Multiplicity of solutions to a class of degenerate elliptic equations in both sub-critical and critical cases

Resumen Técnico: Multiplicidad de Soluciones para una Clase de Ecuaciones Elípticas Degeneradas tanto en el Caso Subcrítico como en el Crítico

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la multiplicidad de soluciones débicas no triviales y no negativas para una ecuación elíptica degenerada semilineal que involucra al operador Laplaciano de Grushin, $\Delta_\lambda$. El problema se formula en un dominio acotado y suave $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (donde $N=n+m$) como:
$$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = \mu g(z)|u|^{r-1}u + h(z)|u|^{s-1}u & \text{en } \Omega, \\ u \in H^1_{0,\lambda}(\Omega), \end{cases}$$
donde $\Delta_\lambda = \Delta_x + |x|^{2\lambda}\Delta_y$ es el operador de Grushin, $\lambda > 0$ y $\mu > 0$ es un parámetro. Los exponentes satisfacen $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ en el caso subcrítico, y $s = 2^*_\lambda - 1$ en el caso crítico, donde $2^*_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$ es el exponente de Sobolev crítico asociado a la dimensión homogénea $Q = n + (1+\lambda)m$. Las funciones de peso $g$ y $h$ pueden cambiar de signo, sujetas a condiciones específicas de integrabilidad y acotación local.

El estudio aborda un vacío en la literatura existente para el operador de Grushin. Mientras que se han establecido resultados de existencia para problemas de tipo Brezis-Nirenberg (donde $r \ge 1$), el caso $0 \le r < 1$ (no linealidad cóncavo-convexa) no había sido estudiado para este operador, incluso en el régimen subcrítico. Además, los resultados de multiplicidad para problemas cóncavo-convexos que involucran al operador de Grushin siguen siendo menos comprendidos en comparación con el Laplaciano estándar.

Metodología
Los autores emplean métodos variacionales, específicamente analizando los puntos críticos del funcional de energía asociado $I_\mu: H^1_{0,\lambda}(\Omega) \to \mathbb{R}$. El núcleo del análisis se basa en la técnica de la variedad de Nehari.

1. Marco Variacional: El funcional $I_\mu$ se define como:
   $$I_\mu(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_\lambda u|^2 dz - \frac{\mu}{r+1}\int_\Omega g|u|^{r+1} dz - \frac{1}{s+1}\int_\Omega h|u|^{s+1} dz.$$
   La variedad de Nehari $\mathcal{M}_\mu$ se define como el conjunto de funciones no nulas donde la derivada del funcional en la dirección de la función se anula ($\langle I'_\mu(u), u \rangle = 0$).

2. Mapas de Fibramiento: Los autores analizan el mapa de fibramiento $F(t) = I_\mu(tu)$ para descomponer la variedad de Nehari en tres conjuntos disjuntos, $\mathcal{M}^+_\mu$, $\mathcal{M}^-_\mu$ y $\mathcal{M}^0_\mu$, basados en el signo de la segunda derivada del mapa de fibramiento.

   • Para $\mu$ pequeño, se demuestra que $\mathcal{M}^0_\mu$ está vacío.
   • La variedad se divide de tal manera que $\mathcal{M}^+_\mu$ y $\mathcal{M}^-_\mu$ son no vacíos y contienen minimizadores locales del funcional.

3. Caso Subcrítico ($s < 2^*_\lambda - 1$):

   • Los autores demuestran que para un $\mu$ suficientemente pequeño, el funcional alcanza su ínfimo tanto en $\mathcal{M}^+_\mu$ como en $\mathcal{M}^-_\mu$.
   • Utilizando el principio de Ekeland, construyen sucesiones minimizantes y demuestran que convergen fuertemente a puntos críticos de $I_\mu$, produciendo así dos soluciones distintas no negativas.
   • La positividad estricta de las soluciones se establece bajo condiciones adicionales ($n=1, \lambda \ge 1, g,h \ge 0$) citando un resultado de principio máximo de la literatura previa.

4. Caso Crítico ($s = 2^*_\lambda - 1$):

   • La presencia del exponente crítico introduce una falta de compacidad (falla de la condición de Palais-Smale).
   • Para superar esto, los autores adoptan los métodos de Brezis y Nirenberg. Establecen un nivel de umbral $c^*$ (relacionado con la mejor constante de Sobolev $S_\lambda$) por debajo del cual se cumple la condición de Palais-Smale.
   • Primera Solución: Obtenida mediante el principio de Ekeland en una pequeña bola alrededor del origen, produciendo una solución con energía negativa.
   • Segunda Solución: Obtenida mediante el Teorema del Paso Montañoso (Mountain Pass Theorem). Los autores construyen un camino específico utilizando una familia de funciones de prueba $w_\epsilon$ (derivadas de las funciones extremales de la desigualdad de Sobolev) para mostrar que el nivel del paso montañoso está estrictamente por debajo del umbral crítico $c^*$. Esto asegura la existencia de un segundo punto crítico.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece los siguientes teoremas principales:

• Teorema 1.1 (Multiplicidad Subcrítica): Asumiendo que $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ y condiciones apropiadas sobre los pesos $g$ y $h$, existe $\mu^* > 0$ tal que para cada $\mu \in (0, \mu^*)$, el problema admite al menos dos soluciones débicas no triviales y no negativas. Si $n=1, \lambda \ge 1$ y los pesos son no negativos, estas soluciones son estrictamente positivas.
• Teorema 1.2 (Multiplicidad Crítica): En el caso crítico donde $s = 2^*_\lambda - 1$ y $g \ge 0, h \equiv 1$, existe $\mu^* > 0$ tal que para cada $\mu \in (0, \mu^*)$, el problema admite al menos dos soluciones débicas no triviales y no negativas. Bajo las mismas condiciones de dimensión y pesos, las soluciones son estrictamente positivas.

Significancia y Alcance
La significancia del artículo radica en extender los resultados clásicos de Ambrosetti-Brezis-Cerami (originalmente para el Laplaciano estándar) al entorno degenerado de Grushin con pesos que cambian de signo. Específicamente, llena el vacío respecto al caso cóncavo-convexo ($0 \le r < 1$) para el operador de Grushin.

Los autores señalan explícitamente que, debido a la degeneración del operador en el conjunto $\{x=0\}$, un principio máximo adecuado generalmente no está disponible para $n \ge 2$, lo que restringe su enfoque a soluciones no negativas. El trabajo depende fuertemente de las propiedades estructurales del operador de Grushin, incluyendo su hipoelipticidad y las desigualdades de incrustación de Sobolev asociadas, para manejar la falta de elipticidad uniforme. Los resultados son puramente analíticos, apoyándose en técnicas variacionales y análisis asintótico de funciones extremales, sin proponer nuevas aplicaciones experimentales o direcciones futuras más allá del alcance matemático de los teoremas establecidos.