📊 statistics

Bayesian Propensity Score-Augmented Latent Factor Models for Causal Inference with Time-Series Cross-Sectional Data

Dit artikel introduceert een Bayesiaans propensiteitsscore-aangevuld latent-factormodel voor causale inferentie met tijdreeks-kruisdoorsnede-gegevens, dat door het expliciet modelleren van toewijzing en het gebruik van stratificatie meer flexibiliteit biedt en betere vergelijkingen tussen behandelde en controlegroepen mogelijk maakt.

Oorspronkelijke auteurs: Licheng Liu

Gepubliceerd 2026-03-27

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Licheng Liu

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die probeert uit te vinden of een bepaalde actie (zoals het hebben van een politieke connectie) echt een verschil maakt voor een resultaat (zoals de waarde van een bedrijf).

In een perfecte wereld zou je een wetenschappelijk experiment kunnen doen: je neemt 100 bedrijven, gooit een munt op voor elk bedrijf om te beslissen of ze een connectie krijgen of niet, en vergelijkt ze daarna. Omdat de muntworp willekeurig is, zijn alle andere verschillen tussen de bedrijven (grootte, winstgevendheid, etc.) gemiddeld gelijk. Dan weet je zeker dat het verschil in waarde door de connectie komt.

Maar in de echte wereld (observatie) kun je geen munt opgooien. Bedrijven kiezen zelf of ze connecties hebben. Grote, winstgevende bedrijven hebben misschien vaker connecties. Als je nu gewoon kijkt of bedrijven met connecties meer geld verdienen, kun je niet weten of dat komt door de connectie, of gewoon omdat ze al groter en rijker waren. Dit noemen onderzoekers verwarring.

Het oude probleem: De "Propensiteit" en de "Onzichtbare Geesten"

Om dit op te lossen, gebruiken onderzoekers vaak een trucje genaamd de Propensiteitscore. Je kunt je dit voorstellen als een "kwalificatie-rangschikking".

Je kijkt naar alle zichtbare kenmerken van een bedrijf (grootte, winst, etc.).
Je berekent een score: "Hoe groot is de kans dat dit bedrijf een connectie heeft?"
Vervolgens vergelijk je alleen bedrijven met een vergelijkbare score. Zo vergelijk je een "groot, winstgevend bedrijf met connectie" met een "groot, winstgevend bedrijf zonder connectie".

Maar hier zit een addertje onder het gras:
Wat als er onzichtbare geesten zijn? Stel dat er een onzichtbare factor is (bijvoorbeeld: "de sfeer in de politiek" of "een verborgen netwerk") die zowel bepaalt of een bedrijf een connectie krijgt, als ook hoe goed het bedrijf presteert.

De oude methoden kunnen deze onzichtbare geesten niet zien. Ze kijken alleen naar de zichtbare kenmerken.
Als je die geesten negeert, blijft je vergelijking onvolledig en kun je tot een verkeerd oordeel komen.

De nieuwe oplossing: De "Dubbel-Versterkte" Methode

Licheng Liu (de auteur van dit paper) heeft een nieuwe, slimme methode bedacht: de Bayesiaanse Propensiteitscore-Verrijkte Latente Factor Model. Dat is een mondvol, maar laten we het uitleggen met een metafoor.

Stel je voor dat je een twee-kamerhuis bouwt om het probleem op te lossen:

Kamer 1: De "Wie krijgt wat?" Kamer (Behandeling)
In deze kamer proberen we te voorspellen wie een connectie krijgt. De oude methoden keken alleen naar de zichtbare muren (de bekende kenmerken). De nieuwe methode zegt: "Wacht, er zijn ook onzichtbare geesten (latente factoren) die hier invloed op hebben." We laten het model deze geesten zelf leren ontdekken uit de data.
Kamer 2: De "Wat is het resultaat?" Kamer (Uitkomst)
In deze kamer kijken we naar de bedrijfsresultaten. Hier gebruiken we de Propensiteitscore (de rangschikking uit de eerste kamer) als een hulpmiddel. We verdelen de bedrijven in groepjes (strata) op basis van hun kans op een connectie. Binnen elk groepje vergelijken we nu de bedrijven.

