Weight distributions of two classes of linear codes with few weights derived from Weil sums

Sintesi Tecnica: Distribuzioni di Peso di Due Classi di Codici Lineari Derivati da Somme di Weil

Definizione del Problema
I codici lineari con pochi pesi sono di grande interesse nella teoria dei codici a causa delle loro applicazioni negli schemi di condivisione del segreto, nei codici di autenticazione, negli schemi di associazione e nei grafi fortemente regolari. Una sfida primaria in questo campo è la costruzione di nuove famiglie di codici lineari con distribuzioni di peso specifiche (ovvero, un numero ridotto di pesi non nulli distinti) e la determinazione dei loro parametri (lunghezza, dimensione e distanza minima). Sebbene lavori precedenti abbiano utilizzato insiemi definitori basati su funzioni traccia e forme polinomiali specifiche per costruire tali codici, rimane la necessità di esplorare nuovi insiemi definitori che sfruttino valutazioni avanzate di somme esponenziali, in particolare le somme di Weil binomiali, per generare codici con strutture di peso diversificate.

Metodologia
Gli autori costruiscono due distinte classi di codici lineari $p$-ari su un campo finito $\mathbb{F}_q$, dove $q = p^e$, $p$ ed $\ell$ sono primi dispari distinti, ed $e = \phi(\ell^k)$. La costruzione si basa sull'approccio dell'insieme definitorio, in cui un codice lineare $C_D$ è definito come:
$$C_D = \{c(\gamma, \delta) = (\text{Tr}_1^e(\gamma x + \delta y))_{(x,y) \in D} : \gamma, \delta \in \mathbb{F}_q\}$$
Il documento investiga due insiemi definitori specifici, $D_u$ e $D'$, che differiscono dalle costruzioni precedenti incorporando una specifica struttura di somma di Weil binomiale.

1. Insieme Definitorio $D_u$: Definito come $D_u = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : \text{Tr}_1^e(x + y^N) = u\}$, dove $N = \frac{q-1}{2\ell^k}$ e $u \in \mathbb{F}_p$.
2. Insieme Definitorio $D'$: Definito come $D' = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : f(x) + \text{Tr}_1^e(y^N) = 0\}$, dove $f$ è una funzione bent de tipo weakly regular da $\mathbb{F}_q$ a $\mathbb{F}_p$ che soddisfa specifiche condizioni di omogeneità sulla sua duale.

La metodologia centrale prevede la valutazione dettagliata delle somme esponenziali, specificamente la somma di Weil binomiale $S_{2\ell^k}(a, b)$ e somme correlate su campi ciclotomici. Gli autori utilizzano:

• Proprietà di caratteri additivi e moltiplicativi quadratici canonici.
• Valutazioni di somme di Gauss e di Weil derivate dai recenti lavori di Cheng, Gao e Sheng.
• La teoria delle funzioni bent weakly regular e delle loro duali.
• La partizione degli insiemi di indice basata sull'ordine degli elementi nel gruppo moltiplicativo per gestire le condizioni di traccia.

Calcolando il numero di soluzioni per le equazioni definitorie per varie coppie $(\gamma, \delta)$, gli autori derivano i pesi di Hamming dei codici e le loro corrispondenti frequenze.

Contributi Chiave e Risultati
Il documento fornisce una caratterizzazione completa dei parametri e delle distribuzioni di peso per i codici costruiti sotto varie condizioni su $p$, $\ell$, $k$ e $u$.

1. Codici da $D_u$:

   • Gli autori determinano le distribuzioni di peso per cinque casi distinti basati sul valore di $u$ e sulla congruenza di $\ell$ modulo $p$.
   • I codici risultanti esibiscono due, quattro o sei pesi non nulli.
   • Nello specifico, quando $u \neq 0$ e sono soddisfatte determinate condizioni di non residuo quadratico, la costruzione produce una famiglia infinita di codici lineari a due pesi.
   • Sotto specifiche condizioni (dove il rapporto tra il peso minimo e quello massimo supera $\frac{p-1}{p}$), questi codici sono dimostrati essere minimali, rendendoli adatti per applicazioni di condivisione del segreto.

2. Codici da $D'$:

   • Incorporando una funzione bent weakly regular $f$, gli autori costruiscono codici con strutture di peso più complesse.
   • A seconda della congruenza di $p$ modulo 4 e della relazione tra $\ell$ e $p$, si dimostra che i codici hanno sei, otto o nove pesi non nulli.
   • Le distribuzioni di peso sono esplicitamente tabulate per tutti i casi, coinvolgendo termini derivati dal segno della trasformata di Walsh di $f$ e dalle valutazioni del carattere quadratico.

3. Ottimalità:

   • Un risultato significativo è l'identificazione di una famiglia infinita di codici lineari a due pesi ottimali derivati dalla costruzione $D_u$. Questi codici soddisfano il limite di Griesmer, un limite inferiore fondamentale sulla lunghezza di un codice lineare data la sua dimensione e la sua distanza minima.

Significatività
Il documento rivendica significatività nelle seguenti aree:

• Novità degli Insiemi Definitori: Gli insiemi definitori utilizzati in questo lavoro introducono una nuova struttura di somma di Weil binomiale ($S_{2\ell^k}(a, b)$) che differisce dalle precedenti costruzioni riassunte nella letteratura (ad esempio, quelle che utilizzano semplici funzioni traccia o specifiche mappe di potenza).
• Diversità delle Distribuzioni di Peso: Il lavoro espande il panorama noto dei codici lineari con pochi pesi, fornendo costruzioni esplicite per codici con 2, 4, 6, 8 e 9 pesi non nulli.
• Ottimalità e Minimalità: La costruzione di una famiglia infinita di codici a due pesi ottimali che soddisfano il limite di Griesmer è un contributo notevole alla ricerca di codici correttori di errori efficienti. Inoltre, l'identificazione di codici minimali sotto specifiche condizioni rafforza l'utilità di queste costruzioni in applicazioni crittografiche come la condivisione del segreto.
• Rigore Metodologico: Il documento dimostra un'applicazione rigorosa delle somme di Weil e della teoria dei campi ciclotomici per risolvere il problema della determinazione della distribuzione del peso, offrendo un modello per l'analisi di simili costruzioni di codici.

Gli autori concludono che il loro lavoro riesce a generalizzare i metodi precedenti e fornisce una ricca fonte di nuovi codici lineari con proprietà desiderabili sia per lo studio teorico che per l'applicazione pratica.