Weight distributions of two classes of linear codes with few weights derived from Weil sums

तकनीकी सारांश: वेइल सम (Weil Sums) से व्युत्पन्न रैखिक कोडों के भार वितरण (Weight Distributions)

समस्या विवरण
कम भार (few weights) वाले रैखिक कोड कोडिंग थ्योरी में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि उनके सीक्रेट शेयरिंग स्कीम्स, ऑथेंटिकेशन कोड्स, एसोसिएशन स्कीम्स और स्ट्रॉन्गली रेगुलर ग्राफ्स में अनुप्रयोग हैं। इस क्षेत्र में एक प्राथमिक चुनौती विशिष्ट भार वितरण (अर्थात, कम से कम अलग-अलग गैर-शून्य भारों की संख्या) वाले नए रैखिक कोडों के परिवारों का निर्माण करना और उनके मापदंडों (लंबाई, आयाम और न्यूनतम दूरी) का निर्धारण करना है। जबकि पिछले कार्यों में विशिष्ट बहुपद रूपों और ट्रेस फलनों (trace functions) पर आधारित डेफिनिंग सेट्स का उपयोग किया गया है, विशेष रूप से द्विपद वेइल सम (binomial Weil sums) के उन्नत मूल्यांकनों का लाभ उठाने वाले नए डेफिनिंग सेट्स की खोज की आवश्यकता है ताकि विविध भार संरचनाओं वाले कोड उत्पन्न किए जा सकें।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक परिमित क्षेत्र $\mathbb{F}_q$ पर दो अलग-अलग वर्गों के $p$-ary रैखिक कोडों का निर्माण करते हैं, जहाँ $q = p^e$, $p$ और $\ell$ अलग-अलग विषम अभाज्य संख्याएँ हैं, और $e = \phi(\ell^k)$ है। निर्माण 'डेफिनिंग-सेट दृष्टिकोण' पर आधारित है, जहाँ एक रैखिक कोड $C_D$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$$C_D = \{c(\gamma, \delta) = (\text{Tr}_1^e(\gamma x + \delta y))_{(x,y) \in D} : \gamma, \delta \in \mathbb{F}_q\}$$
यह शोध दो विशिष्ट डेफिनिंग सेट्स, $D_u$ और $D'$ की जांच करता है, जो एक विशिष्ट द्विपद वेइल सम संरचना को शामिल करके पिछले निर्माणों से भिन्न हैं।

1. डेफिनिंग सेट $D_u$: इसे $D_u = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : \text{Tr}_1^e(x + y^N) = u\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $N = \frac{q-1}{2\ell^k}$ और $u \in \mathbb{F}_p$ है।
2. डेफिनिंग सेट $D'$: इसे $D' = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : f(x) + \text{Tr}_1^e(y^N) = 0\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $f$ एक 'वीकली रेगुलर बेंट फंक्शन' (weakly regular bent function) है जो $\mathbb{F}_q$ से $\mathbb{F}_p$ तक जाता है और अपने ड्यूल (dual) पर विशिष्ट होमोजेनिटी स्थितियों को पूरा करता है।

मुख्य कार्यप्रणाली घातांकीय योगों (exponential sums), विशेष रूप से द्विपद वेइल सम $S_{2\ell^k}(a, b)$ और साइक्लोटोमिक क्षेत्रों पर संबंधित योगों के विस्तृत मूल्यांकन पर केंद्रित है। लेखक निम्नलिखित का उपयोग करते हैं:

• कैनोनिकल एडिटिव (additive) और क्वाड्रेटिक मल्टीप्लिकेटिव (multiplicative) कैरेक्टर्स के गुण।
• गेस सम (Gauss sums) और वेइल सम (Weil sums) के मूल्यांकन, जो चेंग, गाओ और शेन्ग के हालिया कार्यों से प्राप्त हैं।
• वीकली रेगुलर बेंट फंक्शन और उनके ड्यूल का सिद्धांत।
• ट्रेस स्थितियों को संभालने के लिए मल्टीप्लिकेटिव ग्रुप में तत्वों के क्रम के आधार पर इंडेक्स सेट्स का विभाजन।

