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Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

यह शोध पत्र एक निर्माता और एक रिटेलर के बीच सीमित-क्षितिज (फाइनाइट-होराइजन) गतिशील थोक मूल्य निर्धारण खेल का विश्लेषण करता है जो सेंसर की गई मांग का सामना कर रहे हैं, मार्कोव परफेक्ट इक्विलिब्रिया (मार्कोव पूर्ण साम्य) को स्पष्ट करता है और यह प्रदर्शित करता है कि वेइबुल (Weibull) और एक्सपोनेंशियल (exponential) मांग वितरणों के लिए, रणनीतिक शिक्षण समस्या को कुशल, गणनीय पुनरावृत्तियों (कंप्यूटेबल रिकर्शन) में कम किया जा सकता है।

मूल लेखक: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

प्रकाशित 2026-03-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक नींबू पानी का स्टाल (रिटेलर) चला रहे हैं और आप अपने नींबू एक बड़े खेत (मैन्युफैक्चरर) से खरीदते हैं। आपको ठीक-ठीक नहीं पता कि कल कितने लोग नींबू पानी पीना चाहेंगे। कभी बहुत गर्मी होती है, तो कभी बारिश होती है।

वास्तविक दुनिया में, आप केवल यह जानते हैं कि आपने कितने कप बेचे। यदि आपके पास नींबू पानी खत्म हो जाता है और कोई ग्राहक खाली हाथ चला जाता है, तो आपको कभी पता नहीं चलता कि वास्तव में कितने लोग नींबू पानी चाहते थे। इसे सेंसर्ड डिमांड (Censored Demand) कहा जाता है—यह वास्तविकता की एक आंशिक तस्वीर है।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि कैसे किसान और नींबू पानी के स्टाल का मालिक सर्वोत्तम कीमतें और उत्पादन की मात्रा तय करते हैं, भले ही वे दोनों अधूरी जानकारी के आधार पर भविष्य के बारे में अनुमान लगा रहे हों।

यहाँ उनकी साझेदारी की कहानी है, जिसे सरल रूप में समझाया गया है:

1. सेटअप: अनुमान और मूल्य निर्धारण का एक खेल

हर दिन, खेल इस प्रकार चलता है:

किसान नींबू के एक क्रेट (डिब्बे) की कीमत (थोक मूल्य/Wholesale Price) तय करता है।
नींबू पानी का स्टाल उस कीमत को देखता है और निर्णय लेता है कि कितने क्रेट ऑर्डर करने हैं।
ग्राहक आते हैं। वे जितना हो सके उतना खरीदते हैं।
परिणाम:
- यदि वे सब कुछ बेच देते हैं, तो स्टाल मालिक सोचता है, "वाह, मांग बहुत अधिक थी!" (लेकिन वे यह नहीं जानते कि कितनी अधिक थी)।
- यदि उनके पास कुछ बचा रह जाता है, तो उन्हें ठीक-ठीक पता होता है कि मांग कितनी थी।
सीखना: किसान और स्टाल मालिक दोनों बिक्री पर नज़र रखते हैं। वे मांग के बारे में अपने "अनुमान" को अपडेट करते हैं। वे इस नई जानकारी को एक-दूसरे के साथ साझा करते हैं।

2. समस्या: खोई हुई बिक्री का "ब्लैक बॉक्स"

जटिल हिस्सा यह है कि जब हमारे पास स्टॉक खत्म हो जाता है, तो हम डेटा खो देते हैं। यह केवल धूप वाले समय में आकाश को देखकर मौसम को समझने की कोशिश करने जैसा है। यदि बारिश होती है, तो आप बादलों को नहीं देखते; आप बस यह देखते हैं कि आप भीग गए।

चूंकि वे दोनों एक साथ सीख रहे हैं, इसलिए उनके निर्णय एक नृत्य की तरह हैं।

यदि किसान कीमत बढ़ाता है, तो स्टाल मालिक कम ऑर्डर करता है।
यदि स्टाल मालिक कम ऑर्डर करता है, तो इसकी संभावना अधिक है कि वे स्टॉक खत्म कर देंगे।
यदि उनके पास स्टॉक खत्म हो जाता है, तो किसान वास्तविक मांग के बारे में कम सीख पाता है, जिससे भविष्य के अनुमान लगाना कठिन हो जाता है।

शोध पत्र पूछता है: क्या दोनों के लिए पालन करने के लिए एक आदर्श रणनीति है, जिससे वे अपने लाभ को अधिकतम कर सकें, यह जानते हुए कि वे जैसे-जैसे सीख रहे हैं, वे आगे बढ़ रहे हैं?

