Weight distributions of two classes of linear codes with few weights derived from Weil sums

Resumen Técnico: Distribuciones de Peso de Dos Clases de Códigos Lineales Derivados de Sumas de Weil

Planteamiento del Probleo
Los códigos lineales con pocos pesos son de gran interés en la teoría de códigos debido a sus aplicaciones en esquemas de intercambio de secretos, códigos de autenticación, esquemas de asociación y grafos fuertemente regulares. Un desafío primordial en este campo es la construcción de nuevas familias de códigos lineales con distribuciones de peso específicas (es decir, un número pequeño de pesos no nulos distintos) y la determinación de sus parámetros (longitud, dimensión y distancia mínima). Si bien trabajos previos han utilizado conjuntos definidores basados en funciones de traza y formas polinómicas específicas para construir tales códigos, persiste la necesidad de explorar nuevos conjuntos definidores que aprovechen evaluaciones avanzadas de sumas exponenciales, particularmente las sumas de Weil binomiales, para generar códigos con estructuras de peso diversas.

Metodología
Los autores construyen dos clases distintas de códigos lineales $p$-arios sobre un cuerpo finito $\mathbb{F}_q$, donde $q = p^e$, $p$ y $\ell$ son primos impares distintos, y $e = \phi(\ell^k)$. La construcción se basa en el enfoque de conjunto definidor, donde un código lineal $C_D$ se define como:
$$C_D = \{c(\gamma, \delta) = (\text{Tr}_1^e(\gamma x + \delta y))_{(x,y) \in D} : \gamma, \delta \in \mathbb{F}_q\}$$
El artículo investiga dos conjuntos definidores específicos, $D_u$ y $D'$, que difieren de las construcciones previas al incorporar una estructura específica de suma de Weil binomial.

1. Conjunto Definidor $D_u$: Definido como $D_u = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : \text{Tr}_1^e(x + y^N) = u\}$, donde $N = \frac{q-1}{2\ell^k}$ y $u \in \mathbb{F}_p$.
2. Conjunto Definidor $D'$: Definido como $D' = \{(x, y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\} : f(x) + \text{Tr}_1^e(y^N) = 0\}$, donde $f$ es una función bent débilmente regular de $\mathbb{F}_q$ a $\mathbb{F}_p$ que satisface condiciones de homogeneidad específicas en su dual.

La metodología central implica la evaluación detallada de sumas exponenciales, específicamente la suma de Weil binomial $S_{2\ell^k}(a, b)$ y sumas relacionadas sobre cuerpos ciclotómicos. Los autores utilizan:

• Propiedades de los caracteres aditivos y multiplicativos cuadráticos canónicos.
• Evaluaciones de sumas de Gauss y de Weil derivadas de trabajos recientes de Cheng, Gao y Sheng.
• La teoría de funciones bent débilmente regulares y sus duales.
• La partición de conjuntos de índices basada en el orden de los elementos en el grupo multiplicativo para manejar las condiciones de traza.

Al calcular el número de soluciones para las ecuaciones definidoras para varios pares $(\gamma, \delta)$, los autores derivan los pesos de Hamming de los codewords y sus frecuencias correspondientes.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona una caracterización completa de los parámetros y las distribuciones de peso para los códigos construidos bajo diversas condiciones de $p$, $\ell$, $k$ y $u$.

1. Códigos de $D_u$:

   • Los autores determinan las distribuciones de peso para cinco casos distintos basados en el valor de $u$ y la congruencia de $\ell$ módulo $p$.
   • Los códigos resultantes exhiben dos, cuatro o seis pesos no nulos.
   • Específicamente, cuando $u \neq 0$ y se cumplen ciertas condiciones de no residuo cuadrático, la construcción produce una familia infinita de códigos lineales de dos pesos.
   • Bajo condiciones específicas (donde la relación entre el peso mínimo y el máximo supera $\frac{p-1}{p}$), se demuestra que estos códigos son minimales, lo que los hace adecuados para aplicaciones de intercambio de secretos.

2. Códigos de $D'$:

   • Al incorporar una función bent débilmente regular $f$, los autores construyen códigos con estructuras de peso más complejas.
   • Dependiendo de la congruencia de $p$ módulo 4 y la relación entre $\ell$ y $p$, se muestra que los códigos tienen seis, ocho o nueve pesos no nulos.
   • Las distribuciones de peso están tabuladas explícitamente para todos los casos, involucrando términos derivados del signo de la transformada de Walsh de $f$ y evaluaciones de caracteres cuadráticos.

3. Optimalidad:

   • Un resultado significativo es la identificación de una familia infinita de códigos lineales de dos pesos óptimos derivados de la construcción $D_u$. Estos códigos cumplen con la cota de Griesmer, un límite inferior fundamental sobre la longitud de un código lineal dada su dimensión y distancia mínima.

Significancia
El artículo reclama significancia en las siguientes áreas:

• Novedad de los Conjuntos Definidores: Los conjuntos definidores utilizados en este trabajo introducen una nueva estructura de suma de Weil binomial ($S_{2\ell^k}(a, b)$) que difiere de las construcciones previas resumidas en la literatura (por ejemplo, aquellas que utilizan funciones de traza simples o mapas de potencia específicos).
• Diversidad de Distribuciones de Peso: El trabajo expande el panorama conocido de los códigos lineales con pocos pesos, proporcionando construcciones explícitas para códigos con 2, 4, 6, 8 y 9 pesos no nulos.
• Optimalidad y Minimalidad: La construcción de una familia infinita de códigos de dos pesos óptimos que cumplen la cota de Griesmer es una contribución notable en la búsqueda de códigos de corrección de errores eficientes. Además, la identificación de códigos minimales bajo condiciones específicas refuerza la utilidad de estas construcciones en aplicaciones criptográficas como el intercambio de secretos.
• Rigor Metodológico: El artículo demuestra una aplicación rigurosa de las sumas de Weil y la teoría de cuerpos ciclotómicos para resolver el problema de la determinación de la distribución de peso, ofreciendo un modelo para analizar construcciones de códigos similares.

Los autores concluyen que su trabajo logra generalizar los métodos previos y proporciona una fuente rica de nuevos códigos lineales con propiedades deseables tanto para el estudio teórico como para la aplicación práctica.