Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $\rho(q)$

Résumé Technique : Loi de Signe pour la Fonction Mock Theta d'Ordre Trois de Ramanujan $\rho(q)$

Énoncé du Problème
Cet article étudie les coefficients $r(n)$ de la fonction mock theta d'ordre trois de Ramanujan $\rho(q)$, définie par la série :
$$\rho(q) = \sum_{m \ge 0} \frac{q^{2m(m+1)}}{(1 + q + q^2)(1 + q^3 + q^6) \cdots (1 + q^{2m+1} + q^{4m+2})} = \sum_{n \ge 0} r(n)q^n.$$
Le calcul numérique des premiers coefficients révèle un motif de signe rigide dépendant de $n \pmod 3$ :

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) \le 0$
• $r(3n+2) \le 0$

Bien que les premiers termes dans les classes de résidus négatives s'annulent occasionnellement (spécifiquement $r(2), r(4), r(8), r(11), r(20) = 0$), aucun terme avec le "mauvais" signe n'a été observé. L'article vise à prouver la validité asymptotique de cette loi de signe.

Méthodologie
La preuve repose sur la méthode du cercle et l'analyse asymptotique des coefficients des fonctions mock theta, en utilisant spécifiquement les étapes suivantes :

1. Identité de Watson : Les auteurs emploient une identité classique de Watson reliant $\rho(q)$ à une autre fonction mock theta $\omega(q)$ et un produit theta-eta $T(q)$ :
   $$2\rho(q) + \omega(q) = T(q).$$
   En termes de coefficients, cela produit la relation $2r(n) = t(n) - w(n)$, où $t(n)$ et $w(n)$ sont les coefficients de $T(q)$ et $\omega(q)$, respectivement.

2. Développements de Type Rademacher :

   • Pour $\omega(q)$ : Les auteurs utilisent les développements de type Rademacher existants pour $\omega(q)$ (basés sur les travaux de Garthwaite et Andersen–Anderson). Ils calculent explicitement les trois premières sommes de Kloosterman ($c=1, 2, 3$) pour déterminer les termes asymptotiques dominants.
   • Pour $T(q)$ : La fonction $T(q)$ est exprimée comme un quotient theta-eta : $T(q) = 3 \psi(q^3)^2 / (q^2; q^2)_\infty$. Les auteurs dérivent un nouveau développement de type Rademacher pour ce quotient d'eta. Cela implique de calculer le comportement asymptotique local de $T(q)$ au voisinage des racines de l'unité ($q=1, -1, \zeta, \zeta^2$) pour déterminer le système de multiplicateur et les coefficients de Bessel correspondants.

3. Annulation et Comparaison :
   En substituant les développements dans $2r(n) = t(n) - w(n)$, les auteurs observent que les termes dominants (correspondant à $c=1$) s'annulent exactement. Les termes $c=2$ s'annulent pour les deux fonctions. Par conséquent, le comportement asymptotique de $r(n)$ est régi par les termes $c=3$.

4. Détermination du Signe :
   Les auteurs calculent les constantes spécifiques issues des termes $c=3$ pour $t(n)$ et $w(n)$. Ils démontrent que le coefficient résultant pour $r(n)$ est proportionnel à une constante $\kappa_{n \pmod 3}$ multipliée par une fonction de Bessel modifiée $I_{1/2}$. Puisque $I_{1/2}(x) > 0$ pour $x > 0$, le signe de $r(n)$ pour $n$ grand est entièrement déterminé par le signe de $\kappa_{n \pmod 3}$.

Résultats Clés
Les auteurs établissent la formule asymptotique suivante pour $r(n)$ lorsque $n \to \infty$ :
$$r(n) \sim \kappa_{n \pmod 3} \frac{2\pi}{(12n+8)^{1/4}} I_{1/2}\left( \frac{\pi\sqrt{12n+8}}{18} \right),$$
où les constantes sont :

• $\kappa_0 = \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{18}) > 0$
• $\kappa_1 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{2\pi}{9}) < 0$
• $\kappa_2 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{9}) < 0$

Le Théorème 1.2 stipule que pour tout $n$ suffisamment grand :

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) < 0$
• $r(3n+2) < 0$

Le terme d'erreur de cette approximation est montré comme étant exponentiellement plus petit que le terme principal ($O(e^{\pi\sqrt{12n+8}/24})$ contre une croissance du terme principal de $e^{\pi\sqrt{12n+8}/18}$), garantissant que le signe est finalement fixé.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir la première preuve de la loi de signe asymptotique pour les coefficients de $\rho(q)$. Ce travail s'inscrit dans le contexte plus large de la compréhension des propriétés arithmétiques des fonctions mock theta, prolongeant le cercle d'idées de Dragonette, Andrews, Bringmann et Ono.

Les auteurs déclarent explicitement que leur preuve couvre le comportement "éventuel" des coefficients. Ils ne prétendent pas déterminer le seuil fini exact pour lequel la loi de signe est valable pour tout $n$, bien que les données expérimentales suggèrent que l'inégalité stricte est respectée pour tout $n \ge 21$ (avec les zéros notés dans les classes négatives). L'article conclut en conjecturant que des lois de signe similaires peuvent exister pour d'autres fonctions mock theta d'ordre trois, spécifiquement $\phi(q)$ et $\chi(q)$, bien que celles-ci ne soient pas prouvées dans ce travail.