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Sums of three Fibonacci numbers as concatenations of three repdigits in base $b$

Este artigo investiga somas de três números de Fibonacci que podem ser expressas como concatenações de três dígitos repetidos em base $b$ , provando que para $2 \le b \le 10$ existem apenas um número finito de tais soluções e determinando todas explicitamente, sendo a maior delas $F_{42}+F_{29}+F_{20}=268435290$ na base 4.

Autores originais: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Publicado 2026-02-25

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CC BY 4.0

Autores originais: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você tem dois mundos mágicos de números que estão tentando se encontrar.

No Primeiro Mundo, temos a Sequência de Fibonacci. Pense nela como uma família de números que cresce de forma muito previsível e famosa: começa com 0 e 1, e cada novo número é a soma dos dois anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...). É como se fosse uma escada onde cada degrau é feito somando os dois anteriores.

No Segundo Mundo, temos os Repdigits (ou "números repetidos"). Imagine que você tem um carimbo com um único dígito (como o número 7) e você o carimba várias vezes seguidas para formar um número. Exemplos: 777, 2222, 99999. Em matemática, chamamos isso de "repdigit".

Agora, imagine uma terceira regra: a Concatenação. É como se você pegasse três blocos de Lego de cores diferentes e os encaixasse um no outro para formar uma torre única. Por exemplo, se você tem o bloco "33", o bloco "11" e o bloco "22", a concatenação cria o número "331122".

O Grande Mistério

Os autores deste artigo (um time de matemáticos de Togo) se perguntaram: "É possível somar três números da família Fibonacci e obter um resultado que seja exatamente uma 'torre de Lego' feita de três blocos de números repetidos?"

Eles não estavam olhando apenas para o nosso sistema de contagem normal (base 10, onde usamos os algarismos de 0 a 9). Eles queriam saber se isso acontecia em qualquer base (como base 2, que é usada por computadores, ou base 4, base 5, etc.).

A Jornada dos Matemáticos: Do Gigante ao Pequeno

Aqui está a analogia de como eles resolveram o problema:

O Problema do Gigante:
Quando você tenta encontrar esses números, a matemática diz que os números de Fibonacci podem ser gigantescos. É como se eles dissessem: "O número que você procura pode ter mais dígitos do que o número de átomos no universo!". Isso torna impossível verificar um por um, como tentar achar uma agulha em um palheiro que é do tamanho de um planeta.
A Ferramenta Mágica (Logaritmos):
Para lidar com esses gigantes, os matemáticos usaram uma ferramenta poderosa chamada "formas lineares em logaritmos". Pense nisso como uma régua mágica ou um detector de radar. Em vez de medir o tamanho exato do gigante, a régua diz: "Ok, o gigante é grande, mas definitivamente não é maior do que X". Isso reduziu o "palheiro" de tamanho planetário para o tamanho de uma cidade.
O Corte Final (Redução):
Mesmo com a cidade, ainda era grande demais. Eles usaram outra técnica (o método de redução) para cortar ainda mais. Foi como usar uma tesoura de precisão para transformar a cidade em uma pequena vila. No final, eles descobriram que os números de Fibonacci que poderiam funcionar eram tão pequenos que podiam ser listados em uma folha de papel (especificamente, os números de Fibonacci até o 74º termo).
A Corrida de Computadores (O Desafio da Força Bruta):
Mesmo com a lista pequena, verificar todas as combinações possíveis de "blocos de Lego" (os repdigits) em todas as bases (de 2 a 10) exigiria uma quantidade absurda de cálculos.
- O Obstáculo: Se eles usassem um computador comum, trabalhando um de cada vez, levaria 248 anos apenas para verificar o caso da base 10! Seria como tentar pintar um quadro gigante com um pincel minúsculo, uma pincelada por ano.
- A Solução: Eles usaram uma GPU (uma placa de vídeo poderosa, como as usadas em jogos de alta performance) para fazer o trabalho em paralelo. Imagine que, em vez de uma pessoa pintando, eles contrataram 20.000 pintores trabalhando ao mesmo tempo.
- O Resultado: O que levaria 248 anos foi feito em algumas horas. O caso que levaria 5 anos foi feito em 50 minutos.