De magische twist:
In de nieuwe methode mogen deze twee kamers niet te veel met elkaar praten terwijl ze bouwen.

Als je de geesten in Kamer 1 laat bepalen door de resultaten in Kamer 2, en de resultaten in Kamer 2 laat bepalen door de geesten in Kamer 1, krijg je een cirkelredenering (een feedback-lus). Het model wordt dan "verward" en denkt dat het iets weet, terwijl het eigenlijk alleen maar naar zichzelf kijkt.
De auteur gebruikt een slimme truc (een "benaderde Bayesiaanse methode") waarbij hij de twee kamers tijdelijk afscheidt. Hij laat de geesten eerst in de uitkomst-kamer leren, en gebruikt die kennis dan pas om de behandeling-kamer te verbeteren, zonder dat ze elkaar verstoren.

Waarom is dit zo cool?

Het ziet de onzichtbare geesten: Het model kan onbekende factoren (zoals een verborgen politieke sfeer) detecteren en meenemen in de berekening.
Het is eerlijker: Door de bedrijven in groepjes te verdelen op basis van hun "kans op connectie", vergelijk je appels met appels, zelfs als er onzichtbare factoren meespelen.
Het werkt in de tijd: Het is speciaal gemaakt voor data waar bedrijven worden gevolgd over tijd (zoals een dagboek van een bedrijf), niet alleen voor één momentopname.

Het echte voorbeeld: Geithner en de Banken

De auteur testte dit op een echte geschiedenis: de benoeming van Timothy Geithner als minister van Financiën in 2008.

De vraag: Hebben banken die al een connectie met Geithner hadden, meer winst gemaakt toen hij werd benoemd?
De oude methode: Keek naar zichtbare kenmerken (grootte, winst) en probeerde ze te vergelijken.
De nieuwe methode: Keek ook naar de "onzichtbare geesten" (verborgen economische factoren) en verdeelde de banken in groepjes op basis van hoe waarschijnlijk het was dat ze een connectie hadden.

Het resultaat:
De nieuwe methode gaf een iets ander beeld dan de oude. Op de dag van de aankondiging zag de oude methode een groot effect (een piek in de winst), maar de nieuwe, strengere methode zag dat de piek eigenlijk niet significant was (het kon toeval zijn). Dit laat zien dat de nieuwe methode voorzichtiger en betrouwbaarder is omdat het de onzichtbare verwarringen beter oplost.

Samenvatting in één zin

Deze paper introduceert een slimme, nieuwe manier om te kijken of iets echt een oorzaak is van een gevolg, door niet alleen naar de zichtbare feiten te kijken, maar ook slimme wiskunde te gebruiken om de onzichtbare invloeden te vinden en te corrigeren, zodat je een eerlijker vergelijking maakt.

1. Het Probleem

Het artikel adresseert uitdagingen bij het schatten van causale effecten in time-series cross-sectional (TSCS) data (paneldata), waar zowel tijd- als eenheidseffecten een rol spelen.

Ongeobserveerde verstorende factoren: Bestaande methoden voor TSCS-data (zoals interactieve vaste-effectenmodellen) gaan vaak uit van "latente onafhankelijkheid" (latent ignorability), wat betekent dat er ongeobserveerde factoren ( $\gamma_i$ ) zijn die zowel de behandeling als het resultaat beïnvloeden.
Gebrek aan expliciete behandelingstoewijzing: Veel huidige panelmethoden modelleren de uitkomst (outcome) wel expliciet, maar negeren het mechanisme van behandelingstoewijzing (treatment assignment) onder de aanwezigheid van deze latente factoren.
Propensiteitsscore-uitdagingen: Traditionele propensity score-methoden (zoals matching of stratificatie) zijn moeilijk toe te passen in TSCS-omgevingen omdat de propensity score hier afhangt van zowel geobserveerde covariaten als de te schatten latente factoren.
Model-feedback: In een volledig Bayesiaanse analyse, waar zowel de propensity score als de uitkomstmodellen afhankelijk zijn van dezelfde latente factoren, ontstaat er een model-feedback-probleem. Dit kan leiden tot vertekende schattingen en onnauwkeurige contrafactuals, omdat de onzekerheid in het ene model direct en ongewenst het andere beïnvloedt.

