Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $\rho(q)$

Technische Samenvatting: Tekenwet voor de Ramanujan derde orde mock-theta functie $\rho(q)$

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de coëfficiënten $r(n)$ van Ramanujan's derde orde mock-theta functie $\rho(q)$, gedefinieerd door de reeks:
$$\rho(q) = \sum_{m \ge 0} \frac{q^{2m(m+1)}}{(1 + q + q^2)(1 + q^3 + q^6) \cdots (1 + q^{2m+1} + q^{4m+2})} = \sum_{n \ge 0} r(n)q^n.$$
Numerieke berekening van de initiële coëfficiënten onthult een rigide tekenpatroon afhankelijk van $n \pmod 3$:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) \le 0$
• $r(3n+2) \le 0$

Hoewel de vroege termen in de negatieve residuklassen incidenteel verdwijnen (specifiek $r(2), r(4), r(8), r(11), r(20) = 0$), zijn er geen termen met het "verkeerde" teken waargenomen. Het artikel beoogt de asymptotische geldigheid van deze tekenwet te bewijzen.

Methodologie
Het bewijs steunt op de cirkelmethode en asymptotische analyse van mock-theta coëfficiënten, specifiek gebruikmakend van de volgende stappen:

1. Watson's Identiteit: De auteurs maken gebruik van een klassieke identiteit door Watson die $\rho(q)$ relateert aan een andere mock-theta functie $\omega(q)$ en een theta-eta product $T(q)$:
   $$2\rho(q) + \omega(q) = T(q).$$
   In termen van coëfficiënten levert dit de relatie $2r(n) = t(n) - w(n)$ op, waarbij $t(n)$ en $w(n)$ de coëfficiënten zijn van respectievelijk $T(q)$ en $\omega(q)$.

2. Rademacher-type Expansies:

   • Voor $\omega(q)$: De auteurs maken gebruik van bestaande Rademacher-type expansies voor $\omega(q)$ (gebaseerd op werk van Garthwaite en Andersen–Anderson). Ze berekenen expliciet de eerste drie Kloosterman-sommen ($c=1, 2, 3$) om de leidende asymptotische termen te bepalen.
   • Voor $T(q)$: De functie $T(q)$ wordt uitgedrukt als een theta-eta quotient: $T(q) = 3 \psi(q^3)^2 / (q^2; q^2)_\infty$. De auteurs leiden een nieuwe Rademacher-type expansie voor dit eta-quotient af. Dit houdt het berekenen van het lokale asymptotische gedrag van $T(q)$ nabij eenheden van wortels ($q=1, -1, \zeta, \zeta^2$) in om het bijbehorende multiplicatiesysteem en de Bessel-coëfficiënten te bepalen.

3. Annulering en Vergelijking:
   Door de expansies in $2r(n) = t(n) - w(n)$ te substitueren, observeren de auteurs dat de leidende termen (overeenkomend met $c=1$) exact wegvallen. De $c=2$ termen verdwijnen voor beide functies. Bijgevolg wordt het asymptotische gedrag van $r(n)$ bepaald door de $c=3$ termen.

4. Bepaling van het Teken:
   De auteurs berekenen de specifieke constanten die voortvloeien uit de $c=3$ termen voor zowel $t(n)$ als $w(n)$. Ze tonen aan dat de resulterende coëfficiënt voor $r(n)$ proportioneel is aan een constante $\kappa_{n \pmod 3}$ vermenigvuldigd met een gemodificeerde Bessel-functie $I_{1/2}$. Aangezien $I_{1/2}(x) > 0$ voor $x > 0$, wordt het teken van $r(n)$ voor grote $n$ volledig bepaald door het teken van $\kappa_{n \pmod 3}$.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel stelt de volgende asymptotische formule voor $r(n)$ vast als $n \to \infty$:
$$r(n) \sim \kappa_{n \pmod 3} \frac{2\pi}{(12n+8)^{1/4}} I_{1/2}\left( \frac{\pi\sqrt{12n+8}}{18} \right),$$
waarbij de constanten zijn:

• $\kappa_0 = \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{18}) > 0$
• $\kappa_1 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{2\pi}{9}) < 0$
• $\kappa_2 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{9}) < 0$

Stelling 1.2 stelt dat voor alle voldoende grote $n$:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) < 0$
• $r(3n+2) < 0$

De foutterm in deze benadering wordt aangetoond exponentieel kleiner te zijn dan de hoofdterm ($O(e^{\pi\sqrt{12n+8}/24})$ versus de groei van de hoofdterm $e^{\pi\sqrt{12n+8}/18}$), wat garandeert dat het teken uiteindelijk vaststaat.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt het eerste bewijs te leveren voor de asymptotische tekenwet van de coëfficiënten van $\rho(q)$. Het werk past binnen de bredere context van het begrijpen van de rekenkundige eigenschappen van mock-theta functies, voortbouwend op de ideeën van Dragonette, Andrews, Bringmann en Ono.

De auteurs geven expliciet aan dat hun bewijs het "uiteindelijke" gedrag van de coëfficiënten dekt. Ze beweren niet een exacte eindige afkapwaarde te hebben bepaald waarvoor de tekenwet voor alle $n$ geldt, hoewel experimentele gegevens suggereren dat de strikte ongelijkheid geldt voor alle $n \ge 21$ (met de genoemde nullen in de negatieve klassen). Het artikel sluit af met de conjectuur dat vergelijkbare tekenwetten kunnen bestaan voor andere derde orde mock-theta functies, specifiek $\phi(q)$ en $\chi(q)$, hoewel deze in dit werk niet bewezen worden.