O Que Eles Encontraram?

Depois de toda essa corrida contra o tempo e o espaço, eles descobriram que:

Existem soluções, mas são poucas: Para cada base (de 2 a 10), existe um número finito de combinações que funcionam. Não é infinito.
O Campeão: A maior soma encontrada em toda a pesquisa ocorreu na base 4.
- A soma é: $F_{42} + F_{29} + F_{20}$ (três números da sequência Fibonacci).
- O resultado é: 268.435.290.
- Quando você escreve esse número na base 4, ele se transforma em uma linda "torre de Lego": 333333333311224.
- Veja a mágica: dez "3"s, seguidos de dois "1"s, seguidos de um "2" e um "4". É exatamente a concatenação de três repdigits!

Resumo da Ópera

Este artigo é como uma história de detetives matemáticos. Eles tinham um mistério impossível de resolver (encontrar agulhas em palheiros cósmicos). Usaram ferramentas teóricas para reduzir o tamanho do palheiro e depois usaram a tecnologia mais moderna (supercomputadores paralelos) para vasculhar o que restou rapidamente.

A lição principal é que, mesmo em um universo de números infinitos, existem padrões muito específicos e raros que só aparecem em lugares muito limitados, e a combinação de matemática pura com poder de computação moderno é a chave para encontrá-los.

Resumo Técnico: Somas de Três Números de Fibonacci como Concatenações de Três Repdígitos na Base $b$

1. O Problema Investigado

O artigo aborda um problema de teoria dos números que combina sequências de recorrência (especificamente a sequência de Fibonacci) com propriedades digitais (representação de números em bases inteiras). O objetivo central é determinar todas as soluções inteiras para a equação diofantina:

$F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3} = \text{Concatenation}_b(d_1, \ell_1, d_2, \ell_2, d_3, \ell_3)$

Onde:

$F_n$ são os números de Fibonacci ( $F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ ).
O lado direito representa a concatenação de três repdígitos (números cujos dígitos são todos iguais) na base $b$ .
Um repdígito na base $b$ com dígito $d$ e comprimento $\ell$ é dado por $d \cdot \frac{b^\ell - 1}{b - 1}$ .
A concatenação de três repdígitos com dígitos $d_1, d_2, d_3$ e comprimentos $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ forma um número da forma:
$\underbrace{d_1 \dots d_1}_{\ell_1} \underbrace{d_2 \dots d_2}_{\ell_2} \underbrace{d_3 \dots d_3}_{\ell_3} \quad (\text{na base } b)$

O estudo foca em bases inteiras $2 \le b \le 10$ , provando que o número de soluções é finito e listando explicitamente todas elas.

2. Metodologia

A prova é dividida em duas etapas principais, utilizando técnicas avançadas de teoria dos números e computação de alto desempenho:

A. Limites Superiores Teóricos (Método de Baker)

Formas Lineares em Logaritmos: Os autores utilizam o teorema de Baker-Wüstholz para estabelecer limites inferiores para formas lineares em logaritmos de números algébricos. Isso permite transformar a equação diofantina em desigualdades envolvendo logaritmos das variáveis ( $n_i$ e $\ell_i$ ).
Derivação de Limites: Através de uma análise detalhada de casos (baseada nas diferenças entre os índices $n_1, n_2, n_3$ e os comprimentos $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ ), eles derivam um limite superior inicial extremamente grande para o maior índice $n_1$ :
$n_1 < 3.09 \times 10^{82} \log^{11} b$
Redução de Limites (Método de Dujella-Pethő/Bravo-Gómez-Luca): Como o limite acima é computacionalmente intratável, os autores aplicam o método de redução baseado em frações contínuas (Lema 2 do artigo). Isso reduz drasticamente o limite de $n_1$ para valores manejáveis (na ordem de $n_1 \le 74$ ).

