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An Order-Invariant Decomposition of Input Accumulation in DEA–Malmquist Productivity Analysis

Este artículo propone un método de descomposición simetrizado por trayectoria que resuelve el problema de la dependencia del orden en el análisis de Malmquist-DEA de múltiples entradas, proporcionando medidas de los efectos de acumulación de entradas individuales que son únicas, invariantes al orden y multiplicativamente consistentes.

Autores originales: Kozo Kunimune

Publicado 2026-10-14

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CC BY 4.0

Autores originales: Kozo Kunimune

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Los economistas han buscado durante mucho tiempo comprender por qué algunas naciones se vuelven más ricas y productivas que otras. Para lograrlo, a menudo analizan la producción de un país —lo que produce— e intentan determinar cuánto de ese crecimiento proviene de trabajar más duro, usar mejores herramientas o simplemente volverse más eficientes en el uso de lo que ya tienen. Una herramienta estándar para este tipo de investigación es un método llamado Análisis de Envolvente de Datos, que actúa como un mapa del rendimiento más eficiente que un grupo de países puede alcanzar en un momento dado. Este mapa, conocido como la "frontera", muestra la producción máxima posible para una cantidad específica de insumos, como el trabajo o el capital. Cuando un país se acerca a esta frontera, se está poniendo al día; cuando la frontera misma se desplaza hacia afuera, significa que la tecnología ha avanzado. Sin embargo, hay una tercera forma en que la productividad crece: simplemente acumulando más insumos, como construir más fábricas o capacitar a más trabajadores. Esto se describe a menudo como el movimiento a lo largo de la frontera existente hacia un punto donde se utilizan más recursos para crear más producción.

El desafío surge cuando un país utiliza más de un tipo de insumo, como tanto máquinas físicas como trabajadores educados. Si ambos aumentan al mismo tiempo, resulta difícil decir exactamente cuánto del crecimiento provino de las máquinas y cuánto de la educación. El problema es que la respuesta puede cambiar dependiendo de qué factor se observe primero. Si imaginas añadir las máquinas primero y luego los trabajadores, obtienes un resultado. Si imaginas añadir los trabajadores primero y luego las máquinas, obtienes un resultado diferente. Esto crea una ambigüedad confusa donde la historia del crecimiento económico depende enteramente del orden arbitrario en el que un investigador elija examinar los factores.

Kozo Kunimune, un investigador de la Universidad de Kwansei Gakuin, ha propuesto una solución a este rompecabezas. Desarrolló una nueva forma de desglosar el crecimiento que proviene de la acumulación de insumos para que el resultado ya no dependa del orden en que se consideran los factores. En lugar de elegir una secuencia para seguir, su método observa cada secuencia posible en la que los insumos podrían añadirse. Luego, toma un promedio de todos estos diferentes caminos para encontrar una respuesta única y definitiva sobre cuánto contribuyó cada insumo. Este enfoque asegura que los números finales sean justos y consistentes, independientemente de cómo se organice el cálculo.

Para probar esta idea, Kunimune la aplicó a datos del mundo real de la Tabla del Mundo (Penn World Table), una importante base de datos de estadísticas económicas internacionales. Se centró en el período entre 2000 y 2010, analizando sesenta y cuatro países que contaban con datos completos. En su análisis, trató el capital físico (máquinas y edificios) y el capital humano (las habilidades y la educación de la fuerza laboral) como dos insumos separados. Al utilizar su nuevo método, pudo separar el crecimiento de la productividad laboral en tres partes distintas: mejoras en la eficiencia con la que los países utilizaban sus recursos, desplazamientos en la frontera tecnológica y las contribuciones específicas de la adición de más capital físico y más capital humano.

Los resultados revelaron que la forma en que medimos el crecimiento económico puede cambiar significativamente dependiendo de cómo modelamos los insumos. Cuando se ignoraba el capital humano y solo se consideraba el capital físico, el crecimiento parecía estar impulsado principalmente por cambios tecnológicos. Sin embargo, cuando se incluyó el capital humano como un insero separado, una parte de ese crecimiento previamente atribuido a la tecnología fue reclasificada como un movimiento a lo largo de la frontera. En otras palabras, lo que parecía ser un salto tecnológico era en realidad el resultado de los países invirtiendo en las habilidades de sus trabajadores. Este cambio fue particularmente notable en naciones en desarrollo como Camboya, Bangladesh y Vietnam, donde la inclusión del capital humano como un factor distinto redujo el cambio tecnológico medido y aumentó la acumulación de insumos medida.

