Robust estimation of occupation probabilities for coarsened multistate processes

Resumen Técnico: Estimación Robusta de Probabilidades de Ocupación para Procesos Multiestado Coartados

Planteamiento del Problema
Los modelos multiestado proporcionan un marco general para analizar fenómenos donde las entidades transitan entre estados bien definidos a lo largo del tiempo, como la progresión de enfermedades, el estado de empleo o las calificaciones crediticias. Un parámetro de interés primordial en estos modelos es la probabilidad de ocupación —la probabilidad de que un proceso ocupe un estado específico en un tiempo dado $t_0$. En la práctica, estos procesos suelen estar sujetos a dos niveles de coartación: censura por la derecha (por ejemplo, abandono del estudio) y exposición basal (asignación de tratamiento).

La literatura existente sobre modelos multiestado suele basarse en supuestos restrictivos, como la propiedad de Markov para las transiciones de estado o la independencia de la censura respecto a la historia del proceso dadas las covariables basales. Este artículo aborda el desafío de estimar las probabilidades de ocupación para procesos multiestado contrafácticos bajo supuestos más débiles. Específicamente, los autores pretenden manejar transiciones de estado no markovianas y permitir que los mecanismos de censura por la derecha dependan tanto de la historia natural del proceso como de las covariables dependientes del tiempo, siempre que se cumpla el supuesto de Coartación al Azar (CAR, por sus siglas en inglés).

Metodología
Los autores derivan estimadores de Probabilidad Inversa Ponderada Aumentada (AIPW) para las probabilidades de ocupación utilizando técnicas de inferencia causal y de la literatura de datos faltantes.

1. Estructura de Datos e Identificabilidad:

   • El proceso de datos completos se define como un proceso multiestado càdlàg $Z_a$ bajo una intervención hipotética $a \in \{0, 1\}$, con covariables dependientes del tiempo $L_a$ y covariables basales $W$.
   • Los datos observados están coartados por un tiempo de censura por la derecha latente $C_a$ y el tratamiento observado $A$.
   • Criterios de Identificabilidad: Los autores asumen:
     • Consistencia: Los datos observados son una coartación consistente de los datos contrafácticos completos.
     • Positividad: La probabilidad de asignación de tratamiento y de permanecer sin censura es estrictamente positiva.
     • Intercambiabilidad (CAR): El mecanismo de coartación (tratamiento y censura) es independiente de los datos contrafácticos completos dados las covariables basales y la historia hasta el tiempo actual. Crucialmente, esto permite que la censura dependa de la historia del proceso, a diferencia de los supuestos estándar de censura independiente.

2. Función de Influencia Eficiente (EIF):

   • El parámetro objetivo se identifica mediante un estimando de Probabilidad Inversa Ponderada (IPW).
   • Los autores derivan la función de influencia eficiente (EIF) para el estimando de los datos observados. Esto implica proyectar la puntuación (score) del mapeo de datos completos sobre el espacio tangente del modelo de datos observados y restar las proyecciones ortogonales sobre los espacios tangentes de variables de molestia (nuisance) asociados con la puntuación de propensión del tratamiento ($\pi$) y el mecanismo de censura ($G$).
   • La EIF depende de parámetros de molestia: la puntuación de propensión $\pi$, la función de supervivencia de la censura $G$, y dos funciones de esperanza condicional, $Q$ y $\eta$, que representan las expectativas de los resultados ponderados por el inverso de la probabilidad de censura.

3. Estimadores Propuestos:
   Basándose en la EIF, se proponen cinco estimadores:

   • Estimador IPW ($\hat{\psi}^0_n$): Un simple estimador de probabilidad inversa ponderada.
   • Estimadores de Probabilidad Inversa Ponderada Aumentada ($\hat{\psi}^\nu_n$ y $\hat{\psi}^\mu_n$): Estos incorporan términos de corrección (aumentaciones) derivados de las proyecciones de la EIF. $\hat{\psi}^\mu_n$ es un estimador de un solo paso (one-step estimator) que incluye tanto los términos de aumentación del tratamiento como los de la censura.
   • Estimadores AIPW Modificados ($\hat{\psi}^{\nu, mod}_n$ y $\hat{\psi}^{\mu, mod}_n$): Estos modifican los estimadores AIPW estándar mediante la estimación de coeficientes de regresión (vía OLS) para los términos de aumentación. Esto tiene como fin forzar la ortogonalidad cuando los estimadores de los parámetros de molestia están sesgados, mejorando potencialmente la eficiencia.

