🔢 mathematics

Sums of three Fibonacci numbers as concatenations of three repdigits in base $b$

Este artículo demuestra que, para bases entre 2 y 10, solo existen un número finito de sumas de tres números de Fibonacci que pueden expresarse como concatenaciones de tres dígitos repetidos, determinando explícitamente todas estas soluciones y señalando que la mayor ocurre en base 4.

Autores originales: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Publicado 2026-02-25

📖 4 min de lectura🧠 Análisis profundo

CC BY 4.0

Autores originales: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que los números son como bloques de construcción. En este artículo, los autores (un equipo de matemáticos) se preguntaron: ¿Qué pasa si intentamos construir un número muy especial usando solo tres piezas de un tipo de bloque llamado "Fibonacci" y luego vemos si ese resultado se parece a una torre de bloques donde todos los colores son iguales?

Aquí tienes la explicación de su descubrimiento, contada como una historia:

1. Los Personajes de la Historia

Para entender el problema, primero conocemos a los "actores":

Los Números de Fibonacci: Son una secuencia famosa que empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Cada número es la suma de los dos anteriores. Son como una familia que crece siguiendo una regla estricta.
Los Repdigits (Números Repetidos): Imagina un número donde todas las cifras son iguales, como 777, 2222 o 55555. En matemáticas, a estos se les llama "repdigits". Si los escribes en base 10 (nuestro sistema normal), son números con un solo dígito repetido.
La Concatenación (El Pegamento): Los autores no solo querían sumar repdigits, querían "pegarlos" uno al lado del otro. Por ejemplo, si pegas "333" y "11" y "22", obtienes 3331122. Es como tomar tres bloques de colores sólidos y unirlos para formar una barra larga y colorida.

2. El Gran Misterio

La pregunta que se hicieron los autores fue:

"¿Existe algún número que se pueda obtener sumando tres números de Fibonacci, y que al mismo tiempo, ese resultado sea una barra larga formada por tres bloques de números repetidos pegados?"

Es como si dijeras: "Tengo tres manzanas (Fibonacci). Si las sumo, ¿el total se verá como una barra de chocolate donde el primer trozo es todo rojo, el segundo todo azul y el tercero todo verde?"

3. La Búsqueda del Tesoro (El Método)

Encontrar estos números es como buscar una aguja en un pajar, pero el pajar es infinito. Los números de Fibonacci crecen muy rápido, y las combinaciones de repdigits son infinitas.

El Problema del Tamaño: Al principio, los matemáticos sabían que la respuesta existía, pero el número más grande posible que podían buscar era tan enorme que ni siquiera el universo entero tendría espacio para escribirlo. Era como intentar encontrar un grano de arena específico en todas las playas del mundo a mano.
La Herramienta Mágica (Logaritmos): Usaron una técnica matemática avanzada (formas lineales en logaritmos) para decir: "No necesitamos buscar en todo el universo, solo necesitamos buscar hasta aquí". Esto redujo el pajar a un tamaño manejable, pero aún así era gigantesco (millones de millones de posibilidades).
El Superordenador (La GPU): Aquí viene la parte más interesante. Incluso con la reducción, calcular todas las posibilidades con una computadora normal hubiera tomado 248 años para la base 10 (nuestros números normales).
- La Analogía: Imagina que tienes que leer un millón de libros. Una persona leyendo uno a la vez tardaría siglos. Pero si tienes 20,000 personas leyendo al mismo tiempo, terminas en minutos.
- Los autores usaron una tarjeta gráfica de videojuegos (una GPU) para hacer que miles de "cerebros" trabajaran en paralelo. Esto les permitió reducir el tiempo de búsqueda de siglos a unas pocas horas.

4. El Descubrimiento

Después de esta búsqueda masiva, encontraron que sí existen estos números, pero son muy pocos.

