Multiplicity of solutions to a class of degenerate elliptic equations in both sub-critical and critical cases

技术摘要：关于一类退化椭圆方程在亚临界与临界情形下解的多重性研究

问题陈述
本文研究了涉及 Grushin 拉普拉斯算子 $\Delta_\lambda$ 的半线性退化椭圆方程在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（其中 $N=n+m$）上的非平凡、非负弱解的多重性问题。该问题表述为：
$$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = \mu g(z)|u|^{r-1}u + h(z)|u|^{s-1}u & \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u \in H^1_{0,\lambda}(\Omega), \end{cases}$$
其中 $\Delta_\lambda = \Delta_x + |x|^{2\lambda}\Delta_y$ 是 Grushin 算子，$\lambda > 0$，$\mu > 0$ 是一个参数。指数满足在亚临界情形下 $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$，以及在临界情形下 $s = 2^*_\lambda - 1$，其中 $2^*_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$ 是与齐次维度 $Q = n + (1+\lambda)m$ 相关联的临界 Sobolev 指数。权重函数 $g$ 和 $h$ 允许变号，并受限于特定的可积性和局部有界性条件。

本研究旨在解决 Grushin 算子领域内现有的文献空白。虽然针对 Brezis-Nirenberg 型问题（其中 $r \ge 1$）的存在性结果已有建立，但对于该算子的凹凸型非线性（concave-convex nonlinearity）情形（即 $0 \le r < 1$），即使是在亚临界情形下，也尚未得到研究。此外，涉及 Grushin 算子的凸-凹型问题的多重性结果与标准拉普拉斯算子相比，目前仍较少被深入理解。

研究方法
作者采用变分法，具体通过分析相关能量泛函 $I_\mu: H^1_{0,\lambda}(\Omega) \to \mathbb{R}$ 的临界点进行研究。其核心分析依赖于 Nehari 流形技术。

1. 变分框架： 定义泛函 $I_\mu$ 为：
   $$I_\mu(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_\lambda u|^2 dz - \frac{\mu}{r+1}\int_\Omega g|u|^{r+1} dz - \frac{1}{s+1}\int_\Omega h|u|^{s+1} dz.$$
   Nehari 流形 $\mathcal{M}_\mu$ 定义为泛函在函数方向上的导数为零的非零函数集合（即 $\langle I'_\mu(u), u \rangle = 0$）。

2. 纤维映射（Fibering Maps）： 作者通过分析纤维映射 $F(t) = I_\mu(tu)$，将 Nehari 流形分解为三个不相交的集合 $\mathcal{M}^+_\mu$, $\mathcal{M}^-_\mu$, 和 $\mathcal{M}^0_\mu$，其依据是纤维映射二阶导数的符号。

   • 对于较小的 $\mu$，可以证明 $\mathcal{M}^0_\mu$ 是空的。
   • 流形被分割为 $\mathcal{M}^+_\mu$ 和 $\mathcal{M}^-_\mu$，两者均非空且包含泛函的局部极小值点。

3. 亚临界情形 ($s < 2^*_\lambda - 1$)：

   • 作者证明，对于足够小的 $\mu$，泛函在 $\mathcal{M}^+_\mu$ 和 $\mathcal{M}^-_\mu$ 上均能达到下确界。
   • 利用 Ekeland 变分原理，作者构造了极小序列，并证明这些序列强收敛于 $I_\mu$ 的临界点，从而得到两个不同的非负解。
   • 通过引用先前文献中的极大值原理，在附加条件（$n=1, \lambda \ge 1, g, h \ge 0$）下，确立了解的严格正性。

4. 临界情形 ($s = 2^*_\lambda - 1$)：

   • 临界指数的存在引入了紧性缺失问题（Palais-Smale 条件失效）。
   • 为了克服这一问题，作者采用了 Brezis 和 Nirenberg 的方法。他们建立了一个阈值水平 $c^*$（与最佳 Sobolev 常数 $S_\lambda$ 相关），在该水平之下，Palais-s-条件成立。
   • 第一个解： 通过在原点附近的一个小球内应用 Ekeland 原理获得，该解具有负能量。
   • 第二个解： 通过 山路定理（Mountain Pass Theorem） 获得。作者利用一组测试函数族 $w_\epsilon$（源自 Sobolev 不等式的极值函数）构造了一条特定的路径，以证明山路水平严格低于临界阈值 $c^*$。这确保了第二个临界点的存在。

主要贡献与结果
本文建立了以下主要定理：

• 定理 1.1（亚临界多重性）： 假设 $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ 且权重 $g$ 和 $h$ 满足适当条件，则存在 $\mu^* > 0$，使得对于每个 $\mu \in (0, \mu^*)$，该问题至少有两个非平凡、非负的弱解。若 $n=1, \lambda \ge 1$ 且权重为非负，则这些解是严格正的。
• 定理 1.2（临界多重性）： 在临界情形 $s = 2^*_\lambda - 1$ 且 $g \ge 0, h \equiv 1$ 时，存在 $\mu^* > 0$，使得对于每个 $\mu \in (0, \mu^*)$，该问题至少有两个非平凡、非负的弱解。在相同的维度和权重条件下，这些解是严格正的。

意义与范围
本文的意义在于将经典的 Ambrosetti-Brezis-Cerami 结果（最初针对标准拉普拉斯算子）推广到带有变号权重的退化 Grushin 设定中。它特别填补了 Grunsin 算子在凹凸型情形（$0 \le r < 1$）下的研究空白。

作者明确指出，由于算子在集合 $\{x=0\}$ 处具有退化性，对于 $n \ge 2$，通常无法使用合适的极大值原理，因此其研究重点仅限于非负解。这项工作高度依赖于 Grushin 算子的结构性质，包括其亚椭圆性（hypoellipticity）及相关的 Sobolev 嵌入，以处理缺乏一致椭圆性的问题。研究结果纯属解析性质，依赖于变分技术和极值函数的渐近分析，并未提出超出既定数学范围的新实验应用或未来方向。