welke curven tetragonaal zijn (een graad 4 afbeelding naar $\mathbb{P}^1$ toestaan) of geometrisch tetragonaal zijn over $\mathbb{Q}$.

Een primaire uitdaging bij het aanpakken van deze problemen is de schaarste aan expliciete definiërende vergelijkingen voor Shimuracurven wanneer $D > 1$, grotendeels vanwege de afwezigheid van cuspidale punten en rationale punten, wat de toepassing van standaard algemene geometrische technieken die gebruikt worden voor modulaire curven ($D=1$) beperkt.

Methodologie
De auteurs implementeren een algoritme (Algoritme 1.1) om puntentellingen te berekenen zonder expliciete definiërende vergelijkingen te vereisen. De methode steunt op de volgende componenten:

• Ribet's Isogenie: Het gebruikmaken van een stelling door Ribet (Stelling 2.3) die een isogenie over $\mathbb{Q}$ vaststelt tussen de Jacobiaan van de Shimuracurve $X^D_0(N)$ en een specifieke "$D$-nieuwe" sub-quotiënt van de Jacobiaan van de modulaire curve $X_0(DN)$.
• Modulaire Vorm Data: Het algoritme berekent het aantal punten door de werking van Hecke-operatoren en Atkin–Lehner-involuties op de ruimte van gewicht 2 cuspvormen geassocieerd met de modulaire curve $X_0(DN)$ te analyseren. Specifiek maakt het gebruik van de eigenwaarden van deze operatoren (afkomstig uit de LMFDB [LMF25]) om de Frobenius-sporen te bepalen die werken op de isogenie-factoren van de Jacobiaan.
• Automorfisme Checks: Om automorfismegroepen te bepalen, combineren de auteurs de berekende puntentellingen met een restrictie-lemma van González (Lemma 5.1). Dit lemma biedt een grens aan het aantal punten in specifieke uitbreidingen indien een niet-triviaal automorfisme van priemorde bestaat. Door te verifiëren dat de puntentellingen deze grens schenden voor diverse machten van priemgetallen, sluiten zij de existentie van niet-Atkin–Lehner automorfismen uit.
• Gonaleit Analyse: Om de gonaleiten te bepalen, combineren de auteurs de ondergrenzen op de gonaleit afgeleid uit puntentellingen (via Lemma 3.3) met de Castelnuovo–Severi-ongelijkheid (Stelling 6.4) en bekende resultaten over curven met een lage genus. Zij filteren systematisch kandidaten voor tetragonale curven door genus-grenzen, quotiëntstructuren en de existentie van rationale punten op specifieke quotiënten te controleren.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Puntentelling Records: De auteurs hebben de puntentellingen berekend voor 783.514 Atkin–Lehner-quotiënten van Shimuracurven. Zij identificeerden 116 curven die een aantal rationale punten bereiken dat hoger ligt dan bij enige voorheen bekende curve van dezelfde genus over hetzelfde eindige veld (gebaseerd op data van [vdGHLR09]). Daarnaast vonden zij 898 curven die maximaal zijn (het theoretische maximale aantal punten bereiken) voor hun specifieke genus en veldparameters. Onder deze bevonden zich ten minste vier voorheen onbekende isomorfieklassen van maximale curven.
• Automorfisme Groepen: Voor de verzameling van 10.609 paren $(D, N)$ met $D > 1$, $DN \le 10.000$ en genus $g > 2$, bewezen de auteurs dat de automorfismegroep volledig bestaat uit Atkin–Lehner-involuties voor 9.288 van deze gevallen. Specifiek:
  • Voor 9.288 paren geldt $\text{Aut}(X^D_0(N)) = W_0(D, N)$.
  • Voor de quotiënten stelden zij vast dat $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$ enkel uit Atkin–Lehner-involuties bestaat voor alle behalve 1.321 paren (welke vermeld staan in Tabel 8).
• Tetragonaal Curven: De auteurs hebben de classificatie van tetragonaal en geometrisch tetragonaal zijnde Shimuracurven verfijnd.
  • Zij identificeerden 161 geometrisch tetragonaal zijnde curven en 141 curven die tetragonaal zijn over $\mathbb{Q}$ (met uitzondering van een klein aantal uitzonderingen).
  • Zij hebben de verzameling onbekenden teruggebracht tot 32 paren $(D, N)$ waarvoor het nog onduidelijk is of de curve geometrisch tetragonaal is (Tabel 1) en 32 paren waarvoor het nog onduidelijk is of de curve tetragonaal is over $\mathbb{Q}$ (Tabel 2).
  • Zij bewezen dat voor 14 specifieke triples $(D, N, W)$, de curve tetragonaal is over $\mathbb{Q}$ dan en slechts dan als de quotient $X^D_0(N)/W$ een rationaal punt bezit.

Significantie
De paper claimt significantie primair door de implementatie van een puntentelling-algoritme dat de noodzaak voor expliciete definiërende vergelijkingen omzeilt, een belangrijke flessenhals in het onderzoek naar Shimuracurven met $D > 1$.

• Arithmetische Bruikbaarheid: De auteurs demonstreren dat puntentellingen dienen als een krachtig instrument voor het oplossen van arithmetische vragen betreffende automorfisme groepen en gonaleiten, gebieden waar technieken voor modulaire curven (die steunen op cuspen) niet direct toepasbaar zijn.
• Data Expansie: De identificatie van 116 nieuwe recordhoudende puntentellingen en 898 maximale curven breidt het bekende landschap van curven met hoge puntentellingen uit, wat nieuwe voorbeelden biedt voor de studie van de Hasse–Weil grens en gerelateerde arithmetische geometrie problemen.
• Classificatie Voortgang: Het werk draagt significant bij aan de classificatie van laag-gonale Shimuracurven, waarbij het van een staat van beperkte kennis naar een bijna volledige classificatie voor curven met $DN \le 10.000$ beweegt, waarbij slechts een eindige, beheersbare lijst van gevallen overblijft voor toekomstig onderzoek.

De auteurs merken op dat hun resultaten voorwaardelijk zijn op de beschikbaarheid van eigenwaarde-data uit de LMFDB en de specifieke grens $DN \le 10.000$, wat suggereert dat verdere computationele middelen deze resultaten naar hogere niveaus kunnen uitbreiden. Alle code en data zijn beschikbaar in een GitHub-repository.