4. Estimación de Parámetros de Molestia:

   • $\pi$ y $G$ se estiman utilizando modelos de trabajo (regresión logística para las puntuaciones de propensión y modelos de Cox para los riesgos de censura).
   • $Q$ y $\eta$ se estiman mediante la regresión de observaciones ponderadas (pseudo-resultados) contra resúmenes del conjunto de condicionamiento.

Resultados Clave
El desempeño de los cinco estimadores fue evaluado mediante un estudio de simulación que involucró un modelo de enfermedad-muerte de tres estados con recurrencia, donde las tasas de transición dependían de covariables basales y la censura dependía tanto de la base como de la historia dependiente del tiempo.

• Especificación Correcta: Cuando todos los parámetros de molestia se estimaron de forma consistente, todos los estimadores fueron insesgados. Sin embargo, el estimador de un solo paso ($\hat{\psi}^\mu_n$) demostró el Error Cuadrático Medio (RMSE) más bajo, confirmando su ventaja de eficiencia sobre el IPW simple y los estimadores parcialmente aumentados.
• Robustez ante la Especificación Errónea:
  • Puntuación de Propensión ($\pi$) o de Censura ($G$) Sesgada: El estimador IPW simple exhibió un sesgo significativo. Los estimadores totalmente aumentados ($\hat{\psi}^\mu_n$) se mantuvieron robustos (insesgados) incluso cuando $\pi$ o $G$ estaban mal especificados, siempre que los otros componentes estuvieran correctamente especificados.
  • Términos de Regresión ($Q$ o $\eta$) Sesgados: Cuando los parámetros de molestia basados en regresión fueron mal especificados, los estimadores totalmente aumentados permanecieron insesgados pero perdieron algo de eficiencia. Los estimadores modificados ($\hat{\psi}^{\mu, mod}_n$) mostraron ligeras mejoras en el RMSE en escenarios específicos, lo que sugiere que pueden mitigar parcialmente las pérdidas de eficiencia debidas al sesgo en los términos de aumentación.
• Convergencia: Los resultados de la simulación confirmaron la jerarquía teórica de eficiencia: $\hat{\psi}^\mu_n$ (un solo paso) > $\hat{\psi}^\nu_n$ (parcialmente aumentado) > $\hat{\psi}^0_n$ (IPW).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que los estimadores propuestos ofrecen un enfoque robusto y eficiente para estimar las probabilidades de ocupación en modelos multiestado bajo supuestos más débiles de los comunes en la literatura.

• Generalidad: A diferencia de los métodos anteriores diseñados para modelos específicos (por ejemplo, enfermedad-muerte sin recurrencia o riesgos competitivos bajo supuestos de Markov), estos estimadores se aplican a modelos multiestado con un número arbitrario de estados y permiten transiciones no markovianas y confusión dependiente del tiempo.
• Relajación de los Supuestos de Censura: El marco permite explícitamente que la censura por la derecha dependa de la historia interna del proceso multiestado, una característica necesaria para el modelado realista (por ejemplo, en modelos de enfermedad-muerte con recurrencia) pero difícil de manejar bajo los supuestos estándar de independencia.
• Robustez Doble: El estimador de un solo paso exhibe propiedades de robustez doble; permanece consistente si tanto los modelos de tratamiento/censura ($\pi, G$) como los modelos de regresión de resultados ($Q, \eta$) están correctamente especificados.
• Utilidad Práctica: Los autores señalan que, aunque el estimador de un solo paso requiere un tamaño de muestra suficiente para estimar los complejos parámetros de molestia ($\eta$) en cada tiempo de censura, este se mantiene estable para conjuntos de datos de tamaño moderado (por ejemplo, 2,500–9,000 individuos) y ofrece un desempeño superior al IPW en presencia de la especificación errónea de modelos.

Los autores concluyen que, si bien el supuesto de Coartación al Azar (CAR) es una condición fuerte (que implica supuestos de mundos cruzados), es una herramienta necesaria para permitir la inferencia basada en la verosimilitud y la construcción de modelos semiparamétricos ante estructuras complejas de datos faltantes. Los métodos propuestos proporcionan una implementación práctica de estos avances teóricos para el análisis de datos multiestado del mundo real.