🔢 mathematics

Sums of three Fibonacci numbers as concatenations of three repdigits in base $b$

In dit artikel wordt bewezen dat er voor bases $2 \le b \le 10$ slechts eindig veel sommen van drie Fibonacci-getallen bestaan die als concatenatie van drie repdigit-cijfers in die basis kunnen worden geschreven, waarbij alle oplossingen expliciet worden bepaald en de grootste gevonden wordt voor $b=4$ .

Oorspronkelijke auteurs: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Gepubliceerd 2026-02-25

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Gouden Apen en de Herhalende Getallen: Een Reis door de Wiskunde

Stel je voor dat je twee zeer verschillende werelden hebt die plotseling met elkaar in gesprek gaan.

De eerste wereld is die van de Fibonacci-getallen. Dit zijn getallen die ontstaan door een heel simpel spelletje optellen: begin met 0 en 1, en tel daarna steeds de twee vorige getallen bij elkaar op. Het resultaat is een rij die er zo uitziet: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Deze getallen komen overal in de natuur voor, van de spiralen van een zonnebloem tot de schelp van een nautilus. Ze zijn als de 'gouden apen' van de wiskunde: natuurlijk, mooi en overal aanwezig.

De tweede wereld is die van de repdigits (herhalende cijfers). Dit zijn getallen die in een bepaald talstelsel (zoals ons bekende decimale stelsel, maar ook in binaire of andere systemen) bestaan uit één enkel cijfer dat zich herhaalt. Denk aan 111, 2222, 77777 of 999999. In het dagelijks leven zien we dit op een digitale weegschaal die vastloopt op 8888, of op een oude rekenmachine waar je per ongeluk de '5'-knop blijft indrukken.

Het Grote Raadsel

De onderzoekers van dit artikel (Passimzouwé Dagou en zijn collega's) stelden zich een grappige vraag: Wat gebeurt er als je drie van die 'gouden apen' (Fibonacci-getallen) bij elkaar optelt, en het resultaat is precies een getal dat eruitziet als een rij herhalende cijfers, maar dan in drie verschillende blokken?

Stel je voor dat je drie getallen optelt, bijvoorbeeld $F_{42} + F_{29} + F_{20}$ . Het resultaat is een enorm groot getal. De vraag is: kan dit enorme getal eruitzien als een soort 'reepjes' van herhaling? Bijvoorbeeld: eerst een blokje met alleen maar '3's, daarna een blokje met alleen maar '1's, en tot slot een blokje met alleen maar '2's.

In het grondtal 4 (een systeem waar we maar 4 cijfers gebruiken: 0, 1, 2, 3) bleek dit inderdaad te gebeuren! Het resultaat was:
333333333311224 (in grondtal 4).
Dit is als een wiskundig toverspel: drie losse, natuurlijke getallen samenvoegen tot één perfect gestructureerd, herhalend patroon.

De Uitdaging: Een Naald in een Hooiberg

Het probleem is dat er oneindig veel Fibonacci-getallen zijn en oneindig veel manieren om getallen te schrijven. Het is alsof je probeert te bewijzen dat er in een gigantische berg hooi (alle mogelijke getallencombinaties) slechts een handvol naalden (de juiste oplossingen) te vinden zijn die precies in een specifieke vorm passen.

Als je gewoon zou gaan zoeken, zou je eeuwenlang moeten rekenen. De getallen worden zo groot dat ze niet eens in het geheugen van een normale computer passen.

De Oplossing: De Wiskundige Schaar en de Supercomputer

De auteurs gebruikten twee krachtige wapens om dit probleem op te lossen:

De Wiskundige Schaar (Berekeningen): Ze gebruikten geavanceerde wiskundige theorieën (zoals 'lineaire vormen in logaritmen') om te bewijzen dat er een grens is. Ze konden zeggen: "Oké, we hoeven niet tot het einde van de tijd te zoeken. Als het getal groter is dan X, dan is het onmogelijk dat het werkt." Dit verkleinde de berg hooi van oneindig naar een enorme, maar beheersbare, stapel.
De Supercomputer (De GPU): Zelfs met die stapel was het nog te veel werk voor één gewone computer. Het zou 248 jaar duren om alles één voor één na te kijken. Daarom gebruikten de auteurs een krachtige grafische kaart (een GPU), die werkt als een leger van duizenden kleine arbeiders die allemaal tegelijkertijd werken.
- De analogie: Stel je voor dat je een muur moet slopen. Met één hamer (een gewone computer) duurt het een levenlang. Met een leger van duizenden hamers (de GPU) is de muur in een paar uur weg. Dankzij deze techniek konden ze in enkele uren doen wat normaal decennia zou duren.