El Límite: Para bases del 2 al 10 (desde el sistema binario de las computadoras hasta nuestro sistema decimal), solo hay 2,665 soluciones en total.
El Campeón: El número más grande y famoso que encontraron ocurre en la base 4 (un sistema donde solo usamos los dígitos 0, 1, 2, 3).
- La suma es: $F_{42} + F_{29} + F_{20}$ (tres números de Fibonacci).
- El resultado es: 268,435,290.
- Si escribes este número en base 4, se ve como una barra de colores repetidos: 333333333311224. ¡Es una secuencia perfecta de tres nueves, luego dos unos y un dos!

5. ¿Por qué es importante?

Este trabajo es como un mapa del tesoro para los matemáticos.

Demuestra que hay límites: Aunque los números parecen infinitos, cuando impones reglas estrictas (como que tengan que ser repdigits pegados), la magia se detiene y solo quedan unos pocos casos especiales.
Tecnología y Matemáticas: Muestra cómo la matemática pura (teoría de números) necesita de la tecnología moderna (supercomputación paralela) para resolver problemas que antes eran imposibles.

En resumen

Los autores tomaron una pregunta curiosa sobre patrones numéricos, usaron matemáticas avanzadas para acotar la búsqueda, y luego usaron la potencia de videojuegos modernos para encontrar todos los casos posibles. Descubrieron que, aunque el universo de los números es vasto, los patrones "perfectos" donde la suma de tres Fibonacci se convierte en una barra de colores pegados son extremadamente raros y especiales.

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Sumas de tres números de Fibonacci como concatenaciones de tres repdígitos en base $b$ ", basado en el documento proporcionado.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda un problema diofántico que combina la teoría de números, las sucesiones de recurrencia y las propiedades digitales de los enteros. El objetivo principal es estudiar la ecuación:

$F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3} = \text{Concatenación de tres repdígitos en base } b$

Donde:

$\{F_n\}_{n \ge 0}$ es la sucesión de Fibonacci definida por $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , con $F_0=0, F_1=1$ .
Un repdígito en base $b$ es un número cuyas cifras son todas idénticas (ej. $d, dd, ddd...$).
La parte derecha de la ecuación representa la concatenación de tres bloques de repdígitos: un bloque de $\ell_1$ cifras $d_1$ , seguido de $\ell_2$ cifras $d_2$ y $\ell_3$ cifras $d_3$ .

La ecuación diofántica formal es:
$F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3} = \underbrace{d_1 \dots d_1}_{\ell_1} \underbrace{d_2 \dots d_2}_{\ell_2} \underbrace{d_3 \dots d_3}_{\ell_3}_{(b)}$

El estudio se centra en demostrar que, para bases $2 \le b \le 10$ , solo existen un número finito de soluciones y determinar explícitamente todas ellas.

2. Metodología

La demostración se basa en una combinación de métodos analíticos avanzados y computación de alto rendimiento. El proceso se divide en dos fases principales:

A. Acotación Teórica (Método de Baker)

Para demostrar la finitud de las soluciones, los autores utilizan formas lineales en logaritmos de números algebraicos, específicamente el teorema de Baker y Wüstholz.

Transformación: La ecuación se reescribe utilizando la fórmula de Binet para los números de Fibonacci y la expresión algebraica de los repdígitos concatenados.
Desigualdades: Se derivan desigualdades de la forma $|\Lambda| < C \cdot \max(b^{-\ell}, \alpha^{-(n_i-n_j)})$ , donde $\Lambda$ es una forma lineal en logaritmos.
Acotación Superior: Aplicando el teorema de Baker, se obtiene una cota superior inicial extremadamente grande para el índice más grande de Fibonacci ( $n_1$ ):
$n_1 < 3.09 \times 10^{82} \log^{11} b$
Esta cota es teóricamente correcta pero computacionalmente intratable para una búsqueda exhaustiva.

B. Reducción de Cotras (Método de Dujella-Pethő)

Para reducir la cota de $10^{82}$ a un rango manejable, se emplea el método de reducción basado en el Lema de Matveev y el uso de fracciones continuas (Lema 2 del artículo).

