🔢 mathematics

Sums of three Fibonacci numbers as concatenations of three repdigits in base $b$

Cet article démontre que pour les bases $2 \le b \le 10$ , il n'existe qu'un nombre fini de sommes de trois nombres de Fibonacci formant des concaténations de trois suites de chiffres identiques, et en identifie explicitement toutes les solutions, la plus grande étant $F_{42}+F_{29}+F_{20}$ en base 4.

Auteurs originaux : Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Publié 2026-02-25

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Passimzouwé Dagou, Pagdame Tiebekabe, Kouèssi Norbert Adédji, Kokou Tchariè

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🧩 L'énigme des nombres qui se collent : Une chasse au trésor numérique

Imaginez que vous avez deux types de blocs de construction très spéciaux :

Les blocs "Fibonacci" : Une suite de nombres magiques où chaque nombre est la somme des deux précédents (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...). C'est une suite que l'on retrouve partout dans la nature, des pétales de fleurs aux spirales des galaxies.
Les blocs "Répétitifs" (Repdigits) : Ce sont des nombres composés d'un seul chiffre répété encore et encore, comme 111, 2222, ou 77777.

Le défi de l'article :
Les auteurs de ce papier se sont demandé : "Est-il possible de prendre trois blocs Fibonacci, de les additionner, et d'obtenir un résultat qui ressemble exactement à une chaîne de trois blocs répétitifs collés les uns aux autres ?"

Par exemple, si vous écrivez le résultat en base 10 (nos chiffres habituels), pouvez-vous obtenir quelque chose comme 111222333 ? Ou en base 4, quelque chose comme 3331122 ?

🕵️‍♂️ La mission : Trouver toutes les solutions

Les mathématiciens (Passimzouawé, Pagdame, Kouèssi et Kokou) ont lancé une chasse au trésor pour répondre à cette question. Leur objectif était double :

Prouver qu'il n'y a pas une infinité de solutions (qu'il y a un "plafond" au-delà duquel c'est impossible).
Trouver toutes les solutions possibles pour les bases de 2 à 10 (de la base binaire 0/1 jusqu'à notre base 10 habituelle).

🚀 Comment ont-ils fait ? (L'histoire en deux actes)

Acte 1 : Le filet de sécurité théorique

D'abord, ils ont utilisé des outils mathématiques très puissants (appelés "formes linéaires en logarithmes"). Imaginez que vous cherchez une aiguille dans une botte de foin, mais que vous avez un aimant géant qui vous dit : "L'aiguille est forcément dans les 10 premiers mètres, pas au kilomètre !".

Grâce à ces formules complexes, ils ont prouvé que le plus grand nombre de Fibonacci nécessaire pour résoudre l'énigme est énorme, mais fini. Ils ont établi une limite théorique gigantesque (environ $10^{82}$ ), ce qui signifie qu'il n'y a pas de solution infinie. C'est une première victoire : le problème est "résoluble".

Acte 2 : Le grand nettoyage (et le super-ordinateur)

Le problème, c'est que même si la limite est "finie", $10^{82}$ est un nombre si grand que même l'ordinateur le plus rapide de la Terre mettrait des milliards d'années à tout vérifier un par un. C'est comme essayer de compter chaque grain de sable d'un désert à la main.

Pour contourner ce problème, ils ont utilisé une technique de "réduction" (comme un aspirateur mathématique) pour réduire la zone de recherche de $10^{82}$ à environ 74.

Avant : Chercher dans tout l'univers.
Après : Chercher seulement dans votre salon.

Mais même vérifier les 74 derniers nombres pour toutes les combinaisons possibles de chiffres et de bases demandait une puissance de calcul colossale.

Le tour de force technologique :
L'article révèle un détail fascinant : si les auteurs avaient utilisé un ordinateur classique, le calcul pour la base 10 aurait pris 248 ans ! C'était impossible.
Alors, ils ont fait appel à une carte graphique de jeu vidéo (NVIDIA RTX A2000) et à une technologie appelée CUDA.

L'analogie : Au lieu d'avoir un seul ouvrier qui pose des briques une par une (ordinateur classique), ils ont mobilisé des milliers d'ouvriers (les cœurs du processeur graphique) pour poser les briques tous en même temps.
Le résultat : Ce qui aurait pris des années a été terminé en quelques heures. Pour la base 2, au lieu de 13 mois, cela a pris 8 minutes !

🏆 Les découvertes (Le butin)

Grâce à cette méthode, ils ont trouvé 2 665 solutions au total pour les bases de 2 à 10.

Voici le "record" absolu, la solution la plus impressionnante trouvée :

Base : 4 (un système à 4 chiffres).
L'opération : $F_{42} + F_{29} + F_{20}$ (trois grands nombres de Fibonacci).
Le résultat : Un nombre qui, écrit en base 4, ressemble à 333333333311224.
- C'est comme si vous aviez dix 3, suivis de deux 1, d'un 2 et d'un 4. C'est une structure très ordonnée sortie de l'addition de nombres naturels.

📝 En résumé

Ce papier est une aventure qui combine :

La théorie pure : Pour prouver que le trésor existe et qu'il est limité.
L'ingénierie de pointe : Pour utiliser la puissance des cartes graphiques (comme celles des jeux vidéo) afin de trouver le trésor en un temps record.

C'est la preuve que les mathématiques modernes ne se font plus seulement avec un crayon et du papier, mais aussi avec des super-ordinateurs capables de transformer des siècles de calcul en quelques heures, révélant ainsi des beautés cachées dans la structure des nombres.