El estudio también destacó diferencias entre las economías avanzadas y las emergentes. En muchas naciones ricas, como los Estados Unidos, Canadá y Australia, el crecimiento de la productividad fue impulsado casi por completo por la acumulación de capital físico, con el capital humano desempeñando un papel mínimo en la expansión medida. En contraste, varias economías emergentes mostraron un crecimiento significativo impulsado por la acumulación de capital humano, lo que sugiere que las inversiones en educación y habilidades fueron un motor importante de su progreso económico.

Al eliminar el elemento arbitrario del orden, este nuevo método proporciona una imagen más clara y estable de lo que impulsa el crecimiento económico. Permite a los investigadores ver la estructura interna de los cambios de productividad sin la distorsión causada por el orden del cálculo. Los hallazgos confirman que, si bien la cantidad total de crecimiento permanece igual, la historia detrás de ese crecimiento cambia cuando contabilizamos los roles específicos de los diferentes insumos. Esta claridad es esencial para los responsables de políticas y economistas que necesitan entender si el éxito de un país se debe a una mejor tecnología, una gestión más eficiente o la acumulación constante de recursos físicos y humanos. El método está diseñado para ser flexible y puede aplicarse a diversos entornos económicos, ofreciendo una forma transparente de examinar la compleja maquinaria de la productividad en un mundo de múltiples insumos.

Resumen Técnico: Una descomposición invariante al orden de la acumulación de insumos en el análisis de productividad DEA–Malmquist

Planteamiento del problema
En el análisis de productividad DEA (Análisis Envolvente de Datos)–Malmquist, el cambio en la productividad total de los factores se descompone típicamente en cambio de eficiencia (catch-up), cambio tecnológico (desplazamiento de la frontera) y acumulación de insumos (movimiento a lo largo de la frontera). Si bien el término de acumulación agregada está bien definido, surge una dificultad metodológica significativa en entornos de múltiples insumos al intentar atribuir esta acumulación a insumos específicos (por ejemplo, capital físico frente a capital humano).

El problema central es la dependencia del orden. Cuando múltiples insumos cambian simultáneamente, la contribución atribuida a cada insumo individual depende de la secuencia en la que se evalúan esos cambios a lo largo de la frontera de productividad. Diferentes permutaciones de los cambios de los insumos producen diferentes descomposiciones, lo que hace que las medidas de acumulación específicas por insumo no sean únicas e incomparables entre estudios. La literatura ha abordado la dependencia del punto de evaluación (por ejemplo, mediante la simetrización del ideal de Fisher para términos agregados), pero ha pasado por alto en gran medida esta dependencia de la permutación en tecnologías genuinamente multinsumo. Los enfoques existentes, como la "serie HR" (Henderson y Russell, 2005), a menudo incorporan el capital humano como un factor que aumenta el trabajo en lugar de un insumo independiente, eludiendo así el problema de la atribución de múltiples insumos en lugar de resolverlo.

Metodología
El artículo propone una descomposición simetrizada por trayectoria para resolver esta dependencia del orden. La metodología trata la atribución de la acumulación a los insumos individuales como un problema de promediar las contribuciones marginales sobre todas las trayectorias admisibles, de forma análoga al valor de Shapley en la teoría de juegos cooperativos.

Construcción de contrafactuales: Para un vector de insumos que se mueve de $x_t$ a $x_{t+1}$ , el método construye vectores de insumos contrafactuales que representan estados intermedios donde solo un componente del insumo ha cambiado mientras que los otros permanecen en sus niveles iniciales o finales.
Simetrización de la trayectoria:
- En un caso de dos insumos, existen dos trayectorias posibles desde $x_t$ hacia $x_{t+1}$ (cambiar primero el insumo 1, luego el insumo 2, o viceversa). El efecto de acumulación se descompone a lo largo de ambas trayectorias.
- La contribución final específica del insumo se deriva tomando la media geométrica de los efectos de acumulación a través de todas las permutaciones posibles de los cambios de los insumos.
- Para $m$ insumos, el método promedia sobre todas las $m!$ permutaciones. La contribución del insumo $k$ se define como la media geométrica de las razones de productos proyectadas asociadas con el paso donde el insumo $k$ cambia, promediada a través de todas las trayectorias y ambos períodos ( $t$ y $t+1$ ).
Implementación: La descomposición se basa en mapeos de proyección DEA estándar, $F(x, t)$ , que asignan un valor de producto a cualquier vector de insumos. El método es compatible con diversas orientaciones de DEA (por ejemplo, orientadas al producto) y supuestos de rendimientos a escala (por ejemplo, VRS), siempre que el mapeo de proyección esté bien definido. El artículo aborda los problemas de factibilidad donde las proyecciones entre periodos (por ejemplo, $F(x_{t+1}, t)$ ) pueden ser inviables si el vector de insumos se encuentra fuera del conjunto tecnológico contemporáneo, recomendando restricciones de la muestra o protocolos de diagnóstico para manejar tales casos.