B. Verificação Computacional e Otimização

Busca Exaustiva: Após reduzir o limite para $n_1 \le 74$ , o problema torna-se uma busca exaustiva por combinações de índices e dígitos.
Desafio Computacional: A complexidade combinatória envolvia sete loops aninhados. Uma execução sequencial clássica (ex: em um único processador) teria levado centenas de anos para completar a verificação para bases maiores (como $b=10$ ).
Solução de Hardware (GPU): Para superar essa barreira, os autores portaram o algoritmo para uma arquitetura de computação paralela utilizando uma GPU NVIDIA RTX A2000 através do framework CUDA.
- Isso permitiu distribuir as iterações independentes entre milhares de núcleos de processamento.
- Ganho de Desempenho: A aceleração observada foi superior a 20.000 vezes. Por exemplo, o caso $b=3$ , estimado em 5 anos de execução sequencial, foi resolvido em cerca de 50 minutos.

3. Contribuições e Resultados Principais

Teorema 1 (Limites Finitos):
Prova-se que, para qualquer base $b \ge 2$ , existem apenas um número finito de somas de três números de Fibonacci que podem ser escritas como concatenações de três repdígitos. Um limite superior explícito para o maior índice $n_1$ é estabelecido.

Teorema 2 (Classificação Completa para $2 \le b \le 10$ ):
Os autores determinaram explicitamente todas as soluções para as bases de 2 a 10.

Total de Soluções: Existem 2.665 somas distintas encontradas em todas as bases de 2 a 10.
Maior Solução Encontrada: O maior valor ocorre na base $b=4$ :
$F_{42} + F_{29} + F_{20} = 268.435.290$
Em base 4, este número é representado como a concatenação de três repdígitos: $33333333331122_4$ (três dígitos '3', dois '1' e dois '2').

Corolários:
O estudo também fornece resultados derivados para casos especiais:

Corolário 1.1: Soma de dois números de Fibonacci ( $n_3=0$ ) como concatenação de três repdígitos.
Corolário 1.2: Um único número de Fibonacci ( $n_2=n_3=0$ ) que é uma concatenação de três repdígitos.

Tabelas de Resultados:
O artigo apresenta tabelas detalhadas (Tabelas 1, 2 e 3) listando, para cada base de 2 a 10:

O número de soluções distintas.
A maior soma encontrada e sua representação na base $b$ .

4. Significado e Impacto

Avanço na Teoria dos Números: Este trabalho estende a fronteira de problemas conhecidos sobre "padrões digitais em sequências de recorrência". Enquanto estudos anteriores focavam em um único número de Fibonacci ou duas somas, este artigo lida com a soma de três termos e uma estrutura de concatenação mais complexa (três blocos de dígitos).
Interdisciplinaridade: O artigo ilustra a sinergia entre a teoria analítica de números (limites de Baker) e a computação científica de alto desempenho.
Inovação Computacional: A aplicação bem-sucedida de GPUs para resolver problemas de teoria dos números que envolvem loops combinatórios profundos é um ponto de destaque. O artigo serve como um caso de estudo de como a computação paralela pode tornar viáveis problemas que antes eram considerados intratáveis por arquiteturas sequenciais.
Reprodutibilidade: A descrição detalhada dos parâmetros de redução e a menção ao uso de ferramentas como Mathematica e CUDA oferecem um roteiro claro para futuras investigações em bases maiores ou outras sequências de recorrência (como Pell ou Padovan).

Em suma, o artigo resolve completamente o problema de caracterizar somas de três números de Fibonacci que formam padrões específicos de dígitos repetidos em bases baixas, combinando provas matemáticas rigorosas com poder computacional massivo.