Résumé Technique : Sommes de trois nombres de Fibonacci comme concaténations de trois répidigits

1. Problématique

L'article s'attaque à un problème diophantien combinant la théorie des nombres, les suites récurrentes et les propriétés numériques. L'objectif est de déterminer toutes les sommes de trois nombres de Fibonacci ( $F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3}$ ) qui peuvent s'écrire sous la forme d'une concaténation de trois répidigits dans une base $b$ donnée ( $b \ge 2$ ).

Un répidigit est un entier dont tous les chiffres sont identiques dans une base donnée (ex: $111_2$ , $777_7$ ). La concaténation de trois répidigits de longueurs $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ et de chiffres $d_1, d_2, d_3$ s'écrit :
$R = \underbrace{d_1 \dots d_1}_{\ell_1} \underbrace{d_2 \dots d_2}_{\ell_2} \underbrace{d_3 \dots d_3}_{\ell_3}^{(b)}$
L'équation diophantienne étudiée est :
$F_{n_1} + F_{n_2} + F_{n_3} = d_1 \dots d_1 \, d_2 \dots d_2 \, d_3 \dots d_3 \quad (\text{en base } b)$
Les auteurs cherchent à caractériser l'ensemble des solutions pour les bases $2 \le b \le 10$ .

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche hybride combinant des outils théoriques avancés de la théorie des nombres et des calculs numériques intensifs.

A. Bornes théoriques (Formes linéaires en logarithmes)

Théorème de Baker-Wüstholz : Les auteurs utilisent les bornes inférieures pour les formes linéaires en logarithmes d'unités algébriques pour établir une borne supérieure initiale extrêmement grande sur l'indice du plus grand nombre de Fibonacci ( $n_1$ ).
Inégalités : En transformant l'équation diophantienne en une forme impliquant des logarithmes, ils démontrent que si une solution existe, alors $n_1$ est borné par une expression de l'ordre de $10^{82} \log^{11} b$ .
Réduction de bornes (Méthode de Dujella-Pethő) : Les bornes théoriques étant trop grandes pour une vérification par force brute, les auteurs appliquent la méthode de réduction de Baker (via le lemme de Dujella-Pethő) basée sur les fractions continues. Cela permet de réduire drastiquement la borne de $n_1$ à un intervalle fini et gérable ( $n_1 \le 74$ ).

B. Calculs numériques et optimisation (Parallélisation GPU)

Complexité combinatoire : La vérification finale nécessite de parcourir un espace de recherche à sept boucles imbriquées (pour les indices $n_i$ , les longueurs $\ell_i$ et les chiffres $d_i$ ). Pour $b=10$ , une exécution séquentielle classique aurait pris près de 248 ans.
Solution technique : Pour surmonter ce goulot d'étranglement, les auteurs ont porté l'algorithme sur une architecture de calcul parallèle utilisant des GPU NVIDIA RTX A2000 via le framework CUDA.
Gain de performance : Cette approche a permis un accélération d'un facteur supérieur à 20 000. Par exemple, le cas $b=3$ , estimé à 5 ans en séquentiel, a été résolu en 50 minutes.

3. Résultats Principaux

Théorème 1 (Borne supérieure) :
Pour toute base $b \ge 2$ , il existe une borne explicite $n_1 < 3.09 \times 10^{82} \log^{11} b$ pour les solutions de l'équation.

Théorème 2 (Finitude et énumération) :
Pour chaque base entière $2 \le b \le 10$ , le nombre de sommes de trois nombres de Fibonacci satisfaisant la condition est fini.

Total des solutions : Il existe exactement 2665 sommes distinctes au total sur toutes les bases de 2 à 10.
Cas extrême : La plus grande somme trouvée se produit pour la base $b=4$ :
$F_{42} + F_{29} + F_{20} = 268\,435\,290$
Ce nombre s'écrit en base 4 comme la concaténation de trois répidigits : $333333333311224_4$ .

Corollaires et extensions :
Les auteurs ont également déduit les résultats pour des cas particuliers :

Sommes de deux nombres de Fibonacci (en posant $n_3=0$ ) : 2665 solutions totales (Tableau 2).
Nombres de Fibonacci seuls (en posant $n_2=n_3=0$ ) : 6 solutions distinctes par base (Tableau 3).

4. Contributions Clés

Extension de la littérature : Ce travail généralise les études précédentes (qui portaient sur un seul nombre de Fibonacci ou des sommes de deux) au cas de la somme de trois nombres de Fibonacci.
Résolution complète : Pour la première fois, l'ensemble complet des solutions est déterminé pour les bases 2 à 10, avec une preuve de finitude rigoureuse.
Innovation computationnelle : L'article met en avant l'utilisation cruciale du calcul haute performance (HPC) et du parallélisme GPU pour résoudre des problèmes diophantiens dont la complexité combinatoire rendrait l'approche séquentielle impossible.

5. Signification et Impact

Théorique : L'article enrichit la compréhension de l'interaction entre les suites récurrentes (Fibonacci) et les représentations numériques (répidigits, concaténations). Il confirme l'hypothèse selon laquelle les structures numériques "spéciales" (comme les répidigits) sont très rares dans les suites de Fibonacci.
Méthodologique : Il sert de modèle pour la résolution de problèmes diophantiens complexes, démontrant comment combiner des bornes théoriques fines (théorie de Baker) avec une puissance de calcul massive pour obtenir des résultats effectifs.
Collaboration : Le travail souligne l'importance des infrastructures de calcul (Togo Data Lab) et de l'expertise en optimisation algorithmique pour la recherche mathématique moderne.

En conclusion, cet article fournit une réponse complète et définitive à la question de la représentation des sommes de trois nombres de Fibonacci comme concaténations de trois répidigits pour les bases usuelles, en alliant rigueur mathématique et ingénierie computationnelle de pointe.