विभिन्न $(\gamma, \delta)$ युग्मों के लिए डेफिनिंग समीकरणों के समाधानों की संख्या की गणना करके, लेखक कोडवर्ड्स के हैमिंग वेट (Hamming weights) और उनकी संगत आवृत्तियों को प्राप्त करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम
यह शोध $p, \ell, k,$ और $u$ पर विभिन्न स्थितियों के तहत निर्मित कोडों के मापदंडों और भार वितरण का पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करता है।

1. $D_u$ से प्राप्त कोड:

   • लेखक $u$ के मान और $\ell \pmod p$ की संगति के आधार पर पाँच अलग-अलग मामलों के लिए भार वितरण निर्धारित करते हैं।
   • परिणामी कोड दो, चार, या छह गैर-शून्य भार प्रदर्शित करते हैं।
   • विशेष रूप से, जब $u \neq 0$ हो और कुछ क्वाड्रेटिक नॉन-रेसिड्यू (quadratic non-residue) स्थितियाँ पूरी होती हों, तो यह निर्माण दो-भार (two-weight) रैखिक कोडों के एक अनंत परिवार को जन्म देता है।
   • विशिष्ट स्थितियों के तहत (जहाँ न्यूनतम और अधिकतम भार का अनुपात $\frac{p-1}{p}$ से अधिक होता है), इन कोडों को मिनिमल (minimal) सिद्ध किया गया है, जो उन्हें सीक्रेट शेयरिंग अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त बनाता है।

2. $D'$ से प्राप्त कोड:

   • एक वीकली रेगुलर बेंट फंक्शन $f$ को शामिल करके, लेखक अधिक जटिल भार संरचनाओं वाले कोड का निर्माण करते हैं।
   • $p \pmod 4$ की संगति और $\ell$ तथा $p$ के बीच संबंध के आधार पर, कोड छह, आठ, या नौ गैर-शून्य भार प्रदर्शित करते हैं।
   • भार वितरण को सभी मामलों के लिए स्पष्ट रूप से तालिकाबद्ध किया गया है, जिसमें $f$ के वॉल्श ट्रांसफॉर्म (Walsh transform) के चिह्न और क्वाड्रेटिक कैरेक्टर मूल्यांकनों से प्राप्त पद शामिल हैं।

3. इष्टतमता (Optimality):

   • एक महत्वपूर्ण परिणाम $D_u$ निर्माण से प्राप्त दो-भार इष्टतम (two-weight optimal) रैखिक कोडों के एक अनंत परिवार की पहचान करना है। ये कोड ग्रीस्मर बाउंड (Griesmer bound) को पूरा करते हैं, जो दिए गए आयाम और न्यूनतम दूरी के लिए एक रैखिक कोड की लंबाई पर एक मौलिक निचला बाउंड है।

महत्व
यह शोध निम्नलिखित क्षेत्रों में महत्व का दावा करता है:

• डेफिनिंग सेट्स की नवीनता: इस कार्य में उपयोग किए गए डेफिनिंग सेट्स एक नई द्विपद वेइल सम संरचना ($S_{2\ell^k}(a, b)$) पेश करते हैं, जो साहित्य में संक्षेपित पिछले निर्माणों (जैसे कि सरल ट्रेस फलनों या विशिष्ट पावर मैप्स का उपयोग करने वाले) से भिन्न है।
• भार वितरण की विविधता: यह कार्य कम भार वाले रैखिक कोडों के ज्ञात परिदृश्य का विस्तार करता है, जो 2, 4, 6, 8 और 9 गैर-शून्य भारों के लिए स्पष्ट निर्माण प्रदान करता है।
• इष्टतमता और मिनिमलिटी: ग्रीस्मर बाउंड को पूरा करने वाले इष्टतम दो-भार कोडों के एक अनंत परिवार का निर्माण एक उल्लेखनीय योगदान है। इसके अलावा, विशिष्ट स्थितियों के तहत मिनिमल कोडों की पहचान सीक्रेट शेयरिंग जैसे क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों में इनके उपयोग को सुदृढ़ करती है।
• कार्यप्रणाली की कठोरता: यह शोध वेइल सम और साइक्लोटोमिक फील्ड थ्योरी के कठोर अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है, जो भार वितरण निर्धारण की समस्या को हल करने के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनका कार्य पिछले तरीकों का सफलतापूर्वक सामान्यीकरण करता है और सैद्धांतिक अध्ययन एवं व्यावहारिक अनुप्रयोग दोनों के लिए वांछित गुणों वाले नए रैखिक कोडों का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करता है।