De Resultaten: Wat vonden ze?

Na al dat rekenen vonden ze het antwoord voor de grondtallen 2 tot en met 10 (van binaire code tot ons bekende tientallige stelsel).

Er zijn in totaal 2665 unieke combinaties gevonden.
Ze hebben een lijst gemaakt van de grootste getallen die werken.
Het grootste gevonden voorbeeld is in grondtal 4: $F_{42} + F_{29} + F_{20} = 268.435.290$ . In dat grondtal ziet dit eruit als de mooie reeks van herhalingen die we hierboven noemden.

Conclusie

Kortom: dit papier bewijst dat hoewel het lijkt alsof er oneindig veel manieren zijn om deze getallen te combineren, de natuur (of de wiskunde) eigenlijk heel streng is. Er zijn maar een paar specifieke momenten waarop drie Fibonacci-getallen samenkomen om een perfect herhalend patroon te vormen. De auteurs hebben niet alleen bewezen dat deze momenten eindig zijn, maar ze hebben ook precies opgeschreven waar ze allemaal te vinden zijn, geholpen door een combinatie van slimme wiskunde en superkrachtige computers.

Het is een mooi voorbeeld van hoe wiskunde, natuur en moderne technologie samenkomen om een oud raadsel op te lossen.

Titel: Sommen van drie Fibonacci-getallen als concatenaties van drie repdigits in basis $b$

Auteurs: Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, en Kokou Tchariè.

1. Probleemstelling

Het artikel onderzoekt een Diophantische vergelijking die de interactie tussen recurrente rijen (specifiek de Fibonacci-rij) en de digitale representatie van gehele getallen combineert. De kernvraag is of de som van drie Fibonacci-getallen kan worden geschreven als de concatenatie (aaneenschakeling) van drie repdigits in een willekeurige basis $b \geq 2$ .

Een repdigit in basis $b$ is een getal waarvan alle cijfers identiek zijn (bijv. $111$ in decimaal). De vergelijking die wordt onderzocht is:
$F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3} = \underbrace{d_1 \dots d_1}_{\ell_1 \text{ keer}} \underbrace{d_2 \dots d_2}_{\ell_2 \text{ keer}} \underbrace{d_3 \dots d_3}_{\ell_3 \text{ keer}} \quad (\text{in basis } b)$
waarbij:

$F_n$ het $n$ -de Fibonacci-getal is ( $F_0=0, F_1=1$ ).
$d_i$ de cijfers zijn ( $0 \leq d_i \leq b-1$ , met $d_1 > 0$ ).
$\ell_i$ het aantal keren dat het cijfer $d_i$ voorkomt.
De indexen voldoen aan $n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq 0$ en $\ell_3 \geq \ell_2 \geq \ell_1 \geq 1$ .

Het doel is om te bewijzen dat er voor elke basis $b$ slechts een eindig aantal oplossingen bestaat en deze expliciet te bepalen voor $2 \leq b \leq 10$ .

2. Methodologie

De bewijstechniek volgt een standaardaanpak in de Diophantische analyse van lineaire recurrente rijen, bestaande uit twee hoofdfasen: het afleiden van een theoretische bovengrens en het reduceren van deze grens tot een berekenbaar bereik.

A. Lineaire vormen in logaritmen (Baker's theorie)

De auteurs gebruiken de theorie van lineaire vormen in logaritmen, specifiek een resultaat van Baker en Wüstholz.

Ze herschrijven de Diophantische vergelijking zodat deze een lineaire vorm $\Gamma$ in logaritmen van algebraïsche getallen ( $\alpha, b, d_i$ ) oplevert.
Door de ongelijkheid $|\Gamma| > e^{-C \cdot h(\dots)}$ te combineren met de benadering van de Fibonacci-getallen via Binet's formule ( $F_n \approx \alpha^n / \sqrt{5}$ ), leiden ze een zeer grote theoretische bovengrens af voor de index $n_1$ .
Resultaat (Stelling 1): Voor een oplossing geldt $n_1 < 3.09 \times 10^{82} \log^{11} b$ . Deze waarde is te groot voor directe computerverificatie.