3. समाधान: "स्वीट स्पॉट" (संतुलन) खोजना

लेखकों ने इस जटिल पहेली को हल करने का एक तरीका खोजा है। वे इसे मार्कोव परफेक्ट इक्विलिब्रियम (Markov Perfect Equilibrium) कहते हैं। इसे एक "नियम पुस्तिका" के रूप में समझें जो किसान और स्टाल मालिक को बताती है कि वे अभी जो कुछ भी जानते हैं (मांग के बारे में उनकी वर्तमान धारणा) के आधार पर क्या करें, बिना अतीत के हर एक विवरण को याद किए।

उन्होंने दो मुख्य परिदृश्य खोजे:

परिदृश्य A: "वेबुल" (Weibull) नींबू पानी (जटिल मामला)

कल्पना कीजिए कि नींबू पानी की मांग एक विशिष्ट, थोड़ी जटिल वक्र (curve) का पालन करती है (जैसे कि एक घटी हुई बेल कर्व)।

जादुई ट्रिक: लेखकों ने महसूस किया कि भले ही गणित डरावना दिखता है, वे इस समस्या को "स्केल" (scale) कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि आपके पास दुनिया का एक विशाल मानचित्र है। हर शहर की दूरी की गणना करने के बजाय, आप महसूस करते हैं कि यदि आप एक शहर की दूरी और मानचित्र के आकार को जानते हैं, तो आप बाकी सब कुछ जान सकते हैं।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि किसान की कीमत वास्तव में इस पर निर्भर नहीं करती कि मांग कितनी है (स्केल), बल्कि इस पर निर्भर करती है कि वे मांग के आकार के बारे में कितने निश्चित हैं (अनिश्चितता)। यह गणित को बहुत सरल बना देता है, जिससे एक विशाल, असंभव गणना एक सरल, चरण-दर-चरण रेसिपी में बदल जाती है।

परिदृश्य B: "एक्सपोनेंशियल" (Exponential) नींबू पानी (सरल मामला)

कल्पना कीजिए कि मांग बहुत सीधी है (जैसे कि नीचे गिरती हुई एक सीधी रेखा)।

परिणाम: इस मामले में, केवल एक ही पूर्ण रणनीति है। यह अद्वितीय है। लेखकों ने दिखाया कि आप सीजन के अंतिम दिन से पहले दिन तक पीछे की ओर काम करके सटीक कीमत और ऑर्डर की मात्रा की गणना कर सकते हैं। यह एक भूलभुलैया को सुलझाने जैसा है जहाँ आप निकास द्वार से शुरू करते हैं और प्रवेश द्वार की ओर पीछे चलते हैं।

4. यह वास्तविक दुनिया में क्यों मायने रखता है

यह केवल नींबू के बारे में नहीं है। इसके बारे में सोचें:

वॉलमार्ट और उसके सप्लायर: वॉलमार्ट अपने निर्माताओं के साथ रीयल-टाइम बिक्री डेटा साझा करता है। यदि कोई उत्पाद बिक जाता है, तो निर्माता "0 इन्वेंटरी" देखता है लेकिन यह नहीं जानता कि 10 लोगों ने इसे मांगा था या 1,000।
फैशन ब्रांड: एक नई शर्ट एक घंटे में बिक जाती है। क्या 50 लोगों ने इसे मांगा था, या 5,000 ने? ब्रांड और सप्लायर को उस "सेल-आउट" संकेत के आधार पर अगले ऑर्डर का अनुमान लगाना होता है।

मुख्य निष्कर्ष:
यह शोध पत्र हमें सिखाता है कि एक ऐसी साझेदारी में जहाँ दोनों पक्ष एक ही अपूर्ण डेटा से सीख रहे हैं:

