Point counts, automorphisms, and gonalities of Shimura curves

技術要約：シムラ曲線の点数、自己同型群、およびゴナリティ

問題設定
本研究は、不定定符号のクォータニオン環の判別式を $D > 1$、正の整数を $N$（$D$ と互いに素）とし、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上のシムラ曲線 $X^D_0(N)$ およびそのアトキン・レナー商に関する、相互に関連する3つの算術的問題に取り組むものである。

1. 点数（Point Counts）: 有限体 $\mathbb{F}_{p^r}$ 上の有理点の数を決定すること。具体的には、与えられた種数に対して記録的な点数を持つ曲線を特定すること。
2. 自己同型群（Automorphism Groups）: 自己同型群 $\text{Aut}(X^D_0(N))$ および $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$ を決定すること。特に、ほとんどすべてのケースにおいて、これらの群がアトキン・レナー対合のみで構成されるという予想を検証すること。
3. ゴナリティ（Gonalities）: どの曲線がテトラゴナル（$\mathbb{P}^1$ への4次写像を許容する）であるか、あるいは $\mathbb{Q}$ 上で幾何学的にテトラゴナルであるかを決定すること。

これらの問題に対処する上での主要な課題は、$D > 1$ の場合のシムラ曲線には、カスプ（尖点）や実点が欠如しているため、モジュラー曲線（$D=1$）で用いられる標準的な代数幾何学的手法の適用が制限され、明示的な定義方程式が得られにくいことにある。

手法
著者らは、明示的な定義方程式を必要とせずに点数を計算するアルゴリズム（Algorithm 1.1）を実装している。この手法は以下の構成要素に基づいている。

• リベットのイソジェニー（Ribet's Isogeny）: シムラ曲線 $X^D_0(N)$ のヤコビアンと、モジュラー曲線 $X_0(DN)$ のヤコビアンの特定の「D-new」部分商との間に $\mathbb{Q}$ 上のイソジェニーが存在するというリベットの定理（Theorem 2.3）を利用する。
• モジュラー形式のデータ: アルゴリズムは、モジュラー曲線 $X_0(DN)$ に関連する重さ2のカスプ形式の空間に対するヘッケ作用素およびアトキン・レナー対合の作用を分析することで、点の数を計算する。具体的には、イソジェニー因子におけるフロベニウス・トレースを決定するために、これらの作用素の固有値（LMFDB [LMF25] より取得）を利用する。
• 自己同型のチェック: 自己同型群を決定するために、著者らは計算された点数とゴンサレスによる制限補題（Lemma 5.1）を組み合わせている。この補題は、素次の非自明な自己同型が存在する場合、特定の拡大体における点の数に境界を与えるものである。様々な素数冪に対して点数がこの境界に違反することを確認することで、非アトキン・レナー自己同型の存在を排除する。
• ゴナリティ解析: ゴナリティを決定するために、著者らは点数から導かれるゴナリティの下界（Lemma 3.3）と、カステルヌオーヴォ・セヴェリの不等式（Theorem 6.4）、および既知の低種数の曲線に関する結果を組み合わせている。彼らは、種数の境界、商の構造、および特定の商における有理点の存在をチェックすることにより、テトラゴナルな曲線の候補を系統的に絞り込んでいる。

主要な貢献と結果

• 点数の記録: 著者らは783,514個のアトキン・レナー商のシムラ曲線の点数を計算した。その結果、116個の曲線が、同一の有限体上の同一の種数を持つ既知の曲線を超える有理点の数（[vdGHLR09] のデータに基づく）を達成していることを特定した。さらに、898個の曲線が、特定の種数および体パラメータに対して最大（理論上の最大点数を達成）であることを発見した。これらの中には、これまで未知であった最大曲線の同型類が少なくとも4つ含まれている。
• 自己同型群: $D > 1, DN \le 10,000$, 種数 $g > 2$ である10,609組の $(D, N)$ に対して、著者らは自己同型群がすべてアトキン・レナー対合のみで構成されることを証明した。具体的には：
  • 9,288組のケースにおいて、$\text{Aut}(X^D_0(N)) = W_0(D, N)$ である。
  • 商については、1,321組（表8に記載）を除いて、$\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$ がアトキン・レナー対合のみで構成されることを確立した。
• テトラゴナル曲線: 著者らは、テトラゴナルおよび幾何学的にテトラゴナルなシムラ曲線の分類を絞り込んだ。
  • 161個の幾何学的にテトラゴナルな曲線と、141個の $\mathbb{Q}$ 上でテトラゴナルな曲線（少数の例外を除く）を特定した。
  • 曲線が幾何学的にテトラゴナルであるか不明な 32組の $(D, N)$（表1）と、$\mathbb{Q}$ 上でテトラゴナルであるか不明な 32組の $(D, N)$（表2）へと対象を縮小した。
  • 14個の特定の $(D, N, W)$ の組に対して、曲線が $\mathbb{Q}$ 上でテトラゴナルであるための必要十分条件は、商 $X^D_0(N)/W$ が有理点を持つことであることを証明した。

意義
本論文は、主に、$D > 1$ の場合のシムラ曲線の研究における大きなボトルネックである、明示的な定義方程式を回避する点数計算アルゴリズムの実装を通じて、その意義を主張している。

• 算術的有用性: 著者らは、カスプ（尖点）に依存するモジュラー曲線の手法では直接適用できない領域である、自己同型群やゴナリティに関する算術的問題を解決するための強力なツールとして、点数が機能することを実証している。
• データの拡張: 116個の新しい記録保持点数と898個の最大曲線の特定は、高い点数を持つ曲線の既知の景観を広げ、ハッセ・ヴェイユ界および関連する算術幾何学の問題の研究に新たな例を提供している。
• 分類の進展: 本研究は、低ゴナリティのシムラ曲線の分類を大きく前進させ、限られた知識の状態から、$DN \le 10,000$ の曲線に対するほぼ完全な分類へと移行させ、将来の調査のための有限かつ管理可能なリストのみを残した。

著者らは、自らの結果がLMFDBからの固有値データの利用可能性および特定の境界 $DN \le 10,000$ に依存していることを注記しており、さらなる計算資源によってこれらの結果をより高いレベルへと拡張できる可能性を示唆している。すべてのコードとデータはGitHubのリポジトリで公開されている。