Riesz Means of Quadratic Class Numbers

Technische Samenvatting: Riesz-middelen van kwadratische klassenaantallen

Probleemstelling
Het artikel behandelt het asymptotische gedrag van gewogen Riesz-middelen die betrokken zijn bij de Hurwitz-klassenaantallen $H(n)$ (geassocieerd met negatieve discriminanten) en de sporen van reële kwadratische klassenaantallen $Tr_d(1)$ (geassocieerd met positieve discriminanten). Terwijl de groei van klassenaantallen voor negatieve discriminanten in de 20e eeuw werd opgelost door het werk van Heilbronn, Siegel en anderen, blijven de analoge vermoedens voor positieve discriminanten openstaan. De auteurs streven ernaar een precieze asymptotische formule af te leiden voor een gewogen gemiddelde van deze grootheden, waarbij zij specifiek ingaan op de uitdaging die wordt geponeerd door het niet-holomorfe karakter van de genererende functies voor positieve klassenaantallen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een raamwerk dat de theorie van modulaire vormen uitbreidt naar sesquiharmonische Maass-vormen. De methodologie verloopt via de volgende stappen:

1. Definitie van L-functies voor sesquiharmonische vormen:
   Het artikel introduceert L-functies voor gewicht $1/2$ sesquiharmonische Maass-vormen van matige groei. In tegenstelling tot holomorfe modulaire vormen, bezitten sesquiharmonische vormen Fourier-expansies die bestaan uit drie verschillende reeksen: een holomorf deel ($c(n)q^n$), een niet-holomorf deel dat de incomplete gammafunctie $\beta(y)$ bevat ($b(n)\beta(-4nv)q^n$), en een derde niet-holoform deel dat een speciale functie $\alpha(y)$ bevat ($a(n)\alpha(4nv)q^n$).
   De auteurs definiëren een voltooide Dirichlet-reeks $\Lambda_N(F, s)$ die deze drie componenten incorporeert met behulp van speciale functies $W_{1/2}(s)$ en $Z(s)$, die gedefinieerd zijn via integralen met de incomplete gammafunctie en de functie $\alpha(y)$.

2. Analytische eigenschappen van de L-functies:
   De auteurs bewijzen dat $\Lambda_N(F, s)$ een meromorfe voortzetting heeft naar het gehele complexe vlak. Zij stellen een functionele vergelijking vast die $\Lambda_N(F, s)$ relateert aan $\Lambda_N(G, 1/2 - s)$, waarbij $G$ de afbeelding is van $F$ onder de Fricke-involutie $W(N)$. De polen van de L-functie worden expliciet berekend in termen van de constante en logaritmische coëfficiënten van de Fourier-expansie van $F$ en $G$.

3. Afleiding van een sommatieformule:
   Door gebruik te maken van de Perron-formule en contouurintegratie, leiden de auteurs een algemene sommatieformule af voor de coëfficiënten van sesquiharmonische Maass-vormen. Deze formule generaliseert eerdere resultaten voor mock modulaire vormen (door Beckwith, Diamantis, Gupta, Rolen en Thalagoda) en klassieke resultaten van Chandrasekharan en Narasimhan.
   Cruciaal is dat de formule extra termen bevat die voortkomen uit de twee niet-holomorfe genererende reeksen ($\alpha$ en $\beta$) die specifiek zijn voor sesquiharmonische vormen. Deze termen manifesteren zich als integralen met Bessel-functies en hypergeometrische functies.

4. Toepassing op kwadratische klassenaantallen:
   De auteurs passen deze algemene sommatieformule toe op een specifieke sesquiharmonische Maass-vorm $\hat{Z}(\tau)$ geïntroduceerd door Duke, Imamoğlu en Tóth. De Fourier-coëfficiënten van deze vorm komen overeen met de Hurwitz-klassenaantallen $H(n)$ en de reële kwadratische sporen $Tr_d(1)$. Door de werking van de Fricke-involutie op $\hat{Z}(\tau)$ te berekenen, bepalen zij de noodzakelijke coëfficiënten om in de sommatieformule in te vullen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Theoretische Uitbreiding: Het artikel slaagt erin L-functies te definiëren en te analyseren voor gewicht $1/2$ sesquiharmonische Maass-vormen, een klasse van functies die voorheen niet met deze specifieke L-functie-machinerie was behandeld. Dit omvat het bewijs van de functionele vergelijking en de bepaling van de residuen.
• Gegeneraliseerde Sommatieformule (Stelling 4.1): De auteurs bieden een gesloten vorm van een sommatieformule voor de Riesz-middelen van de coëfficiënten van sesquiharmonische Maass-vormen. Deze formule houdt expliciet rekening met de drie verschillende componenten van de Fourier-expansie, wat resulteert in een complexere structuur dan die voor holomorfe of harmonische Maass-vormen.
• Asymptotische Formule voor Klassenaantallen (Stelling 1.2): Het primaire resultaat is een asymptotische formule voor een gewogen Riesz-middel van $Tr_n(1)$ en $H(n)$. Voor $\rho > 3/2$ en elke $\epsilon > 0$ stelt het artikel vast:
  $$\sum_{n \le x} \left(1 - \frac{n}{x}\right)^\rho \left( Tr_n(1) + H(n)\left(\frac{x}{n} - 1\right)^{1/2} \frac{2F_1(\dots)}{\sqrt{2n}(\rho + 1/2)} \right) = \frac{\pi x}{6\sqrt{2}(\rho+1)} + O(x^{1/2+\epsilon})$$
  waarbij $2F_1$ de Gauss hypergeometrische functie is.
• Numerieke Verificatie: Het artikel bevat een numeriek voorbeeld (Voorbeeld 1) voor $\rho=2$, dat de trage convergentie van de sommen naar de voorspelde constante demonstreert, consistent met de theoretische foutterm.

Betekenis
Het artikel claimt betekenis te hebben door de kloof te overbruggen tussen de theorie van harmonische Maass-vormen en de complexere sesquiharmonische Maass-vormen. Door de L-functie-methodologie en sommatieformules uit te breiden naar deze bredere klasse, bieden de auteurs een instrument om de groei van reële kwadratische klassenaantallen te analyseren, een probleem dat sinds Gauss openstaat. Het werk generaliseert recente resultaten over mock modulaire vormen en biedt een concrete asymptotische formule voor een gewogen gemiddelde van klassenaantallen, wat bijdraagt aan het begrip van de distributie van deze rekenkundige invarianten. De auteurs merken op dat hun methode het werk van Chandrasekharan en Narasimhan en het recente preprint [BDG+] uitbreidt, door het aan te passen om de extra niet-holomorfe termen te behandelen die inherent zijn aan sesquiharmonische vormen.