Weight distributions of two classes of linear codes with few weights derived from Weil sums

技術要約：ヴェイル和（Weil sums）から導出される2種類の線形符号の重み分布

問題提起
少数の重みを持つ線形符号は、秘密分散法、認証コード、結合スキーム、および強正則グラフへの応用から、符号理論において極めて重要な関心を集めている。この分野における主要な課題は、新しい定義集合を用いて、特定の重み構造（すなわち、少数の異なる非ゼロ重み）を持つ新しい線形符号の族を構築し、そのパラメータ（長さ、次元、および最小距離）を決定することである。これまでの研究では、トレース関数や特定の多項式形式に基づいた定義集合を利用して符号を構築してきたが、多様な重み構造を生成するために、高度な指数和（特に二項ヴェイル和）の評価を活用した新しい定義集合を探求する必要性が残されている。

手法
著者らは、有限体 $\mathbb{F}_q$（ここで $q = p^e$、$p$ および $\ell$ は異なる奇素数、$e = \phi(\ell^k)$）上の2つの異なる $p$ 称線形符号を構築する。この構築は、定義集合アプローチに基づいており、線形符号 $C_D$ は次のように定義される：
$$C_D = \{c(\gamma, \delta) = (\text{Tr}_1^e(\gamma x + \delta y))_{(x,y) \in D} : \gamma, \delta \in \mathbb{F}_q\}$$
本論文では、先行研究の構成とは異なり、特定の二項ヴェイル和の構造を組み込んだ、2つの特定の定義集合 $D_u$ および $D'$ を調査している。

1. 定義集合 $D_u$: $D_u = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : \text{Tr}_1^e(x + y^N) = u\}$ と定義される。ここで $N = \frac{q-1}{2\ell^k}$ であり、$u \in \mathbb{F}_p$ である。
2. 定義集合 $D'$: $D' = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : f(x) + \text{Tr}_1^e(y^N) = 0\}$ と定義される。ここで $f$ は、その双対に関する特定の同次条件を満たす、$\mathbb{F}_q$ から $\mathbb{F}_p$ への弱正則ベント関数（weakly regular bent function）である。

中心となる手法は、二項ヴェイル和 $S_{2\ell^k}(a, b)$ および関連する円分体上の指数和の詳細な評価である。著者らは以下を活用している：

• 標準的な加法的および二次乗法的文字の性質。
• Cheng、Gao、および Sheng による最近の研究に基づくガウス和およびヴェイル和の評価。
• 弱正則ベント関数とその双対の理論。
• トレース条件を処理するための、乗法群における要素の位数に基づくインデックス集合の分割。

様々なペア $(\gamma, \delta)$ に対して定義方程式の解の数を計算することにより、著者らは符号語のハミング重みとその対応する頻度を導出している。

主な貢献と結果
本論文は、$p, \ell, k, u$ の各種条件の下での、構築された符号のパラメータと重み分布の完全な特性付けを提供している。

1. $D_u$ からの符号:

   • 著者らは、$u$ の値および $\ell \pmod p$ の合同関係に基づき、5つの異なるケースについて重み分布を決定している。
   • 得られる符号は、2つ、4つ、または6つの非ゼロ重みを示す。
   • 特に、$u \neq 0$ かつ特定の二次非剰余条件が満たされる場合、この構築は**2重重み（two-weight）**線形符号の無限族を生成する。
   • 特定の条件（最小重みと最大重みの比が $\frac{p-1}{p}$ を超える場合）の下で、これらの符号は**極小（minimal）**であることが証明されており、秘密分散法の用途に適している。

2. $D'$ からの符号:

   • 弱正則ベント関数 $f$ を組み込むことにより、著者らはより複雑な重み構造を持つ符号を構築している。
   • $p \pmod 4$ の合同関係および $\ell$ と $p$ の関係に応じて、これらの符号は6つ、8つ、または9つの非ゼロ重みを持つことが示される。
   • 重み分布は、$f$ のウォルシュ変換の符号および二次文字の評価に由来する項を含め、すべてのケースについて明示的に表形式で示されている。

3. 最適性:

   • 重要な結果として、$D_u$ の構築から得られる、**2重重み最適（two-weight optimal）な線形符号の無限族の特定が挙げられる。これらの符号は、与えられた次元と最小距離に対する線形符号の基本的な下界であるグリースマー界（Griesmer bound）**を満たしている。

意義
本論文は、以下の領域において重要性を主張している：

• 定義集合の新規性: 本研究で使用されている定義集合は、従来の文献（例：単純なトレース関数や特定の冪写像を用いたもの）に示されているものとは異なる、新しい二項ヴェイル和（$S_{2\ell^k}(a, b)$）の構造を導入している。
• 重み分布の多様性: 本研究は、2、4、6、8、および9つの非ゼロ重みを持つ符号の明示的な構成を提供することで、少数の重みを持つ線形符号の既知の領域を拡大している。
• 最適性と極小性: グリースマー界を満たす最適な2重重み符号の無限族の構築は、効率的な誤り訂正符号の探索における注目すべき貢献である。さらに、特定の条件下での極小符号の特定は、秘密分散法のような暗号学的応用におけるこれらの構築の有用性を強化している。
• 手法の厳密性: 本論文は、重み分布決定の問題を解決するために、ヴェイル和と円分体論を厳密に適用しており、同様の符号構築を分析するためのテンプレートを提供している。

著者らは、彼らの研究が従来の手法を成功裏に一般化し、理論的研究および実用的な応用の両方にとって望ましい特性を持つ、新しい線形符号の豊かなソースを提供していると結論付けている。