Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $\rho(q)$

Resumo Técnico: Lei de Sinal para a Função Mock Theta de Terceira Ordem de Ramanujan $\rho(q)$

Enunciado do Problema
Este artigo investiga os coeficientes $r(n)$ da função mock theta de terceira ordem de Ramanujan $\rho(q)$, definida pela série:
$$\rho(q) = \sum_{m \ge 0} \frac{q^{2m(m+1)}}{(1 + q + q^2)(1 + q^3 + q^6) \cdots (1 + q^{2m+1} + q^{4m+2})} = \sum_{n \ge 0} r(n)q^n.$$
A computação numérica dos coeficientes iniciais revela um padrão de sinal rígido dependente de $n \pmod 3$:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) \le 0$
• $r(3n+2) \le 0$

Embora os termos iniciais nas classes de resíduos negativos ocasionalmente se anulem (especificamente $r(2), r(4), r(8), r(11), r(20) = 0$), nenhum termo com o sinal "errado" foi observado. O artigo visa provar a validade assintótica desta lei de sinal.

Metodologia
A prova baseia-se no método do círculo e na análise assintótica de coeficientes de funções mock theta, utilizando especificamente as seguintes etapas:

1. Identidade de Watson: Os autores empregam uma identidade clássica de Watson que relaciona $\rho(q)$ a outra função mock theta $\omega(q)$ e um produto theta-eta $T(q)$:
   $$2\rho(q) + \omega(q) = T(q).$$
   Em termos de coeficientes, isso resulta na relação $2r(n) = t(n) - w(n)$, onde $t(n)$ e $w(n)$ são os coeficientes de $T(q)$ e $\omega(q)$, respectivamente.

2. Expansões do Tipo Rademacher:

   • Para $\omega(q)$: Os autores utilizam expansões do tipo Rademacher existentes para $\omega(q)$ (baseadas no trabalho de Garthwaite e Andersen–Anderson). Eles calculam explicitamente as três primeiras somas de Kloosterman ($c=1, 2, 3$) para determinar os termos assintóticos principais.
   • Para $T(q)$: A função $T(q)$ é expressa como um quociente theta-eta: $T(q) = 3 \psi(q^3)^2 / (q^2; q^2)_\infty$. Os autores derivam uma nova expansão do tipo Rademacher para este quociente eta. Isso envolve o cálculo do comportamento assintótico local de $T(q)$ próximo a raízes da unidade ($q=1, -1, \zeta, \zeta^2$) para determinar o sistema de multiplicador e os coeficientes de Bessel correspondentes.

3. Cancelamento e Comparação:
   Ao substituir as expansões em $2r(n) = t(n) - w(n)$, os autores observam que os termos principais (correspondentes a $c=1$) se cancelam exatamente. Os termos $c=2$ desaparecem para ambas as funções. Consequentemente, o comportamento assintótico de $r(n)$ é governado pelos termos $c=3$.

4. Determinação do Sinal:
   Os autores calculam as constantes específicas decorrentes dos termos $c=3$ tanto para $t(n)$ quanto para $w(n)$. Eles demonstram que o coeficiente resultante para $r(n)$ é proporcional a uma constante $\kappa_{n \pmod 3}$ multiplicada por uma função de Bessel modificada $I_{1/2}$. Como $I_{1/2}(x) > 0$ para $x > 0$, o sinal de $r(n)$ para $n$ grande é determinado inteiramente pelo sinal de $\kappa_{n \pmod 3}$.

Principais Resultados
O artigo estabelece a seguinte fórmula assintótica para $r(n)$ conforme $n \to \infty$:
$$r(n) \sim \kappa_{n \pmod 3} \frac{2\pi}{(12n+8)^{1/4}} I_{1/2}\left( \frac{\pi\sqrt{12n+8}}{18} \right),$$
onde as constantes são:

• $\kappa_0 = \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{18}) > 0$
• $\kappa_1 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{2\pi}{9}) < 0$
• $\kappa_2 = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{9}) < 0$

O Teorema 1.2 afirma que para todo $n$ suficientemente grande:

• $r(3n) > 0$
• $r(3n+1) < 0$
• $r(3n+2) < 0$

O termo de erro nesta aproximação é mostrado como sendo exponencialmente menor que o termo principal ($O(e^{\pi\sqrt{12n+8}/24})$ vs. crescimento do termo principal $e^{\pi\sqrt{12n+8}/18}$), garantindo que o sinal seja eventualmente fixo.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer a primeira prova da lei de sinal assintótica para os coeficientes de $\rho(q)$. O trabalho insere-se no contexto mais amplo de compreensão das propriedades aritméticas das funções mock theta, estendendo o círculo de ideias de Dragonette, Andrews, Bringmann e Ono.

Os autores declaram explicitamente que sua prova cobre o comportamento "eventual" dos coeficientes. Eles não alegam determinar o corte finito exato para o qual a lei de sinal se mantém para todo $n$, embora dados experimentais sugiram que a desigualdade estrita se aplica para todo $n \ge 21$ (com os zeros notados nas classes negativas). O artigo conclui conjecturando que leis de sinal semelhantes podem existir para outras funções mock theta de terceira ordem, especificamente $\phi(q)$ e $\chi(q)$, embora estas não sejam provadas neste trabalho.