Multiplicity of solutions to a class of degenerate elliptic equations in both sub-critical and critical cases

तकनीकी सारांश: उप-क्रांतिक (Sub-critical) और क्रांतिक (Critical) दोनों मामलों में एक वर्ग के अपभ्रष्ट दीर्घवृत्तीय समीकरणों (Degenerate Elliptic Equations) की बहुलता

समस्या विवरण
यह शोध पत्र ग्रुशिन लाप्लासियन ऑपरेटर (Grushin Laplacian operator), $\Delta_\lambda$ से जुड़े एक अर्ध-रैखिक अपभ्रष्ट दीर्घवृत्तीय समीकरण के लिए गैर-तुच्छ (non-trivial), गैर-ऋणात्मक दुर्बल समाधानों (weak solutions) की बहुलता की जांच करता है। समस्या को एक चिकने, परिबद्ध डोमेन $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (जहाँ $N=n+m$) पर इस प्रकार रूपायित किया गया है:
$$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = \mu g(z)|u|^{r-1}u + h(z)|u|^{s-1}u & \text{in } \Omega, \\ u \in H^1_{0,\lambda}(\Omega), \end{cases}$$
जहाँ $\Delta_\lambda = \Delta_x + |x|^{2\lambda}\Delta_y$ ग्रुशिन ऑपरेटर है, $z=(x,y)$, $\lambda > 0$ है, और $\mu > 0$ एक पैरामीटर है। घातांक (exponents) उप-क्रांतिक मामले में $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ और क्रांतिक मामले में $s = 2^*_\lambda - 1$ को संतुष्ट करते हैं, जहाँ $2^*_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$ है, जो समरूप आयाम (homogeneous dimension) $Q = n + (1+\lambda)m$ से जुड़ा क्रांतिक सोबोलेव घातांक (critical Sobolev exponent) है। भार फलन (weight functions) $g$ और $h$ को चिह्न बदलने की अनुमति है, जो विशिष्ट समावेशन (integrability) और स्थानीय परिबद्धता (local boundedness) की शर्तों के अधीन हैं।

यह अध्ययन ग्रुशिन ऑपरेटर के संबंध में मौजूदा साहित्य के अंतराल को संबोधित करता है। जबकि ब्रेज़िस-निएरेनबर्ग (Brezis-Nirenberg) प्रकार की समस्याओं (जहाँ $r \ge 1$) के लिए अस्तित्व संबंधी परिणाम स्थापित किए जा चुके हैं, $0 \le r < 1$ (अवतल-उत्तल/concave-convex nonlinearity) के मामले का अध्ययन इस ऑपरेटर के लिए नहीं किया गया था, यहाँ तक कि उप-क्रांतिक शासन में भी। इसके अतिरिक्त, मानक लाप्लासियन की तुलना में ग्रुशिन ऑपरेटर के लिए उत्तल-अवतल (convex-concave) समस्याओं से जुड़ी बहुलता के परिणाम भी कम समझे गए हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक प्रयोगात्मक विधियों (variational methods) का उपयोग करते हैं, विशेष रूप से संबद्ध ऊर्जा फलन (energy functional) $I_\mu: H^1_{0,\lambda}(\Omega) \to \mathbb{R}$ के क्रिटिकल पॉइंट्स (critical points) का विश्लेषण करते हैं। विश्लेषण का मुख्य आधार नेहारी मैनिफोल्ड तकनीक (Nehari manifold technique) है।

1. वैरिएशनल ढांचा (Variational Framework): फलन $I_\mu$ को $I_\mu(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_\lambda u|^2 dz - \frac{\mu}{r+1}\int_\Omega g|u|^{r+1} dz - \frac{1}{s+1}\int_\Omega h|u|^{s+1} dz$ के रूप में परिभाषित किया गया है। नेहारी मैनिफोल्ड $\mathcal{M}_\mu$ को उन गैर-शून्य फलनों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ फलन का फलन की दिशा में अवकलज (derivative) शून्य होता है ($\langle I'_\mu(u), u \rangle = 0$)।

2. फाइब्रिंग मैप्स (Fibering Maps): लेखक फलन $F(t) = I_\mu(tu)$ का विश्लेषण करने के लिए फाइब्रिंग मैप का उपयोग करते हैं ताकि नेहारी मैनिफोल्ड को तीन विलगित (disjoint) सेटों $\mathcal{M}^+_\mu$, $\mathcal{M}^-_\mu$, और $\mathcal{M}^0_\mu$ में विभाजित किया जा सके, जो फाइब्रिंग मैप के दूसरे अवकलज के चिह्न पर आधारित हैं।

   • छोटे $\mu$ के लिए, यह दिखाया गया है कि $\mathcal{M}^0_\mu$ रिक्त (empty) है।
   • मैनिफोल्ड को इस प्रकार विभाजित किया गया है कि $\mathcal{M}^+_\mu$ और $\mathcal{M}^-_\mu$ गैर-रिक्त हैं और इनमें फलन के स्थानीय न्यूनतमीकरणकर्ता (local minimizers) शामिल हैं।

3. उप-क्रांतिक मामला ($s < 2^*_\lambda - 1$):