Contribuciones clave

Invariancia al orden: La descomposición propuesta produce componentes de acumulación específicos por insumo que están definidos de forma única y son invariantes al orden de los cambios de los insumos. Esto elimina la ambigüedad inherente a la atribución secuencial.
Consistencia multiplicativa: El producto de los componentes de acumulación específicos por insumo e invariantes al orden es exactamente igual al término de acumulación agregado derivado del índice Malmquist estándar. Esto asegura la coherencia interna con el marco de productividad no paramétrico estándar.
Formalización teórica: El artículo establece formalmente que el logaritmo del componente específico por insumo es igual al promedio aritmético de las contribuciones logarítmicas marginales sobre todos los ordenamientos admisibles, proporcionando una interpretación riguroya de tipo Shapley dentro de un marco de frontera DEA.
Reducción a casos estándar: Se demuestra que el método se reduce a la medida de acumulación Malmquist estándar en entornos unidimensionales o cuando solo cambia un insumo, asegurando la consistencia metodológica.

Resultados empíricos
La metodología se aplica a datos de productividad internacional de la Penn World Table (PWT 11.0) para el período 2000–2010, descomponiendo el crecimiento de la productividad laboral en cambio de eficiencia, cambio tecnológico y acumulación. El estudio compara una especificación de un solo insumo (solo capital físico) contra una especificación de dos insumos (capital físico y capital humano).

Impacto de la especificación de insumos: Pasar de una especificación de un insumo a una de dos insumos altera la descomposición del crecimiento de la productividad. En promedio, la inclusión del capital humano como un insumo explícito reduce el cambio tecnológico medido (desplazamiento de la frontera) y aumenta la acumulación medida (movimiento a lo largo de la frontera). Esto sugiere que parte de lo que aparece como un "desplazamiento de la frontera" en modelos restringidos es en realidad un movimiento a lo largo de una frontera expandida cuando el capital humano se modela explícitamente.
Heterogeneidad: La descomposición de dos insumos revela patrones distintos entre las economías. En las economías avanzadas (por ejemplo, Australia, Canadá, EE. UU.), la acumulación es impulsada casi totalmente por el capital físico ( $HACCUM \approx 1$ ). En contraste, las economías emergentes (por ejemplo, Pakistán, Camboya) muestran contribuciones significativas de la acumulación de capital humano.
Estabilidad numérica: Las comprobaciones empíricas confirman que la descomposición simetrizada por trayectoria es numéricamente estable y satisface la identidad multiplicativa ( $ACCUM = KACCUM \times HACCUM$ ) sin la inestabilidad asociada a las atribuciones dependientes de la trayectoria.

Significancia y pretensiones
El artículo pretende ofrecer una herramienta transparente y robusta para examinar la estructura interna de la acumulación de insumos en el análisis DEA–Malmquist. Al resolver el problema de la dependencia del orden, el método permite a los investigadores distinguir las contribuciones de diferentes insumos (como el capital físico y el humano) sin que las elecciones arbitrarias de modelado afecten los resultados. El enfoque se presenta como una extensión generalizable al marco estándar de DEA–Malmquist, aplicable a análisis a nivel de empresa, industria o región con múltiples insumos, siempre que los mapeos de proyección necesarios sean factibles. El autor enfatiza que el método no impone formas funcionales paramétricas, sino que se apoya en la naturaleza no paramétrica de DEA, lo que lo convierte en una adición flexible a la literatura existente de contabilidad de la productividad.

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