Weight distributions of two classes of linear codes with few weights derived from Weil sums

技术摘要：基于 Weil 和的两类线性码的重量分布

问题陈述
具有少重量（few weights）的线性码在编码理论中具有重要意义，其应用涵盖了秘密共享方案、身份验证码、关联方案以及强正则图。该领域的一个主要挑战在于构造具有特定重量分布（即具有少量不同非零重量）的新型线性码族，并确定其参数（长度、维数和最小距离）。虽然以往的研究利用基于迹函数（trace functions）和特定多项式形式的定义集来构造此类代码，但仍需探索新的定义集，以利用指数和（特别是二项式 Weil 和）的高级评估来生成具有多样化重量结构的码。

方法论
作者构造了两类不同的 $p$ 元线性码，定义在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上，其中 $q = p^e$，$p$ 和 $\ell$ 是互异的奇素数，且 $e = \phi(\ell^k)$。该构造依赖于定义集方法，其中线性码 $C_D$ 定义为：
$$C_D = \{c(\gamma, \delta) = (\text{Tr}_1^e(\gamma x + \delta y))_{(x,y) \in D} : \gamma, \delta \in \mathbb{F}_q\}$$
本文研究了两个特定的定义集 $D_u$ 和 $D'$，它们通过引入特定的二项式 Weil 和结构，区别于以往的构造。

1. 定义集 $D_u$： 定义为 $D_u = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : \text{Tr}_1^e(x + y^N) = u\}$，其中 $N = \frac{q-1}{2\ell^k}$ 且 $u \in \mathbb{F}_p$。
2. 定义集 $D'$： 定义为 $D' = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : f(x) + \text{Tr}_1^e(y^N) = 0\}$，其中 $f$ 是一个从 $\mathbb{F}_q$ 到 $\mathbb{F}_p$ 的弱正则弯函数（weakly regular bent function），其对偶函数满足特定的齐次性条件。

核心方法论涉及对指数和（特别是二项式 Weil 和 $S_{2\ell^k}(a, b)$）及相关分圆域上的和的详细评估。作者利用了：

• 规范加法特征和二次乘法特征的性质。
• 来自 Cheng、Gao 和 Sheng 近期研究成果的 Gauss 和与 Weil 和的评估。
• 弱正则弯函数及其对偶函数的理论。
• 基于元素在乘法群中阶数的索引集划分，以处理迹条件。

通过计算各种 $(\gamma, \delta)$ 对下定义方程的解的数量，作者推导出了码字的汉明重量及其对应的频率。

主要贡献与结果
论文在 $p, \ell, k$ 和 $u$ 的各种条件下，对构造的码的参数和重量分布进行了完整的表征。

1. 来自 $D_u$ 的码：

   • 作者根据 $u$ 的值和 $\ell$ 模 $p$ 的同余情况，确定了五种不同情况下的重量分布。
   • 生成的码表现出 两、四或六 个非零重量。
   • 特别地，当 $u \neq 0$ 且满足 certain 二次非剩余条件时，该构造产生了一个两重量线性码的无限族。
   • 在特定条件下（即最小重量与最大重量的比值超过 $\frac{p-1}{p}$ 时），这些码被证明是极小码（minimal codes），使其适用于秘密共享应用。

2. 来自 $D'$ 的码：

   • 通过引入弱正则弯函数 $f$，作者构造了具有更复杂重量结构的码。
   • 根据 $p$ 模 4 的同余关系以及 $\ell$ 与 $p$ 的关系，这些码被证明具有 六、八或九 个非零重量。
   • 所有情况下的重量分布都被明确列出，其中包含由 $f$ 的 Walsh 变换符号和二次特征评估项组成的项。

3. 最优性：

   • 一个重要的结果是，识别出了一个源自 $D_u$ 构造的两重量最优线性码的无限族。这些码达到了 Griesmer 界，这是给定线性码维数和最小距离时对长度的一个基本下界。

意义
本文声称在以下领域具有重要意义：

• 定义集的创新性： 本文使用的定义集引入了一种新的二项式 Weil 和结构（$S_{2\ell^k}(a, b)$），这与文献中总结的先前构造（例如使用简单迹函数或特定幂映射的构造）有所不同。
• 重量分布的多样性： 这项工作扩展了具有少重量线性码的已知领域，提供了具有 2、4、6、8 和 9 个非零重量的显式构造。
• 最优性与极小性： 构造出一个达到 Griesmer 界的最优两重量码的无限族是寻找高效纠错码的重要贡献。此外，在特定条件下对极小码的识别，强化了这些构造在秘密共享等密码学应用中的效用。
• 方法论的严谨性： 论文展示了应用 Weil 和与分圆域理论来解决重量分布确定问题的严谨过程，为分析类似的码构造提供了模板。

作者得出结论，其工作成功地推广了以往的方法，并为具有理想性质的（用于理论研究和实际应用）新线性码提供了丰富的来源。