Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $\rho(q)$

Resumen Técnico: Ley de Signos para la Función Mock Theta de Tercer Orden de Ramanujan $\rho(q)$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga los coeficientes $r(n)$ de la función mock theta de tercer orden de Ramanujan $\rho(q)$, definida por la serie:
$$\rho(q) = \sum_{m \ge 0} \frac{q^{2m(m+1)}}{(1 + q + q^2)(1 + q^3 + q^6) \cdots (1 + q^{2m+1} + q^{4m+2})} = \sum_{n \ge 0} r(n)q^n.$$
La computación numérica de los coeficientes iniciales revela un patrón de signo rígido dependiente de $n \pmod 3$:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) \le 0$
• $r(3n+2) \le 0$

Si bien los primeros términos en las clases de residuos negativos se anulan ocasionalmente (específicamente $r(2), r(4), r(8), r(11), r(20) = 0$), no se han observado términos con el signo "incorrecto". El artículo tiene como objetivo demostrar la validez asintótica de esta ley de signos.

Metodología
La demostración se basa en el método del círculo y el análisis asintótico de los coeficientes de las funciones mock theta, utilizando específicamente los siguientes pasos:

1. Identidad de Watson: Los autores emplean una identidad clásica de Watson que relaciona $\rho(q)$ con otra función mock theta $\omega(q)$ y un producto theta-eta $T(q)$:
   $$2\rho(q) + \omega(q) = T(q).$$
   En términos de coeficientes, esto produce la relación $2r(n) = t(n) - w(n)$, donde $t(n)$ y $w(n)$ son los coeficientes de $T(q)$ y $\omega(q)$, respectivamente.

2. Expansiones de Tipo Rademacher:

   • Para $\omega(q)$: Los autores utilizan expansiones de tipo Rademacher existentes para $\omega(q)$ (basadas en el trabajo de Garthwaite y Andersen–Anderson). Calculan explícitamente las tres primeras sumas de Kloosterman ($c=1, 2, 3$) para determinar los términos asintóticos principales.
   • Para $T(q)$: La función $T(q)$ se expresa como un cociente theta-eta: $T(q) = 3 \psi(q^3)^2 / (q^2; q^2)_\infty$. Los autores derivan una nueva expansión de tipo Rademacher para este cociente eta. Esto implica calcular el comportamiento asintótico local de $T(q)$ cerca de las raíces de la unidad ($q=1, -1, \zeta, \zeta^2$) para determinar su sistema de multiplicadores y los coeficientes de Bessel correspondientes.

3. Cancelación y Comparación:
   Al sustituir las expansiones en $2r(n) = t(n) - w(n)$, los autores observan que los términos principales (correspondientes a $c=1$) se cancelan exactamente. Los términos $c=2$ se anulan para ambas funciones. En consecuencia, el comportamiento asintótico de $r(n)$ está gobernado por los términos $c=3$.

4. Determinación del Signo:
   Los autores calculan las constantes específicas que surgen de los términos $c=3$ tanto para $t(n)$ como para $w(n)$. Demuestran que el coeficiente resultante para $r(n)$ es proporcional a una constante $\kappa_{n \pmod 3}$ multiplicada por una función de Bessel modificada $I_{1/2}$. Dado que $I_{1/2}(x) > 0$ para $x > 0$, el signo de $r(n)$ para $n$ grande está determinado enteramente por el signo de $\kappa_{n \pmod 3}$.

Resultados Clave
El artículo establece la siguiente fórmula asintótica para $r(n)$ cuando $n \to \infty$:
$$r(n) \sim \kappa_{n \pmod 3} \frac{2\pi}{(12n+8)^{1/4}} I_{1/2}\left( \frac{\pi\sqrt{12n+8}}{18} \right),$$
donde las constantes son:

• $\kappa_0 = \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{18}) > 0$
• $\kappa_1 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{2\pi}{9}) < 0$
• $\kappa_2 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{9}) < 0$

El Teorema 1.2 establece que para todo $n$ suficientemente grande:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) < 0$
• $r(3n+2) < 0$

Se muestra que el término de error en esta aproximación es exponencialmente más pequeño que el término principal ($O(e^{\pi\sqrt{12n+8}/24})$ frente al crecimiento del término principal $e^{\pi\sqrt{12n+8}/18}$), lo que asegura que el signo se fije eventualmente.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera prueba de la ley de signo asintótica para los coeficientes de $\rho(q)$. El trabajo se encuadra dentro del contexto más amplio de la comprensión de las propiedades aritméticas de las funciones mock theta, extendiendo el círculo de ideas de Dragonette, Andrews, Bringmann y Ono.

Los autores declaran explícitamente que su prueba cubre el comportamiento "eventual" de los coeficientes. No pretenden determinar el corte finito exacto para que la ley de signos se cumpla para todo $n$, aunque los datos experimentales sugieren que la desigualdad estricta se cumple para todo $n \ge 21$ (con los ceros notables en las clases negativas). El artículo concluye con la conjetura de que leyes de signos similares pueden existir para otras funciones mock theta de tercer orden, específicamente $\phi(q)$ y $\chi(q)$, aunque estas no son probadas en este trabajo.