Bayesian Propensity Score-Augmented Latent Factor Models for Causal Inference with Time-Series Cross-Sectional Data

1. Problématique et Contexte

L'article aborde les défis de l'inférence causale dans les données séries temporelles et transversales (TSCS), où l'on observe $N$ unités sur $T$ périodes. Bien que la méthode du score de propension (Rosenbaum et Rubin, 1983) soit largement utilisée pour les études observationnelles, son application aux données TSCS reste limitée, notamment en raison de la présence fréquente de facteurs de confusion non observés (confounders).

Les approches existantes reposent souvent sur des hypothèses d'ignorabilité conditionnelle (basées uniquement sur des covariables observées) ou sur des modèles à effets fixes interactifs (latent ignorability) qui ne modélisent pas explicitement le mécanisme d'attribution du traitement. Cela pose deux problèmes majeurs :

1. Omission de mécanisme : Les modèles à facteurs latents standards (comme les modèles de facteurs interactifs) ignorent souvent le processus d'attribution du traitement, ce qui peut entraîner des biais si les facteurs latents influencent à la fois le traitement et le résultat.
2. Problème de rétroaction (Model Feedback) : Dans une analyse bayésienne complète, l'estimation du score de propension (qui dépend des facteurs latents) et l'estimation du modèle de résultat (qui dépend du score de propension) sont couplées. Cela crée un problème de rétroaction où les incertitudes se propagent, conduisant potentiellement à des prédictions contrefactuelles inexactes et des estimations biaisées des effets de traitement.

2. Méthodologie Proposée : Le Modèle PS-LFM

L'auteur propose un nouveau cadre bayésien appelé Modèle à Facteurs Latents Augmenté par le Score de Propension (PS-LFM). Ce modèle joint l'attribution du traitement et les résultats potentiels sous l'hypothèse d'ignorabilité latente.

A. Structure du Modèle

Le modèle se compose de deux équations principales :

1. Étape d'attribution du traitement (Propensity Score) :
   L'attribution du traitement $W_i$ (binaire) dépend des covariables observées $Z_i$ et des charges factorielles latentes $\gamma_i$ (représentant les facteurs de confusion non observés) :
   $$W_i = \mathbb{1}\{Z_i'\lambda_z + \gamma_i'\lambda_\gamma + \nu_i \geq 0\}$$
   Le score de propension est défini comme $ps(Z_i, \gamma_i) = \Phi(Z_i'\lambda_z + \gamma_i'\lambda_\gamma)$.

2. Étape du modèle de résultat (Outcome) :
   Le résultat potentiel sous contrôle $Y_{it}(0)$ est modélisé comme une fonction des covariables, du score de propension (via une stratification ou une fonction continue), et d'une structure à facteurs latents résiduelle :
   $$Y_{it}(0) = g(Z_i, ps(Z_i, \gamma_i))'\beta_t + \gamma_i' f_t + \varepsilon_{it}$$
   Ici, $g(\cdot)$ permet d'incorporer le score de propension (par exemple, par stratification en sous-groupes) pour capturer l'hétérogénéité, tandis que le terme $\gamma_i' f_t$ ajuste la variation non expliquée par le score.

B. Estimation Bayésienne Approximative

Pour résoudre le problème de rétroaction inhérent à une analyse bayésienne complète (où les paramètres apparaissent dans les deux équations), l'auteur adopte une procédure bayésienne approximative (inspirée de Zigler et al., 2013) :

• Découplage : Les charges factorielles $\gamma_i$ sont mises à jour en utilisant uniquement le modèle de résultat (ignorant l'équation de traitement lors de cette étape).
• Rotation et Normalisation : Une fois les charges estimées, une rotation post-traitement est appliquée pour satisfaire les conditions d'identification (normalisation de Bai, 2009).
• Mise à jour du traitement : Les paramètres du modèle d'attribution ($\lambda_z, \lambda_\gamma$) sont ensuite mis à jour en utilisant les charges factorielles rotées, mais en ignorant l'équation de résultat pour cette étape spécifique.
• Inférence : Ce processus itératif (algorithme MCMC) permet d'estimer les effets de traitement moyens sur les traités (ATT) tout en contrôlant l'incertitude des facteurs latents et du score de propension sans biais de rétroaction majeur.

