Riesz Means of Quadratic Class Numbers

Résumé Technique : Moyennes de Riesz des nombres de classes quadratiques

Énoncé du Problème
L'article traite du comportement asymptotique des moyennes de Riesz pondérées impliquant les nombres de classes de Hurwitz $H(n)$ (associés aux discriminants négatifs) et les traces de nombres de classes quadratiques réelles $Tr_d(1)$ (associées aux discriminants positifs). Alors que la croissance des nombres de classes pour les discriminants négatifs a été résolue au XXe siècle grâce aux travaux de Heilbronn, Siegel et d'autres, les conjectures analogues pour les discriminants positifs restent ouvertes. Les auteurs visent à dériver une formule asymptotique précise pour une moyenne pondérée de ces quantités, en abordant spécifiquement le défi posé par la nature non holomorphe des fonctions génératrices pour les nombres de classes à discriminant positif.

Méthodologie
Les auteurs emploient un cadre étendant la théorie des formes modulaires aux formes de Maass sesquiharmoniques. La méthodologie procède par les étapes suivantes :

1. Définition des fonctions L pour les formes sesquiharmoniques :
   L'article introduit les fonctions $L$ pour les formes de Maass sesquiharmoniques de poids $1/2$ à croissance modérée. Contrairement aux formes modulaires holomorphes, les formes sesquiharmoniques possèdent des développements de Fourier contenant trois séries distinctes : une partie holomorphe ($c(n)q^n$), une partie non holomorphe impliquant la fonction gamma incomplète $\beta(y)$ ($b(n)\beta(-4nv)q^n$), et une troisième partie non holomorphe impliquant une fonction spéciale $\alpha(y)$ ($a(n)\alpha(4nv)q^n$).
   Les auteurs définissent une série de Dirichlet complétée $\Lambda_N(F, s)$ qui incorpore ces trois composantes en utilisant les fonctions spéciales $W_{1/2}(s)$ et $Z(s)$, lesquelles sont définies via des intégrales impliquant la fonction gamma incomplète et la fonction $\alpha(y)$.

2. Propriétés analytiques des fonctions L :
   Les auteurs prouvent que $\Lambda_N(F, s)$ admet une continuation méromorphe sur l'ensemble du plan complexe. Ils établissent une équation fonctionnelle reliant $\Lambda_N(F, s)$ à $\Lambda_N(G, 1/2 - s)$, où $G$ est l'image de $F$ sous l'involution de Fricke $W(N)$. Les pôles de la fonction $L$ sont explicitement calculés en termes des coefficients constants et logarithmiques du développement de Fourier de $F$ et $G$.

3. Dérivation d'une formule de sommation :
   En utilisant la formule de Perron et l'intégration par contour, les auteurs dérivent une formule de sommation générale pour les coefficients des formes de Maass sesquiharmoniques. Cette formule généralise les résultats précédents pour les formes mock modulaires (par Beckwith, Diamantis, Gupta, Rolen et Thalagoda) ainsi que les résultats classiques de Chandrasekharan et Narasimhan.
   Crucialement, la formule inclut des termes additionnels provenant des deux séries génératrices non holomorphes ($\alpha$ et $\beta$) spécifiques aux formes sesquiharmoniques. Ces termes se manifestent sous forme d'intégrales impliquant des fonctions de Bessel et des fonctions hypergéométriques.

4. Application aux nombres de classes quadratiques :
   Les auteurs appliquent cette formule de sommation générale à une forme de Maass sesquiharmonique spécifique $\hat{Z}(\tau)$ introduite par Duke, Imamoğlu et Tóth. Les coefficients de Fourier de cette forme correspondent aux nombres de classes de Hurwitz $H(n)$ et aux traces de classes quadratiques réelles $Tr_d(1)$. En calculant l'action de l'involution de Fricke sur $\hat{Z}(\tau)$, ils déterminent les coefficients nécessaires pour injecter dans la formule de sommation.

Contributions Clés et Résultats

• Extension Théorique : L'article réussit à définir et analyser les fonctions $L$ pour les formes de Maass sesquiharmoniques de poids $1/2$, une classe de fonctions qui n'avait pas été traitée auparavant avec cette machinerie spécifique de fonctions $L$. Cela inclut la preuve de l'équation fonctionnelle et la détermination des résidus.
• Formule de Sommation Généralisée (Théorème 4.1) : Les auteurs fournissent une formule de sommation à forme fermée pour les moyennes de Riesz des coefficients des formes de Maass sesquiharmoniques. Cette formule rend compte explicitement des trois composantes distinctes du développement de Fourier, ce qui résulte en une structure plus complexe que celles des formes de Maass holomorphes ou harmoniques.
• Formule Asymptotique pour les Nombres de Classes (Théorème 1.2) : Le résultat principal est une formule asymptotique pour une moyenne de Riesz pondérée de $Tr_n(1)$ et $H(n)$. Pour $\rho > 3/2$ et tout $\epsilon > 0$, l'article établit :
  $$\sum_{n \le x} \left(1 - \frac{n}{x}\right)^\rho \left( Tr_n(1) + H(n)\left(\frac{x}{n} - 1\right)^{1/2} \frac{2F_1(\dots)}{\sqrt{2n}(\rho + 1/2)} \right) = \frac{\pi x}{6\sqrt{2}(\rho+1)} + O(x^{1/2+\epsilon})$$
  où $2F_1$ est la fonction hypergéométrique de Gauss.
• Vérification Numérique : L'article inclut un exemple numérique (Exemple 1) pour $\rho=2$, démontrant la convergence lente des sommes vers la constante prédite, ce qui est cohérent avec le terme d'erreur théorique.

Signification
L'article affirme sa signification en jetant un pont entre la théorie des formes de Maass harmoniques et celle des formes de Maass plus complexes, les formes sesquiharmoniques. En étendant la méthodologie des fonctions $L$ et les formules de sommation à cette classe plus large, les auteurs fournissent un outil pour analyser la croissance des nombres de classes quadratiques réels, un problème ouvert depuis Gauss. Le travail généralise les résultats récents sur les formes mock modulaires et offre une formule asymptotique concrète pour une moyenne pondérée de nombres de classes, contribuant à la compréhension de la distribution de ces invariants arithmétiques. Les auteurs notent que leur méthode étend les travaux de Chandrasekharan et Narasimhan ainsi que le récent preprint [BDG+], en les adaptant pour traiter les termes non holomorphes additionnels inhérents aux formes sesquiharmoniques.