साझा सीखना शक्तिशाली है: भले ही डेटा गायब हो, यदि दोनों पक्ष अपनी धारणाओं को एक साथ अपडेट करते हैं, तो वे एक स्थिर, लाभदायक लय पा सकते हैं।
सरलता की जीत होती है: भले ही दुनिया जटिल हो, सर्वोत्तम मूल्य निर्धारण रणनीति अक्सर कुछ प्रमुख संख्याओं (हम मांग के बारे में कितने निश्चित हैं) पर निर्भर करती है, न कि अतीत के हर विवरण पर।
किसान का रहस्य: किसान (निर्माता) ऐसी कीमत निर्धारित कर सकता है जो बाजार के आकार को अनदेखा करती है और केवल अनिश्चितता पर ध्यान केंद्रित करती है। स्टाल मालिक (रिटेलर) फिर उस कीमत और बाजार के आकार के आधार पर अपना ऑर्डर आकार समायोजित करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र व्यवसायों को अनिश्चित मांग के कोहरे में नेविगेट करने के लिए एक गणितीय "जीपीएस" प्रदान करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि वे बहुत कम ऑर्डर न करें (और बिक्री न खोएं) या बहुत अधिक न करें (और पैसा बर्बाद न करें), भले ही वे पूरी तस्वीर न देख पा रहे हों।

यहाँ डेलिगियानिस, स्कार्सिनी और वेनेल के शोध पत्र "Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र एक सीमित-क्षितिज गतिशील स्टैकलबर्ग गेम (finite-horizon dynamic Stackelberg game) की जांच करता है, जो एक निर्माता (लीडर) और एक रिटेलर (फॉलोअर) के बीच सेंसरयुक्त मांग (censored demand) की स्थितियों में संचालित होता है।

सेटिंग: दोनों पक्ष $T$ अवधियों (periods) में एक थोक-मूल्य अनुबंध (wholesale-price contract) में संलग्न होते हैं। प्रत्येक अवधि में, निर्माता एक थोक मूल्य $w_t$ निर्धारित करता है, और रिटेलर एक ऑर्डर मात्रा $q_t$ चुनता है।
सेंसरिंग (Censoring): वास्तविक मांग $D_t$ अज्ञात रहती है। केवल बिक्री $S_t = \min(q_t, D_t)$ ही देखी जा सकती है। यदि स्टॉकआउट होता है ( $D_t > q_t$ ), तो अनमेट डिमांड (unmet demand) लुप्त हो जाती है और अज्ञात रहती है। यह एक "सेंसरयुक्त" डेटासेट बनाता है जहाँ ऑर्डर मात्रा को ध्यान में रखे बिना वास्तविक मांग के वितरण का सीधे अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
लर्निंग (Learning): दोनों पक्ष एक ही बिक्री डेटा (सार्वजनिक सूचना) साझा करते हैं। वे अज्ञात मांग पैरामीटर $\Theta$ के बारे में एक सामान्य बेयसियन पोस्टीरियर बिलीफ (Bayesian posterior belief) को अपडेट करते हैं।
मांग संरचना: मांग न्यूसवेंडर वितरण परिवार (Newsvendor distribution family) (ब्रैडेन और फ्रीमर, 1991) का अनुसरण करती है, जिसे सर्वाइवल फंक्शन $1 - e^{-\theta \ell(y)}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $\Theta$ के लिए प्रायर डिस्ट्रीब्यूशन हाइपरपैरामीटर्स $(a, b)$ के साथ एक कंजुगेट गामा (Gamma) वितरण है।
उद्देश्य: एक मार्कोव परफेक्ट इक्विलिब्रियम (Markov Perfect Equilibrium - MPE) को अभिलक्षित (characterize) करना, जहाँ रणनीतियाँ केवल वर्तमान सार्वजनिक बिलीफ स्टेट (हाइपरपैरामीटर्स) और समय पर निर्भर करती हैं, न कि खेल के संपूर्ण इतिहास पर।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक गेम-थ्योरेटिक ढांचे के भीतर डायनेमिक प्रोग्रामिंग (DP) और बेयसियन लर्निंग तकनीकों का उपयोग करते हैं।