Se aplican iterativamente reducciones a las desigualdades derivadas en la fase anterior.
Esto permite reducir la cota de $n_1$ a un valor mucho menor: $n_1 \le 74$ .

C. Verificación Computacional y Computación Paralela

Una vez reducida la cota a $n_1 \le 74$ , el problema se convierte en una búsqueda exhaustiva. Sin embargo, el espacio de búsqueda es combinatoriamente complejo (7 bucles anidados: base $b$ , dígitos $d_i$ , longitudes $\ell_i$ , índices $n_i$ ).

Desafío: Una ejecución secuencial en un ordenador estándar habría requerido siglos (estimado en ~248 años para $b=10$ ).
Solución: Los autores implementaron el algoritmo en una arquitectura de computación paralela utilizando una GPU NVIDIA RTX A2000 mediante el framework CUDA.
Resultado: Esta estrategia logró una aceleración de más de 20,000 veces, permitiendo completar los cálculos para todas las bases en pocas horas.

3. Contribuciones Clave

Generalización del Problema: Extiende trabajos previos (como los de Alahmadi et al., 2019) que estudiaban Fibonacci como concatenación de dos repdígitos, al caso de la suma de tres Fibonacci como concatenación de tres repdígitos.
Demostración de Finitud: Se prueba rigurosamente que para cualquier base $b \ge 2$ , el conjunto de soluciones es finito.
Determinación Explícita: Se listan todas las soluciones para las bases $b \in \{2, 3, \dots, 10\}$ .
Innovación Computacional: El artículo destaca el uso de GPU para resolver problemas diofánticos de alta complejidad combinatoria, demostrando la viabilidad de abordar problemas que antes se consideraban intratables por tiempo de cómputo.

4. Resultados Principales

El Teorema 2 establece que existen exactamente 2665 sumas distintas de tres números de Fibonacci que cumplen la condición en las bases de 2 a 10.

Hallazgos destacados:

Solución Máxima Global: La suma más grande encontrada ocurre en la base $b=4$ :
$F_{42} + F_{29} + F_{20} = 268,435,290$
En base 4, este número se representa como la concatenación de tres repdígitos: $333333333311224_{(4)}$ .
Distribución por Base:
- Base 2: 113 soluciones.
- Base 3: 138 soluciones.
- Base 4: 217 soluciones.
- Base 5: 250 soluciones.
- Base 6: 334 soluciones.
- Base 7: 348 soluciones.
- Base 8: 387 soluciones.
- Base 9: 413 soluciones.
- Base 10: 465 soluciones.

Casos Especiales (Corolarios):
El artículo también deriva resultados para casos degenerados:

Si $n_3 = 0$ : Se estudian sumas de dos Fibonacci como concatenación de tres repdígitos.
Si $n_2 = n_3 = 0$ : Se estudian los números de Fibonacci individuales que son concatenaciones de tres repdígitos (ej. $F_{22} = 17711$ en base 10).

5. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo por varias razones:

Teoría de Números: Contribuye al entendimiento de la interacción entre las propiedades recursivas de las sucesiones lineales y las representaciones digitales (sistemas de numeración).
Método Híbrido: Sirve como un modelo de referencia para la resolución de ecuaciones diofánticas, mostrando cómo combinar pruebas teóricas de acotación (Baker) con reducción algorítmica (Lema de reducción) y potencia de cómputo masivo (GPU).
Relevancia Computacional: Ilustra cómo la computación de alto rendimiento (HPC) puede resolver problemas matemáticos que, aunque teóricamente acotados, son computacionalmente prohibitivos con hardware tradicional.

En resumen, el artículo cierra una línea de investigación abierta sobre patrones digitales en sucesiones de Fibonacci, proporcionando una solución completa y explícita para el caso de sumas de tres términos y tres bloques de repdígitos en bases pequeñas.