Point counts, automorphisms, and gonalities of Shimura curves

Resumo Técnico: Contagens de Pontos, Automorfismos e Gonalidades de Curvas de Shimura

Enunciado do Problema
Este trabalho aborda três problemas aritméticos interconectados relativos às curvas de Shimura $X^D_0(N)$ sobre $\mathbb{Q}$ e seus quocientes de Atkin–Lehner, onde $D > 1$ é o discriminante de uma álgebra de quaternions indefinida e $N$ é um inteiro positivo coprimo a $D$.

1. Contagens de Pontos: Determinar o número de pontos racionais sobre corpos finitos $\mathbb{F}_{p^r}$ para estas curvas e seus quocientes, especificamente para identificar curvas que alcancem contagens de pontos recordes para um determinado gênero.
2. Grupos de Automorfismos: Determinar os grupos de automorfismos completos $\text{Aut}(X^D_0(N))$ e $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$, testando especificamente a conjectura de que estes grupos consistem apenas em involuções de Atkin–Lehner para quase todos os casos, exceto para um número finito deles.
3. Gonalidades: Determinar quais curvas são tetragonais (admitem um mapa de grau 4 para $\mathbb{P}^1$) ou geometricamente tetragonais sobre $\mathbb{Q}$.

Um desafio primordial ao abordar estes problemas é a escassez de equações definidoras explícitas para curvas de Shimura quando $D > 1$, devido principalmente à ausência de pontos cuspidais e pontos reais, o que limita a aplicação de técnicas padrão de geometria algébrica utilizadas para curvas modulares ($D=1$).

Metodologia
Os autores implementam um algoritmo (Algoritmo 1.1) para computar contagens de pontos sem exigir equações definidoras explícitas. O método baseia-se nos seguintes componentes:

• Isogenia de Ribet: Utilização de um teorema de Ribet (Teorema 2.3) que estabelece uma isogenia sobre $\mathbb{Q}$ entre o Jacobiano da curva de Shimura $X^D_0(N)$ e um subquociente específico "$D$-novo" do Jacobiano da curva modular $X_0(DN)$.
• Dados de Formas Modulares: O algoritmo computa o número de pontos analisando a ação de operadores de Hecke e involuções de Atkin–Lehner no espaço de formas de cuspide de peso 2 associadas à curva modular $X_0(DN)$. Especificamente, utiliza os autovalores destes operadores (obtidos do LMFDB [LMF25]) para determinar as traços de Frobenius atuando nos fatores de isogenia do Jacobiano.
• Verificações de Automorfismo: Para determinar os grupos de automorfismos, os autores combinam as contagens de pontos computadas com um lema de restrição de González (Lema 5.1). Este lema fornece um limite para o número de pontos em extensões específicas caso exista um automorfismo não trivial de ordem prima. Ao verificar que as contagens de pontos violam este limite para várias potências de primos, eles excluem a existência de automorfismos não-Atkin–Lehner.
• Análise de Gonalidade: Para determinar as gonalidades, os autores combinam os limites inferiores de gonalidade derivados das contagens de pontos (via Lema 3.3) com a desigualdade de Castelnuovo–Severi (Teorema 6.4) e resultados conhecidos sobre curvas de baixo gênero. Eles filtram sistematicamente candidatos para curvas tetragonais verificando limites de gênero, estruturas de quociente e a existência de pontos racionais em quocientes específicos.

Contribuições Principais e Resultados

• Recordes de Contagem de Pontos: Os autores computaram contagens de pontos para 783.514 quocientes de Atkin–Lehner de curvas de Shimura. Eles identificaram 116 curvas que atingem um número de pontos racionais superior a qualquer curva anteriormente conhecida do mesmo gênero sobre o mesmo corpo finito (com base nos dados de [vdGHLR09]). Adicionalmente, encontraram 898 curvas que são maximais (atingindo a contagem de pontos teórica máxima) para o seu gênero e parâmetros de campo específicos. Entre estas, identificaram pelo menos quatro classes de isomorfismo de curvas maximais anteriormente desconhecidas.
• Grupos de Automorfismos: Para o conjunto de 10.609 pares $(D, N)$ com $D > 1$, $DN \le 10.000$, e gênero $g > 2$, os autores provaram que o grupo de automorfismos consiste inteiramente em involuções de Atkin–Lehner para 9.288 destes casos. Especificamente:
  • Para 9.288 pares, $\text{Aut}(X^D_0(N)) = W_0(D, N)$.
  • Para os quocientes, estabeleceram que $\text{Aut}(X^D_0(N)/W)$ consiste apenas em involuções de Atkin–Lehner para todos os casos, exceto 1.321 pares (que estão listados na Tabela 8).
• Curvas Tetragonais: Os autores restringiram a classificação de curvas de Shimura tetragonais e geometricamente tetragonais.
  • Identificaram 161 curvas geometricamente tetagonais e 141 curvas que são tetagonais sobre $\mathbb{Q}$ (excluindo um pequeno número de exceções).
  • Reduziram o conjunto de incógnitas para 32 pares $(D, N)$ para os quais permanece incerto se a curva é geometricamente tetagonal (Tabela 1) e 32 pares para os quais permanece incerto se a curva é tetagonal sobre $\mathbb{Q}$ (Tabela 2).
  • Provaram que para 14 trios específicos $(D, N, W)$, a curva é tetagonal sobre $\mathbb{Q}$ se, e somente se, o quociente $X^D_0(N)/W$ possui um ponto racional.

Significância
O artigo reivindica significância primariamente através da implementação de um algoritmo de contagem de pontos que contorna a necessidade de equações definidoras explícitas, um grande gargalo no estudo de curvas de Shimura com $D > 1$.

• Utilidade Aritmética: Os autores demonstram que as contagens de pontos servem como uma ferramenta poderosa para resolver questões aritméticas relativas a grupos de automorfismos e gonalidades, áreas onde as técnicas para curvas modulares (que dependem de cúspides) não são diretamente aplicáveis.
• Expansão de Dados: A identificação de 116 novos recordes de contagem de pontos e 898 curvas maximais expande o panorama conhecido de curvas com altas contagens de pontos, fornecendo novos exemplos para o estudo da cota de Hasse–Weil e problemas de geometria aritmética relacionados.
• Progresso na Classificação: O trabalho avança significativamente a classificação de curvas de Shimura de baixa gonalidade, movendo-se de um estado de conhecimento limitado para uma classificação quase completa para curvas com $DN \le 10.000$, deixando apenas uma lista finita e gerenciável de casos para investigação futura.

Os autores observam que os seus resultados são condicionais à disponibilidade de dados de autovalores do LMFDB e ao limite específico $DN \le 10.000$, sugerindo que recursos computacionais adicionais poderiam estender estes resultados para níveis mais elevados. Todo o código e dados são disponibilizados num repositório do GitHub.