स्टेट वेरिएबल (State Variable): खेल की स्थिति को पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन के हाइपरपैरामीटर्स $(a_t, b_t)$ $(a_{t}, b_{t})$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
- $a_t$ (shape) केवल तब 1 से बढ़ता है जब एक अनसेन्सरड डिमांड ऑब्जर्वेशन होता है ( $S_t < q_t$ )।
- $b_t$ (rate) प्रत्येक अवधि में $\ell(S_t)$ से बढ़ता है।
समाधान अवधारणा (Solution Concept): लेखक एक मार्कोव परफेक्ट इक्विलिब्रियम (MPE) की तलाश करते हैं, जो बैकवर्ड इंडक्शन (backward induction) वाले वैल्यू फंक्शन्स $V^M$ (निर्माता के लिए) और $V^R$ (रिटेलर के लिए) द्वारा परिभाषित होता है।
डायमेंशनलिटी रिडक्शन (Dimensionality Reduction): एक मुख्य पद्धतिगत चुनौती यह है कि स्टेट स्पेस $(a_t, b_t)$ $(a_{t}, b_{t})$ द्वि-आयामी है और जटिल होता जाता है। लेखक इस रणनीतिक सेटिंग में स्केलिंग दृष्टिकोण (scaling approach) (मूल रूप से एकल-एजेंट समस्याओं के लिए लारिविएरे और पोर्टियस, 1999 द्वारा विकसित) का विस्तार करते हैं।
- वे एक स्टैंडर्डाइज्ड मार्कोव परफेक्ट सॉल्यूशन (SMPS) का निर्माण करते हैं जहाँ रेट पैरामीटर $b$ को 1 के रूप में नॉर्मलाइज़ किया जाता है।
- वे सिद्ध करते हैं कि मूल खेल का इक्विलिब्रियम $b^{1/k}$ (जहाँ $k$ एक वेइबुल शेप पैरामीटर है) के शामिल स्केलिंग ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से स्टैंडर्डाइज्ड सॉल्यूशन से प्राप्त किया जा सकता है।
विशिष्ट मामले:
- वेइबुल डिमांड (Weibull Demand): $\ell(y) = y^k$ । शोध पत्र डायमेंशनलिटी रिडक्शन तकनीक का उपयोग करके MPE के अस्तित्व को सिद्ध करता है।
- एक्सपोनेंशियल डिमांड (Exponential Demand): $\ell(y) = y$ (वेइबुल का एक विशेष मामला जहाँ $k=1$ है)। शोध पत्र इसकी विशिष्टता (uniqueness) को सिद्ध करता है और एक क्लोज्ड-फॉर्म रिकर्सिव कैरेक्टराइजेशन प्रदान करता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

सेंसरयुक्त डेटा के साथ रणनीतिक लर्निंग: यह शोध पत्र सप्लाई चेन कॉन्ट्रैक्टिंग और सेंसरयुक्त-मांग लर्निंग के बीच के अंतर को पाटता है। पिछले साहित्य के विपरीत जहाँ लर्निंग अक्सर एक्सोजेनस या एकल-एजेंट होती है, इस मॉडल में रणनीतिक अंतःक्रिया (strategic interaction) है जहाँ रिटेलर का ऑर्डर निर्णय (जो सेंसरिंग का कारण बनता है) दोनों पक्षों के लिए उपलब्ध सूचना को सीधे प्रभावित करता है।
रणनीतिक सेटिंग्स में MPE का अस्तित्व: लेखक दो-स्तरीय सप्लाई चेन में वेइबुल डिमांड के लिए M-P-E के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं। यह एक रणनीतिक (बहु-एजेंट) न्यूसवेंडर संदर्भ में अस्तित्व सिद्ध करने के लिए डायमेंशनलिटी-रिडक्शन तकनीक का पहला अनुप्रयोग है।
एक्सपोनेंशियल डिमांड के लिए विशिष्टता और गणना योग्यता: एक्सपोनेंशियल मामले के लिए, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि MPE अद्वितीय (unique) है। इसके अलावा, वे दिखाते हैं कि इक्विलिब्रियम को एक सरल बैकवर्ड रिकर्सन के माध्यम से कंप्यूट किया जा सकता है, जिससे हर चरण में जटिल ऑप्टिमाइजेशन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता नहीं होती, जो कम्प्यूटेशनल जटिलता को काफी कम कर देता है।
मूल्य निर्धारण पर संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: एक प्रति-सहज (counter-intuitive) निष्कर्ष यह है कि इक्विलिब्रियम में, निर्माता का थोक मूल्य केवल शेप पैरामीटर $a$ (अनसेन्सरड ऑब्जर्वेशन की संख्या) और समय पर निर्भर करता है, लेकिन रेट पैरामीटर $b$ (जो मांग के परिमाण को स्केल करता है) से स्वतंत्र रहता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. डायमेंशनलिटी रिडक्शन और अस्तित्व (वेइबुल डिमांड)

