Multiplicity of solutions to a class of degenerate elliptic equations in both sub-critical and critical cases

기술 요약: 아임계 및 임계 사례 모두에서의 특정 퇴화 타원 방정식의 해의 다중성

문제 정의
본 논문은 그루신 라플라시안 연산자 $\Delta_\lambda$를 포함하는 세미리니어 퇴화 타원 방정식에 대한 비자명한, 비음의 약해(weak solution)의 다중성을 조사한다. 문제는 매끄럽고 유계인 영역 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (여기서 $N=n+m$)에서 다음과 같이 정식화된다:
$$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = \mu g(z)|u|^{r-1}u + h(z)|u|^{s-1}u & \text{in } \Omega, \\ u \in H^1_{0,\lambda}(\Omega), \end{cases}$$
여기서 $\Delta_\lambda = \Delta_x + |x|^{2\lambda}\Delta_y$는 그루신 연산자이며, $\lambda > 0$, $\mu > 0$는 매개변수이다. 지수들은 아임계(sub-critical) 사례에서 $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$을 만족하며, 임계(critical) 사례에서는 $s = 2^*_\lambda - 1$을 만족한다. 여기서 $2^*_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$는 동차 차원 $Q = n + (1+\lambda)m$과 관련된 임계 소볼레프 지수이다. 가중치 함수 $g$와 $h$는 부호가 변할 수 있으며, 특정 적분 가능성 및 국소 유계 조건을 따른다.

이 연구는 그루신 연산자에 관한 기존 문헌의 공백을 다룬다. 브레지스-니렌버그 유형의 문제(여기서 $r \ge 1$)에 대한 존재성 결과는 이미 확립되었으나, $0 \le r < 1$인 경우(오목-볼록 비선형성)는 그루신 연산자에 대해 아임계 영역에서조차 연구된 바 없다. 또한, 표준 라플라시안과 비교했을 때 그루신 연산자를 포함하는 볼록-오목 문제에 대한 다중성 결과는 여전히 덜 이해되어 있다.

방법론
저자들은 변분법, 구체적으로는 연관된 에너지 범함수 $I_\mu: H^1_{0,\lambda}(\Omega) \to \mathbb{R}$의 임계점을 분석하는 방법을 사용한다. 분석의 핵심은 네하리 다양체(Nehari manifold) 기법에 의존한다.

1. 변분 구조: 저자들은 파이버링 맵(fibering map) $F(t) = I_\mu(tu)$를 분석하여 네하리 다양체를 세 개의 서로소인 집합 $\mathcal{M}^+_\mu$, $\mathcal{M}^-_\mu$, $\mathcal{M}^0_\mu$로 분해한다. 이는 파이버링 맵의 이계도함수 부호에 기초한다.

   • $\mu$가 작을 때, $\mathcal{M}^0_\mu$는 공집합임을 보인다.
   • 다양체는 $\mathcal{M}^+_\mu$와 $\mathcal{M}^-_\mu$로 나뉘며, 이들은 각각 범함수의 국소 최소값을 포함한다.

2. 파이버링 맵: 저자들은 함수 $u$ 방향으로의 범함수의 미분이 $0$이 되는 비영 함수들의 집합인 네하리 다양체$\mathcal{M}_\mu$를 정의한다.

   • $\mathcal{M}^+_\mu$와 $\mathcal{M}^-_\mu$는 비어 있지 않으며, 범함수의 국소 최소값을 포함한다.

3. 아임계 사례 ($s < 2^*_\lambda - 1$):

   • 충분히 작은 $\mu$에 대하여, 범함수가 $\mathcal{M}^+_\mu$와 $\mathcal{M}^-_\mu$ 모두에서 최솟값을 가짐을 증명한다.
   • 에켈란트의 변분 원리(Ekeland's variational principle)를 사용하여, 저자들은 최소화 수열을 구성하고 이들이 $I_\mu$의 임계점으로 강하게 수렴함을 증상하여 두 개의 서로 다른 비음의 해를 얻는다.
   • 추가적인 조건($n=1, \lambda \ge 1, g,h \ge 0$) 하에서 해의 엄격한 양의 성질은 이전 문헌의 극대 원리 결과를 인용하여 확립된다.

4. 임계 사례 ($s = 2^*_\lambda - 1$):

   • 임계 지수의 존재는 컴팩트성 결여(팔레-스말 조건 실패)를 초래한다.
   • 이를 극복하기 위해, 저자들은 브레지스와 니렌버그의 방법을 채택한다. 저자들은 최적의 소볼레프 상수 $S_\lambda$와 관련된 임계 문턱 레벨 $c^*$를 설정하며, 이 레벨 아래에서는 팔레-스말 조건이 성립한다.
   • 첫 번째 해: 원점 근처의 작은 구(ball)에서 에켈란트의 원리를 통해 얻어지며, 음의 에너지를 갖는 해를 생성한다.
   • 두 번째 해: **마운틴 패스 정리(Mountain Pass Theorem)**를 통해 얻어진다. 저자들은 테스트 함수족 $w_\epsilon$(소볼레프 부등식의 극값 함수들로부터 유도됨)을 사용하여 마운틴 패스 레벨이 임계 문턱값 $c^*$보다 엄격히 낮음을 보여줌으로써 특정한 경로를 구성한다. 이는 두 번째 임계점의 존재를 보장한다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 다음의 주요 정리들을 확립한다:

• 정리 1.1 (아임계 다중성): $0 \le r < 1 < s < 2^*_\lambda - 1$이고 가중치 $g$와 $h$에 적절한 조건이 주어질 때, 모든 $\mu \in (0, \mu^*)$에 대하여 적어도 두 개의 비자명한, 비음의 약해를 갖는 $\mu^* > 0$가 존재한다. 만약 $n=1, \lambda \ge 1$이고 가중치가 비음일 경우, 이 해들은 엄격히 양수이다.
• 정리 1.2 (임계 다중성): 임계 사례인 $s = 2^*_\lambda - 1$이고 $g \ge 0, h \equiv 1$인 경우, 모든 $\mu \in (0, \mu^*)$에 대하여 적어도 두 개의 비자명한, 비음의 약해를 갖는 $\mu^* > 0$가 존재한다. 동일한 차원 및 가중치 조건 하에서, 이 해들은 엄격히 양수이다.

의의 및 범위
본 논문의 의의는 클래식한 암브로세티-브레지스-세라미(Ambrosetti-Brezis-Cerami) 결과를 (표준 라플라시안에 대해 원래 성립했던) 부호가 변하는 가중치를 가진 퇴화된 그루신 설정으로 확장했다는 점에 있다. 특히 이 연구는 그루신 연산자에 대한 오목-볼록 케이스($0 \le r < 1$)의 공백을 메운다.

저자들은 연산자가 $\{x=0\}$에서 퇴화하기 때문에, $n \ge 2$인 경우 적절한 극대 원리를 일반적으로 사용할 수 없음을 명시하며, 이에 따라 비음의 해에 초점을 맞춘다고 밝힌다. 이 연구는 균일한 타원성을 결여한 구조적 특성을 다루기 위해 그루신 연산자의 하이포엘립틱(hypoellipticity) 및 관련 소볼레프 임베딩의 성질에 크게 의존한다. 본 연구는 순수하게 분석적이며, 확립된 정리의 수학적 범위를 넘어 새로운 실험적 응용이나 향후 방향을 제안하지 않는다.