B. Reductiemethode (Dujella en Pethő)

Om de bovengrens te verkleinen, passen de auteurs de reductiemethode toe, gebaseerd op continuïteitsbreuken (Lemma 2 in het artikel).

Ze gebruiken de ongelijkheden afgeleid uit de lineaire vormen om een probleem te formuleren dat lijkt op het benaderen van een irrationaal getal door rationale getallen.
Met behulp van de convergenten van de continuïteitsbreuk van $\frac{\log b}{\log \alpha}$ en de methode van Lenstra, Lenstra en Lovász (geïmplementeerd via Mathematica), reduceren ze de bovengrens voor $n_1$ drastisch.
Ze hanteren een casuïstische benadering (Case 1 en Case 2, met sub-cases) afhankelijk van welke termen in de ongelijkheden dominant zijn.

C. Parallelle Computatie

Na de reductie blijft een zoekruimte over die nog steeds te groot is voor sequentiële verwerking (geschatte rekentijd van decennia voor basis 10).

Technische uitdaging: Het probleem vereist het doorlopen van zeven geneste lussen (voor de cijfers $d_i$ , lengtes $\ell_i$ en indexen $n_i$ ), wat leidt tot exponentiële groei in iteraties.
Oplossing: De auteurs porten de algoritmen naar een GPU-architectuur (NVIDIA RTX A2000) met behulp van CUDA.
Resultaat: Dit zorgt voor een versnelling van meer dan 20.000x ten opzichte van sequentiële uitvoering. Waar een berekening voor basis 3 eerder 5 jaar zou duren, werd dit in 50 minuten voltooid.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Stelling 1: Finiteness

Er is bewezen dat voor elke basis $b \geq 2$ het aantal oplossingen eindig is. De auteurs geven een expliciete bovengrens voor de grootste index $n_1$ .

Stelling 2: Expliciete Oplossingen voor $2 \leq b \leq 10$

Voor de bases 2 tot en met 10 zijn alle oplossingen gevonden. In totaal zijn er 2665 verschillende sommen gevonden over alle bases.

Grootste oplossing: De grootste som komt voor in basis $b=4$ $b = 4$ .
- Vergelijking: $F_{42} + F_{29} + F_{20} = 268.435.290$ .
- Representatie in basis 4: $33333333331122_4$ .
De auteurs presenteren tabellen met het aantal oplossingen per basis en de grootste gevonden som voor elke basis.

Corollarissen

Uit de hoofdstelling volgen directe resultaten voor speciale gevallen:

Twee Fibonacci-getallen: Door $n_3=0$ te stellen, worden alle sommen van twee Fibonacci-getallen die als drie repdigits geschreven kunnen worden, bepaald.
Eén Fibonacci-getal: Door $n_2=n_3=0$ te stellen, worden alle Fibonacci-getallen die zelf een concatenatie van drie repdigits zijn, bepaald.

4. Significatie en Impact

Wiskundige Uitbreiding: Dit werk breidt de bestaande literatuur uit over "digitale patronen in recurrente rijen". Eerdere studies concentreerden zich vaak op één getal of twee repdigits. Dit artikel introduceert de complexiteit van de som van drie getallen en de concatenatie van drie repdigits.
Methodologische Vooruitgang: Het artikel demonstreert de noodzaak en effectiviteit van High-Performance Computing (HPC) in de getaltheorie. Het toont aan dat problemen die theoretisch oplosbaar zijn maar computationeel onbereikbaar lijken door hun combinatorische complexiteit, oplosbaar zijn door parallelle verwerking op GPU's.
Technische Innovatie: De overgang van een geschatte rekentijd van eeuwen naar enkele uren door het gebruik van CUDA en Togo Data Lab's infrastructuur, markeert een belangrijke stap in de toepassing van GPU's voor Diophantische problemen.

Conclusie

Het artikel levert een volledig classificatie van de sommen van drie Fibonacci-getallen die als concatenaties van drie repdigits in bases 2 tot 10 kunnen worden geschreven. Door een combinatie van diepe theoretische inzichten (Baker's theorie) en geavanceerde parallelle computationele technieken, hebben de auteurs een probleem opgelost dat voorheen als computationeel onhaalbaar werd beschouwd.

Titel: Sommen van drie Fibonacci-getallen als concatenaties van drie repdigits in basis bbb