   • यह सिद्ध करने के लिए कि पर्याप्त छोटे $\mu$ के लिए, फलन $\mathcal{M}^+_\mu$ और $\mathcal{M}^-_\mu$ दोनों पर अपना इन्फिमम (infimum) प्राप्त करता है।
   • एकलैंड के प्रयोगात्मक सिद्धांत (Ekeland's variational principle) का उपयोग करते हुए, वे न्यूनतमीकरण अनुक्रमों (minimizing sequences) का निर्माण करते हैं और यह सिद्ध करते हैं कि वे $I_\mu$ के क्रिटिकल पॉइंट्स की ओर दृढ़ता से अभिसरित (converge) होते हैं, जिससे दो अलग-अलग गैर-ऋणात्मक समाधान प्राप्त होते हैं।
   • समाधानों की सख्त सकारात्मकता (strict positivity) को पिछले साहित्य के मैक्सिमम प्रिंसिपल परिणाम का हवाला देते हुए अतिरिक्त शर्तों ($n=1, \lambda \ge 1, g,h \ge 0$) के तहत स्थापित किया गया है।

4. क्रांतिक मामला ($s = 2^*_\lambda - 1$):

   • क्रांतिक घातांक की उपस्थिति कॉम्पैक्टनेस की कमी (पले-स्मेल (Palais-Smale) स्थिति की विफलता) लाती है।
   • इसे दूर करने के लिए, लेखक ब्रेज़िस और निएरेनबर्ग की विधियों को अपनाते हैं। वे एक थ्रेशोल्ड स्तर $c^*$ (जो सर्वोत्तम सोबोलेव स्थिरांक $S_\lambda$ से संबंधित है) स्थापित करते हैं जिसके नीचे पले-स्मेल स्थिति बनी रहती है।
   • पहला समाधान: मूल बिंदु के आसपास एक छोटे बॉल के माध्यम से एकलैंड के सिद्धांत के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जिससे ऋणात्मक ऊर्जा वाला एक समाधान प्राप्त होता है।
   • दूसरा समाधान: माउंटेन पास प्रमेय (Mountain Pass Theorem) के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। लेखक परीक्षण फलनों $w_\epsilon$ के एक परिवार (जो सोबोलेव समावेशन के एक्सट्रीमल फंक्शन्स से व्युत्पन्न हैं) का उपयोग करके एक विशिष्ट पथ का निर्माण करते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि माउंटेन पास स्तर क्रिटिकल थ्रेशोल्ड $c^*$ से स्पष्ट रूप से नीचे है। यह सुनिश्चित करता है कि दूसरा क्रिटिकल पॉइंट मौजूद है।

मुख्य योगदान और परिणाम
यह शोध पत्र निम्नलिखित मुख्य प्रमेयों को स्थापित करता है:

• प्रमेय 1.1 (उप-क्रांतिक बहुलता): यह मानते हुए कि $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ और भार $g$ तथा $h$ पर उचित शर्तें लागू हैं, एक $\mu^* > 0$ विद्यमान है कि प्रत्येक $\mu \in (0, \mu^*)$ के लिए, समस्या कम से कम दो गैर-तुच्छ, गैर-ऋणात्मक दुर्बल समाधान प्रदान करती है। यदि $n=1, \lambda \ge 1$ और भार गैर-ऋणात्मक हैं, तो ये समाधान पूर्णतः धनात्मक हैं।
• प्रमेय 1.2 (क्रांतिक बहुलता): क्रांतिक मामले में जहाँ $s = 2^*_\lambda - 1$ और $g \ge 0, h \equiv 1$, एक $\mu^* > 0$ विद्यमान है कि प्रत्येक $\mu \in (0, \mu^*)$ के लिए, समस्या कम से कम दो गैर-तुच्छ, गैर-ऋणात्मक दुर्बल समाधान प्रदान करती है। उन्हीं आयाम और भार की शर्तों के तहत, समाधान पूर्णतः धनात्मक हैं।

महत्व और दायरा
इस शोध पत्र का महत्व मानक लाप्लासियन के लिए क्लासिकल एम्ब्रोसेटी-ब्रेज़िस-सेरामी (Ambrosetti-Brezis-Cerami) परिणामों को चिह्न बदलने वाले भारों के साथ विकृत ग्रुशिन सेटिंग तक विस्तारित करने में निहित है। यह विशेष रूप से ग्रुशिन ऑपरेटर के लिए अवतल-उत्तल (concave-convex) मामले ($0 \le r < 1$) के संबंध में मौजूद रिक्तता को भरता है।

लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि $\{x=0\}$ पर ऑपरेटर की विकृति के कारण, $n \ge 2$ के लिए एक उपयुक्त मैक्सिमम प्रिंसिपल सामान्यतः उपलब्ध नहीं है, जो उनके ध्यान को केवल गैर-ऋणात्मक समाधानों तक सीमित करता है। यह कार्य ग्रुशिन ऑपरेटर की संरचनात्मक विशेषताओं, जिसमें इसकी हाइपोएलिप्टिसिटी (hypoellipticity) और संबंधित सोबोलेव एम्बेडिंग्स शामिल हैं, पर अत्यधिक निर्भर करता है ताकि यूनिफॉर्म एलिप्टिसिटी की कमी को संभाला जा सके। परिणाम विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक हैं, जो एक्सट्रीमल फंक्शन्स के वेरिएशनल तकनीकों और एसिम्प्टोटिक विश्लेषण पर आधारित हैं, और स्थापित गणितीय दायरे के परे किसी नए प्रायोगिक अनुप्रयोग या भविष्य की दिशाओं का प्रस्ताव नहीं करते हैं।