2. Methodologie: De PS-LFM

De auteur stelt een nieuw raamwerk voor: het Bayesian Propensity Score-Augmented Latent Factor Model (PS-LFM).

A. Modelopzet
Het model combineert twee componenten:

Treatment Assignment Model (Propensity Score): De kans op behandeling ( $W_i$ ) wordt gemodelleerd als een functie van zowel geobserveerde covariaten ( $Z_i$ ) als latente factorenladingen ( $\gamma_i$ ).
$W_i = 1\{Z_i'\lambda_z + \gamma_i'\lambda_\gamma + \nu_i \geq 0\}$
Hieruit volgt de propensity score: $ps(Z_i, \gamma_i) = \Phi(Z_i'\lambda_z + \gamma_i'\lambda_\gamma)$ .
Outcome Model: Het potentiële resultaat onder controle ( $Y_{it}(0)$ ) wordt gemodelleerd met een interactief vast-effectenstructuur, maar verrijkt met de propensity score.
$Y_{it}(0) = g(Z_i, ps(Z_i, \gamma_i))'\beta_t + \gamma_i'f_t + \epsilon_{it}$
De functie $g(\cdot)$ kan de propensity score invoeren via stratificatie (bijv. in strata) of als continue covariaat. Dit zorgt voor flexibiliteit in het vangen van heterogeniteit tussen verschillende propensity-scoregroepen.

B. Identificatie en Aannames

Latente Onafhankelijkheid: Potentiële uitkomsten zijn onafhankelijk van de behandeling, gegeven zowel de geobserveerde covariaten ( $Z_i$ ) als de latente factoren ( $\gamma_i$ ).
Staggered Adoption: Het model gaat uit van een gefaseerde invoering van de behandeling, waarbij de timing willekeurig is binnen de behandelde groep (gegeven dat ze behandeld worden).

C. Bayesiaanse Schatting en het Oplossen van Feedback
Om het model-feedback-probleem op te lossen, gebruikt de auteur een benaderende Bayesiaanse procedure (approximate Bayesian inference):

In plaats van een volledig gekoppelde MCMC-sampling (waarbij parameters in beide modellen tegelijk worden bijgewerkt), wordt de feedbacklus "doorgesneden".
Stap 1: De factorenladingen ( $\gamma_i$ ) worden uitsluitend geschat op basis van het uitkomstmodel (outcome model).
Stap 2: Na schatting worden de ladingen "geroteerd" (via een post-processing stap) om de identificatiebeperkingen te voldoen (zoals in Bai, 2009).
Stap 3: Deze geroteerde ladingen worden vervolgens gebruikt als covariaten in het behandelingsmodel om de propensity score te updaten.
Stap 4: De propensity score wordt gebruikt in het uitkomstmodel, maar de parameters van het uitkomstmodel worden niet meer bijgewerkt op basis van de likelihood van het behandelmens.
Dit voorkomt dat fouten in het schatten van de propensity score direct de schatting van de contrafactuals verstoren.

