Multiplicity of solutions to a class of degenerate elliptic equations in both sub-critical and critical cases

技術要約：劣生成的なクラスの楕円方程式における、劣臨界および臨界の両ケースにおける解の多重性

問題設定
本論文は、Grushin型ラプラシアン演算子 $\Delta_\lambda$ を含む半線形劣生成楕円方程式における、非自明かつ非負の弱解の多重性を調査するものである。問題は、滑らかで有界な領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ （ここで $N=n+m$）において次のように定式化される：
$$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = \mu g(z)|u|^{r-1}u + h(z)|u|^{s-1}u & \text{in } \Omega, \\ u \in H^1_{0,\lambda}(\Omega), \end{cases}$$
ここで $\Delta_\lambda = \Delta_x + |x|^{2\lambda}\Delta_y$ はGrushin演算子であり、$\lambda > 0$、$\mu > 0$ はパラメータである。指数は、劣臨界ケースにおいて $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$、臨界ケースにおいて $s = 2^*_\lambda - 1$ を満たす。ここで $2^*_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$ は、同次次元 $Q = n + (1+\lambda)m$ に関連する臨界ソボレフ指数である。重み関数 $g$ および $h$ は符号が変化する場合があるが、特定の可積分性および局所有界性の条件に従うものとする。

本研究は、Grushin演算子に関する既存の文献におけるギャップに対処するものである。Brezis-Nirenberg型の問題（$r \ge 1$ の場合）に対する存在結果は既に確立されているが、この演算子における凹凸型非線形性（concave-convex nonlinearity）のケース（$0 \le r < 1$）は、劣臨界領域においてさえ研究されていなかった。さらに、Grushin演算子を用いた凸凹型問題に関する多重性の結果は、標準的なラプラシアンと比較して依然として理解が進んでいない。

手法
著者らは変分法、具体的には、関連するエネルギー汎関数 $I_\mu: H^1_{0,\lambda}(\Omega) \to \mathbb{R}$ の臨界点の解析を用いる。解析の核となるのはネヤリ多様体（Nehari manifold）の手法である。

1. 変分枠組み: 汎関数 $I_\mu$ は次のように定義される：
   $$I_\mu(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_\lambda u|^2 dz - \frac{\mu}{r+1}\int_\Omega g|u|^{r+1} dz - \frac{1}{s+1}\int_\Omega h|u|^{s+1} dz.$$
   ネヤリ多様体 $\mathcal{M}_\mu$ は、関数 $u$ 方向への汎関数の微分がゼロとなる非ゼロの関数の集合として定義される（$\langle I'_\mu(u), u \rangle = 0$）。

2. ファイバリング写像（Fibering Maps）: 著者らは、ファイバリング写像 $F(t) = I_\mu(tu)$ を解析し、汎関数の二階微分に基づき、ネヤリ多様体を3つの互いに素な集合 $\mathcal{M}^+_\mu$, $\mathcal{M}^-_\mu$, $\mathcal{M}^0_\mu$ に分解する。

   • 小さな $\mu$ に対して、$\mathcal{M}^0_\mu$ は空集合であることが示される。
   • 多様体は、$\mathcal{M}^+_\mu$ と $\mathcal{M}^-_\mu$ が非空であり、それぞれが汎関数の局所最小値を含むように分割される。

3. 劣臨界ケース ($s < 2^*_\lambda - 1$):

   • 十分小さな $\mu$ に対して、汎関数が $\mathcal{M}^+_\mu$ および $\mathcal{M}^-_\mu$ の両方で下限（infimum）に達することを示す。
   • エケランドの変分原理（Ekeland's variational principle）を用いて、最小化列を構成し、それらが $I_\mu$ の臨界点に強収束することを証明することで、2つの異なる非負解を得る。
   • 追加の条件（$n=1, \lambda \ge 1, g, h \ge 0$）の下での解の厳密な正値性は、先行文献の最大値原理の結果を引用することで確立される。

4. 臨界ケース ($s = 2^*_\lambda - 1$):

   • 臨界指数の存在は、コンパクト性の欠如（Palais-Smale条件の失敗）をもたらす。
   • これを克服するために、著者らはBrezisおよびNirenbergの手法を採用する。彼らは、Palais-Smale条件が成立する閾値レベル $c^*$（最良ソボレフ定数 $S_\lambda$ に関連）を確立する。
   • 第一の解: 原点の周囲の小さな球におけるエケランドの原理を通じて得られ、負のエネルギーを持つ解となる。
   • 第二の解: **マウンテンパス定理（Mountain Pass Theorem）**を通じて得られる。著者らは、ソボレフ不等式の極値関数から導出された一族のテスト関数 $w_\epsilon$ を用いた特定の経路を構成し、マウンテンパスレベルが臨界閾値 $c^*$ を厳密に下回ることを示す。これにより、第二の臨界点の存在が保証される。

主要な貢献と結果
本論文は以下の主要な定理を確立している：

• 定理 1.1 (劣臨界多重性): $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$ かつ重み $g$ と $h$ に関する適切な条件を仮定すると、任意の $\mu \in (0, \mu^*)$ に対して、少なくとも2つの非自明な非負の弱解が存在するような $\mu^* > 0$ が存在する。$n=1, \lambda \ge 1$ かつ重みが非負である場合、これらの解は厳密に正である。
• 定理 1.2 (臨界多重性): 臨界ケース $s = 2^*_\lambda - 1$ かつ $g \ge 0, h \equiv 1$ において、任意の $\mu \in (0, \mu^*)$ に対して、少なくとも2つの非自明な非負の弱解が存在するような $\mu^* > 0$ が存在する。同じ次元および重みの条件の下で、解は厳密に正である。

意義と範囲
本論文の意義は、古典的なAmbrosetti-Brezis-Ceramiの結果（標準的なラプラシアンに関するもの）を、符号変化する重みを持つ劣生成的なGrushinの設定へと拡張したことにある。これは、Grushin演算子における凹凸型ケース（$0 \le r < 1$）の空白を埋めるものである。

著者らは、演算子が集合 $\{x=0\}$ 上で退化しているため、一般に $n \ge 2$ では適切な最大値原理が利用できないことを明記しており、非負解に焦点を絞っている。本研究は、一様楕円性の欠如を扱うために、Grushin演算子の構造的特性（その劣弾性および関連するソボレフ埋め込み）に大きく依存している。結果は純粋に解析的であり、確立された定理の数学的範囲を超えた実験的な応用や将来の方向性を提案するものではない。