Riesz Means of Quadratic Class Numbers

Resumen Técnico: Medias de Riesz de Números de Clase Cuadráticos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el comportamiento asintótico de las medias de Riesz ponderadas que involucran los números de clase de Hurwitz $H(n)$ (asociados con discriminantes negativos) y las trazas de los números de clase cuadráticos reales $Tr_d(1)$ (asociados con discriminantes positivos). Mientras que el crecimiento de los números de clase para discriminantes negativos fue resuelto en el siglo XX mediante el trabajo de Heilbronn, Siegel y otros, las conjeturas análogas para discriminantes positivos permanecen abiertas. Los autores pretenden derivar una fórmula asintótica precisa para un promedio ponderado de estas cantidades, abordando específicamente el desafío planteado por la naturaleza no holomorfa de las funciones generatrices para los números de clase de discriminante positivo.

Metodología
Los autores emplean un marco que extiende la teoría de las formas de Maass sesquiharmónicas. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Definición de Funciones L para Formas Sesquiharmónicas:
   El artículo introduce las funciones $L$ para formas de Maass sesquiharmónicas de peso $1/2$ de crecimiento moderado. A diferencia de las formas modulares holomorfas, las formas sesquiharmónicas poseen expansiones de Fourier que contienen tres series distintas: una parte holomorfa ($c(n)q^n$), una parte no holomorfa que involucra la función gamma incompleta $\beta(y)$ ($b(n)\beta(-4nv)q^n$), y una tercera parte no holomorfa que involucra una función especial $\alpha(y)$ ($a(n)\alpha(4nv)q^n$).
   Los autores definen una serie de Dirichlet completada $\Lambda_N(F, s)$ que incorpora estos tres componentes utilizando las funciones especiales $W_{1/2}(s)$ y $Z(s)$, las cuales se definen mediante integrales que involucran la función gamma incompleta y la función $\alpha(y)$.

2. Propiedades Analíticas de las Funciones L:
   Los autores demuestran que $\Lambda_N(F, s)$ admite una continuación meromorfa en todo el plano complejo. Establecen una ecuación funcional que relaciona $\Lambda_N(F, s)$ con $\Lambda_N(G, 1/2 - s)$, donde $G$ es la imagen de $F$ bajo la involución de Fricke $W(N)$. Los polos de la función $L$ se calculan explícitamente en términos de los coeficientes constantes y logarítmicos de la expansión de Fourier de $F$ y $G$.

3. Derivación de una Fórmula de Sumatoria:
   Utilizando la fórmula de Perron y la integración de contorno, los autores derivan una fórmula de sumatoria general para los coeficientes de las formas de Maass sesquiharmónicas. Esta fórmula generaliza resultados previos para formas mock modulares (por Beckwith, Diamantis, Gupta, Rolen y Thalagoda) y los resultados clásicos de Chandrasekharan y Narasimhan.
   Crucialmente, la fórmula incluye términos adicionales que surgen de las dos series generatrices no holomorfas ($\alpha$ y $\beta$) específicas para las formas sesquiharmónicas. Estos términos se manifiestan como integrales que involucran funciones de Bessel y funciones hipergeométricas.

4. Aplicación a los Números de Clase Cuadráticos:
   Los autores aplican esta fórmula de sumatoria general a una forma de Maass sesquiharmónica específica $\hat{Z}(\tau)$ introducida por Duke, Imamoğlu y Tóth. Los coeficientes de Fourier de esta forma corresponden a los números de clase de Hurwitz $H(n)$ y las trazas cuadráticas reales $Tr_d(1)$. Al calcular la acción de la involución de Fricke sobre $\hat{Z}(\tau)$, determinan los coeficientes necesarios para introducir en la fórmula de sumatoria.

Contribuciones Clave y Resultados

• Extensión Teórica: El artículo logra definir y analizar las funciones $L$ para formas de Maass sesquiharmónicas de peso $1/2$, una clase de funciones que no había sido tratada previamente con esta maquinaria específica de funciones $L$. Esto incluye la prueba de la ecuación funcional y la determinación de los residuos.
• Fórmula de Sumatoria Generalizada (Teorema 4.1): Los autores proporcionan una fórmula de sumatoria de forma cerrada para las medias de Riesz de los coeficientes de las formas de Maass sesquiharmónicas. Esta fórmula tiene en cuenta explícitamente los tres componentes distintos de la expansión de Fourier, lo que resulta en una estructura más compleja que las de las formas de Maass holomorfas o armónicas.
• Fórmula Asintótica para Números de Clase (Teorema 1.2): El resultado principal es una fórmula asintótica para una media de Riesz ponderada de $Tr_n(1)$ y $H(n)$. Para $\rho > 3/2$ y cualquier $\epsilon > 0$, el artículo establece:
  $$\sum_{n \le x} \left(1 - \frac{n}{x}\right)^\rho \left( Tr_n(1) + H(n)\left(\frac{x}{n} - 1\right)^{1/2} \frac{2F_1(\dots)}{\sqrt{2n}(\rho + 1/2)} \right) = \frac{\pi x}{6\sqrt{2}(\rho+1)} + O(x^{1/2+\epsilon})$$
  donde $2F_1$ es la función hipergeométrica de Gauss.
• Verificación Numérica: El artículo incluye un ejemplo numérico (Ejemplo 1) para $\rho=2$, demostrando la convergencia lenta de las sumas hacia la constante predicha, lo cual es consistente con el término de error teórico.

Significancia
El artículo afirma su importancia al cerrar la brecha entre la teoría de las formas de Maass armónicas y las más complejas formas de Maass sesquiharmónicas. Al extender la metodología de las funciones $L$ y las fórmulas de sumatoria a esta clase más amplia, los autores proporcionan una herramienta para analizar el crecimiento de los números de clase cuadráticos reales, un problema que ha permanecido abierto desde Gauss. El trabajo generaliza resultados recientes sobre formas mock modulares y ofrece una fórmula asintótica concreta para un promedio ponderado de números de clase, contribuyendo a la comprensión de la distribución de estos invariantes aritméticos. Los autores señalan que su método extiende el trabajo de Chandrasekharan y Narasimhan y el reciente preprint [BDG+], adaptándolo para manejar los términos no holomorfos adicionales inherentes a las formas sesquiharmónicas.