Riesz Means of Quadratic Class Numbers

技術要約：二次形式類数のリースの平均

問題提起
本論文は、負の判別式に関連するフルヴィッツ類数 $H(n)$ と、正の判別式に関連する実二次形式類数のトレース $Tr_d(1)$ を含む、重み付きリースの平均の漸近挙動を扱っている。負の判別式に関する類数の増大については、ハイエルブロン、シーゲルらによる20世紀の研究を通じて解決されているが、正の判別式に関する同様の予想は未解決のままである。著者らは、正の判別式の類数の生成関数が非正則（nonholomorphic）であるという課題に対処しつつ、これらの量の精密な漸近公式を導出することを目指している。

手法
著者らは、**セスキハーモニック・マース形式（sesquiharmonic Maass forms）**の理論を拡張した枠組みを用いている。その手法は、以下のステップで進行する：

1. セスキハーモニック形式のL関数定義：
   本論文では、中等増大（moderate growth）を持つ重み $1/2$ のセスキハーモニック・マース形式のL関数を導入している。正則なモジュラー形式とは異なり、セスキハーモニック形式のフーリエ展開は、3つの異なる級数を含む：正則部分（$c(n)q^n$）、不完全ガンマ関数 $\beta(y)$ を含む非正則部分（$b(n)\beta(-4nv)q^n$）、および特殊関数 $\alpha(y)$ を含む第3の非正則部分（$a(n)\alpha(4nv)q^n$）である。
   著者らは、不完全ガンマ関数と関数 $\alpha(y)$ を用いた積分によって定義される特殊関数 $W_{1/2}(s)$ および $Z(s)$ を用いて、完備されたディリクレ級数 $\Lambda_N(F, s)$ を構成する。

2. L関数の解析的性質：
   著者らは、$\Lambda_N(F, s)$ が複素平面全体に解析接続可能であることを証明する。また、$\Lambda_N(F, s)$ と、フリッケ（Fricke）イボリュ―ション $W(N)$ による $F$ の像である $G$ との間の関数等式を確立する。L関数の極は、$F$ および $G$ のフーリエ展開の定数項および対数係数によって明示的に計算される。

3. 総和公式の導出：
   ペロンの公式と輪郭積分を用いることで、著者らはセスキハーモニック・マース形式の係数に関する一般的な総和公式を導出する。この公式は、ベックウィス、ディアマンティス、グプタ、ローレン、およびタラグダによるモック・モジュラー形式に関する先行研究や、チャンドラセカラムとナラシマハンによる古典的な結果を一般化するものである。
   決定的な点として、この公式にはセスキハーモニック形式に特有の2つの非正則生成級数（$\alpha$ および $\beta$）から生じる追加項が含まれている。これらの項は、ベッセル関数と超幾何関数を用いた積分として現れる。

4. 二次形式類数への適用：
   著者らは、この一般的な総和公式を、デューク、イマモグル、およびトースによって導入された特定のセスキハーモニック・マース形式 $\hat{Z}(\tau)$ に適用する。この形式のフーリエ係数は、フルヴィッツ類数 $H(n)$ と実二次形式のトレース $Tr_d(1)$ に対応している。フリッケ・イボリュ―ションによる $\hat{Z}(\tau)$ の作用を計算することで、総和公式に代入するために必要な係数を決定する。

主な貢献と結果

• 理論的拡張： 本論文は、重み $1/2$ のセスキハーモニック・マース形式のL関数を定義し、分析することに成功した。これは、これまでこの特定のL関数的な仕組みでは扱われてこなかったクラスの関数である。これには、関数等式の証明と残留（residue）の決定が含まれる。
• 一般化された総和公式（定理 4.1）： 著者らは、セスキハーモニック・マース形式の係数のリースの平均に関する閉じた形式の総和公式を提供する。この公式は、フーリエ展開の3つの異なる成分を明示的に考慮しており、正則またはハーモニック・マース形式の結果よりも複雑な構造を持つ。
• 類数の漸近公式（定理 1.2）： 主要な結果は、$Tr_n(1)$ と $H(n)$ の重み付きリースの漸近公式である。$\rho > 3/2$ および任意の $\epsilon > 0$ に対して、論文は以下を確立する：
  $$\sum_{n \le x} \left(1 - \frac{n}{x}\right)^\rho \left( Tr_n(1) + H(n)\left(\frac{x}{n} - 1\right)^{1/2} \frac{2F_1(\dots)}{\sqrt{2n}(\rho + 1/2)} \right) = \frac{\pi x}{6\sqrt{2}(\rho+1)} + O(x^{1/2+\epsilon})$$
  ここで $2F_1$ はガウスの超幾何関数である。
• 数値的検証： 論文には $\rho=2$ の場合の数値例（例 1）が含まれており、和が予測された定数に向かって収束する速度が遅いことを示しており、これは理論的な誤差項と一致している。

意義
本論文は、ハーモニック・マース形式の理論と、より複雑なセスキハーモニック・マース形式との間の溝を埋めることに意義があると主張している。L関数の手法をこのより広いクラスへと拡張することにより、著者らは、ガウス以来未解決であった実二次形式類数の増大を分析するためのツールを提供している。本研究は、モック・モジュラー形式に関する最近の結果を一般化し、類数の重み付き平均に関する具体的な漸近公式を提供することで、これらの算術的不変量の分布の理解に寄与している。著者らは、本手法がチャンドラセカラムとナラシマハンの研究、および最近のプレプリント [BDG+] を拡張し、セスキハーモニック形式に固有の追加の非正則項を扱うために適応させたものであると述べている。