थ्योरम 4.2: स्थापित करता है कि यदि स्टैंडर्डाइज्ड समस्या (जहाँ $b=1$ ) के लिए समाधान मौजूद है, तो मूल समस्या के लिए एक MPE मौजूद है।
स्केलिंग संबंध: मूल खेल में इक्विलिब्रियम थोक मूल्य $w^*_t(a, b)$ , स्टैंडर्डाइज्ड प्राइस $w^*_t(a)$ के समान है। ऑर्डर मात्रा $q^*_t(a, b) = b^{1/k} \tilde{q}^*_t(a)$ के रूप में स्केल होती है।
निहितार्थ: निर्माता को मांग के स्केल ( $b$ ) के आधार पर कीमतों को समायोजित करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल अपने विश्वास की परिशुद्धता (डिमांड शेप के संबंध में $a$ ) के आधार पर बदलाव करने की आवश्यकता है। हालांकि, रिटेलर की ऑर्डर मात्रा और दोनों पक्षों का लाभ मांग के परिमाण के साथ स्केल होता है।

B. MPE का लक्षण वर्णन (एक्सपोनेंशियल डिमांड)

थ्योरम 5.1: एक्सपोनेंशियल डिमांड ( $k=1$ ) के लिए, M-P-E अद्वितीय है।
रिकर्सिव फॉर्मूला: इक्विलिब्रियम रणनीतियाँ स्पष्ट सूत्रों द्वारा दी गई हैं:
- रिटेलर का ऑर्डर: $\tilde{q}^*_t(a, w) = \max\left( \left( \frac{p + \Delta V^R}{w} \right)^{1/a} - 1, 0 \right)$ , जहाँ $\Delta V^R$ भविष्य की लर्निंग का मूल्य दर्शाता है।
- निर्माता का मूल्य: एक फर्स्ट-ऑर्डर कंडीशन द्वारा निर्धारित होता है जो तत्काल मार्जिन और सूचना सृजन के मूल्य के बीच संतुलन बनाता है।
कम्प्यूटेशनल दक्षता: समाधान के लिए केवल स्केलर स्टेट $a$ पर बैकवर्ड रिकर्सन की आवश्यकता होती है, जिससे निरंतर $b$ पैरामीटर से जुड़ी 'कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी' (curse of dimensionality) से बचा जा सकता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

परिचालन अंतर्दृष्टि (Operational Insight): परिणाम बताते हैं कि सेंसरयुक्त डेटा वाले अस्थिर बाजारों में, निर्माता अपनी मूल्य निर्धारण नीतियों को सरल बना सकते हैं। उन्हें बिक्री के पूर्ण वॉल्यूम (स्केल) के आधार पर कीमतों को लगातार अनुकूलित करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि उन्हें मांग के आकार (shape) के संबंध में विश्वास की आवृत्ति (frequency of stockouts) पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए।
डेटा शेयरिंग: यह मॉडल वॉलमार्ट के ल्युमिनेट (Luminate) जैसे प्लेटफॉर्म के मूल्य को मान्य करता है, जहाँ साझा पीओएस (POS) डेटा दोनों पक्षों को एक ही सेंसरयुक्त ऑब्जर्वेशन से सीखने की अनुमति देता है, जिससे एक सामान्य बिलीफ स्टेट बनता है।
सैद्धांतिक प्रगति: डायनेमिक स्टैकलबर्ग गेम में लारिविएरे और पोर्टियस (1999) की स्केलिंग तकनीक का विस्तार करके, यह शोध पत्र अनिश्चितता के तहत गतिशील अनुबंधों का विश्लेषण करने के लिए एक सुलभ ढांचा प्रदान करता है, जिसे मानक वितरणों में सेंसरयुक्त डेटा की नॉन-कंजुगेसी के कारण पहले विश्लेषणात्मक रूप से कठिन माना जाता था।
भविष्य की दिशाएं: यह शोध पत्र विषम सूचना (asymmetric information - जहाँ एक पक्ष अधिक डेटा देखता है), वैकल्पिक अनुबंध रूपों (रेवेन्यू शेयरिंग), और अनंत-क्षितिज (infinite-horizon) गतिशीलता का अध्ययन करने के मार्ग खोलता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र उन डायनेमिक प्राइसिंग के लिए एक कठोर गेम-थ्योरेटिक आधार प्रदान करता है जहाँ मांग अज्ञात होती है और डेटा सेंसरयुक्त होता है, जो अस्तित्व प्रमाण (existence proofs) और इक्विलिब्रियम रणनीतियों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल एल्गोरिदम दोनों प्रदान करता है।