3. Contributions Clés

1. Modélisation explicite du mécanisme d'attribution : Contrairement aux modèles à facteurs latents classiques qui se concentrent uniquement sur le résultat, ce cadre modélise explicitement comment les facteurs latents influencent l'attribution du traitement.
2. Extension bayésienne aux données TSCS : L'article étend l'analyse bayésienne du score de propension (déjà utilisée en données transversales) aux données de panel avec des structures de confusion non observées riches.
3. Gestion de l'hétérogénéité : En intégrant le score de propension dans le modèle de résultat (via la stratification), le modèle capture l'hétérogénéité des effets de traitement à travers les strates de propension, offrant des comparaisons plus crédibles entre unités traitées et témoins au sein de chaque strate.
4. Solution au problème de rétroaction : L'algorithme bayésien approximatif proposé offre une solution pratique et théoriquement fondée pour éviter les biais d'estimation causale dans les modèles à facteurs latents.

4. Résultats

A. Études de Monte Carlo

Des simulations ont été menées pour comparer le PS-LFM à d'autres méthodes (modèle à facteurs latents standard sans score de propension, estimateur doublement robuste CS-DID, et estimateur FEct).

• Performance : Le PS-LFM présente un biais et une erreur quadratique moyenne (RMSE) inférieurs aux modèles qui ignorent la stratification par score de propension (DM-LFM, FEct).
• Couverture : Les intervalles de crédibilité à 95% du PS-LFM atteignent des taux de couverture proches du niveau nominal, contrairement aux autres méthodes qui sous-estiment souvent la variabilité ou sont biaisées.
• Robustesse : Même sans stratification réelle (cas où le modèle standard serait correct), le PS-LFM reste compétitif, bien que légèrement moins efficace que le modèle "Oracle" (qui connaît la vérité).

B. Application Empirique : Connexions Politiques et Valeur des Entreprises

L'auteur réanalyse l'impact des connexions politiques (avec Timothy Geithner) sur les rendements anormaux des actions des firmes financières lors de la nomination de Geithner au Trésor US en 2008.

• Données : 536 firmes financières, dont 53 traitées.
• Résultats : Le PS-LFM et le modèle de référence (DM-LFM) produisent des trajectoires de rendements anormaux similaires en période pré-traitement. Cependant, le jour de l'annonce, l'intervalle de crédibilité à 95% du PS-LFM inclut zéro, tandis que celui du DM-LFM ne l'inclut pas. Cela suggère que l'inclusion du score de propension modifie légèrement mais significativement l'estimation de l'effet causal, rendant l'effet moins "statistiquement significatif" mais plus robuste face aux confusions non observées.
• Tests de validité : Les tests de placebo (jours précédant l'annonce) montrent des effets proches de zéro pour les deux modèles, validant la spécification.

5. Signification et Limites

Signification :
Ce travail fournit un outil méthodologique robuste pour les économistes et les politologues travaillant sur des données de panel avec des traitements décalés et des facteurs de confusion non observés. Il démontre que l'intégration explicite du mécanisme de sélection dans un cadre bayésien, couplée à une gestion rigoureuse de la rétroaction, améliore la fiabilité des inférences causales.

Limites :

• Hypothèses paramétriques : Le modèle repose sur des formes fonctionnelles spécifiques (probit pour le traitement, linéarité pour le résultat) et des hypothèses de distribution normale.
• Double robustesse incomplète : En raison de la dépendance entre l'estimation des facteurs latents et le score de propension, le modèle ne satisfait pas la propriété de "double robustesse" classique (où la bonne spécification d'un seul modèle suffit). Une mauvaise spécification de l'un ou l'autre peut biaiser les résultats.
• Choix des seuils : La stratification par score de propension nécessite le choix de seuils, ce qui peut introduire une sensibilité si ces seuils sont mal choisis.

En conclusion, le PS-LFM représente une avancée significative pour l'inférence causale en données TSCS, en combinant la flexibilité des modèles à facteurs latents avec la rigueur de la théorie du score de propension, tout en résolvant les problèmes computationnels et statistiques associés.