3. Belangrijkste Bijdragen

Expliciete modellering van toewijzing: Het is een van de eerste methoden die het behandelingstoewijzingsmechanisme expliciet modelleert als afhankelijk van latente factoren in paneldata, onder de aanname van latente onafhankelijkheid.
Bayesiaanse uitbreiding: Het breidt bestaande Bayesiaanse propensity score-methoden (die voornamelijk voor cross-sectionele data zijn ontwikkeld) uit naar TSCS-data met complexe ongeobserveerde verstorende structuren.
Flexibiliteit en Heterogeniteit: Door de propensity score te gebruiken voor stratificatie binnen het uitkomstmodel, kan het model heterogeniteit in behandelingseffecten tussen verschillende propensity-scoregroepen vangen, wat leidt tot betrouwbaardere vergelijkingen binnen strata.
Software-implementatie: De methode is geïmplementeerd in het open-source R-pakket bpCausal.

4. Resultaten

A. Monte Carlo Simulaties
De auteur voert simulaties uit om de PS-LFM te vergelijken met:

Een "Oracle"-model (waarbij de ware propensity score en het aantal factoren bekend zijn).
Een standaard Bayesiaans Latent Factor Model (DM-LFM) zonder propensity score-aanpassing.
Bestaande frequentistische methoden zoals CS-DID (Callaway & Sant'Anna) en FEct.
Vindst: De PS-LFM presteert aanzienlijk beter dan DM-LFM en CS-DID wanneer er sprake is van stratificatie op de propensity score.
De PS-LFM heeft een lagere Bias en RMSE (Root Mean Squared Error) dan de alternatieven en bereikt een dekking van de 95% betrouwbaarheidsintervallen die dicht bij het nominale niveau ligt (94,5% vs. 88% voor DM-LFM).
CS-DID presteert slecht omdat het geen rekening houdt met de latente factorstructuur in de data-genererende processen.

B. Empirische Toepassing: Politieke Connecties en Firmwaarde
Het model wordt toegepast op een heranalyse van het effect van connecties met Timothy Geithner op de aandelenkoersen van financiële bedrijven na zijn benoeming tot minister van Financiën in 2008 (oorspronkelijk bestudeerd door Acemoglu et al., 2016).

Vergelijking: PS-LFM wordt vergeleken met het oorspronkelijke DM-LFM.
Resultaat: Hoewel de dynamische abnormal returns (afwijkende rendementen) in beide modellen vergelijkbaar lijken, toont de PS-LFM een niet-nul effect op de aankondigingsdag aan, terwijl het DM-LFM dit effect niet significant vindt (het 95% CI van PS-LFM omvat nul, terwijl dat van DM-LFM dat niet doet).
Validatie: Placebo-tests (voor de aankondiging) tonen geen significante effecten aan, wat de validiteit van de schattingen ondersteunt.
Conclusie: Het meenemen van de propensity score-stratificatie leidt tot subtielere en mogelijk nauwkeurigere schattingen van de abnormal returns.

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel biedt een belangrijke bijdrage aan de literatuur over causale inferentie in paneldata. Het combineert de voordelen van propensity score-methode (balancering van covariaten) met latent factor-modellen (het vangen van ongeobserveerde verstorende factoren).

Significantie: Het lost een fundamenteel probleem op in Bayesiaanse causaliteit: hoe om te gaan met model-feedback wanneer zowel behandeling als uitkomst afhankelijk zijn van dezelfde latente variabelen. De voorgestelde "cut-feedback" aanpak biedt een praktische en theoretisch onderbouwde oplossing.
Beperkingen: De methode is afhankelijk van parametrische aannames voor de functionaliteit van de propensity score in het uitkomstmodel. Als de stratificatie-drempels verkeerd zijn gekozen, kan dit leiden tot vertekening. Daarnaast is de methode niet volledig "dubbel robuust" (double robust) in de klassieke zin, omdat correcte specificatie van slechts één model niet voldoende is voor consistente schatting bij aanwezigheid van ongeobserveerde confounding.

Kortom, de PS-LFM biedt onderzoekers een krachtig nieuw instrument om causale effecten in complexe, longitudinale datasets te schatten, met name wanneer er sterke aanwijzingen zijn voor ongeobserveerde verstorende factoren die zowel de behandeling als de uitkomst beïnvloeden.