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Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

本文研究了制造商与零售商在仅能观测销售数据（即存在需求截断）的情况下进行有限期动态批发定价的博弈问题，通过刻画基于公共信念的马尔可夫完美均衡，证明了威布尔分布下可扩展缩放方法并简化计算，以及指数分布下均衡的唯一性与可计算性。

原作者： Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

发布于 2026-03-17

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原作者： Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇文章讲述了一个关于**“猜谜游戏”与“动态定价”的有趣故事，发生在一家制造商**（比如生产玩具的工厂）和一家零售商（比如沃尔玛或玩具店）之间。

为了让你轻松理解，我们可以把整个场景想象成一场**“在迷雾中开盲盒”**的生意。

1. 核心困境：迷雾中的盲盒

想象一下，工厂老板（制造商）和店长（零售商）都在卖一种很受欢迎的玩具。

真正的挑战：他们根本不知道顾客到底想买多少个（这就是“真实需求”）。
看到的只有：他们只能看到卖出去了多少（这就是“销售数据”）。
迷雾（截断数据）：如果店里只有 10 个玩具，结果来了 100 个顾客，他们只能看到卖出了 10 个。剩下的 90 个需求“消失”了，没人知道。这就叫**“截断需求”**（Censored Demand）。

这就好比你在迷雾中射箭，你只能看到箭有没有射中靶子，但不知道如果靶子再大一点，你会射中哪里。

2. 游戏规则：谁先出招？

这是一个有限时间的游戏（比如只玩 10 天）：

工厂老板先定一个批发价（比如每个玩具 10 元）。
店长看到价格后，决定进多少货（比如进 50 个）。
顾客来买，卖完为止。如果卖光了，剩下的需求就“飞”了，没人知道。
共同学习：第二天，工厂老板和店长会一起看昨天的销售数据，更新他们对“顾客到底多喜欢这个玩具”的猜测（信念）。

关键点：因为数据是“截断”的（不知道没卖完的部分），他们的猜测可能会出错，而且这种错误会影响明天的定价和进货。

3. 他们的策略：如何在这个迷雾中生存？

文章研究了他们如何达成一种**“完美的默契”（学术上叫马尔可夫完美均衡**，MPE）。简单来说，就是双方都根据**“目前我们猜得有多准”**来制定策略，而不是死记硬背过去的历史。

情况 A：玩具很复杂（威布尔分布需求）

如果顾客的需求分布很复杂（像威布尔分布），计算起来非常难，就像在解一个几千个变量的方程组。

作者的魔法：他们发现了一个**“缩放技巧”**。
比喻：想象你在玩一个游戏，地图的大小（需求规模）会变，但地图的形状（需求分布的规律）不变。作者发现，只要盯着地图的**“形状参数”**（比如需求是像山峰还是像平原），就可以忽略地图大小的具体数值。
结果：这大大简化了计算。工厂老板发现，只要知道“形状”和“已经观察到的确切销售次数”，他就不需要管具体的“规模”是多少。这就像厨师发现，只要知道菜谱的“口味比例”，不管做 1 个人吃还是 100 个人吃，放盐的比例是不变的。

情况 B：玩具很简单（指数分布需求）

如果顾客的需求分布很简单（像指数分布，比如大家买玩具的概率是固定的）：

结果：不仅存在完美的默契，而且只有唯一的一种完美默契。
计算：他们可以用一种简单的**“倒推法”**算出来。就像玩“倒着走”的游戏，从最后一天开始想：“最后一天如果只剩 1 个玩具，我该定多少钱？”然后一步步推到第一天。这不需要复杂的优化，就像解简单的数学题一样。

4. 核心发现：谁在变，谁不变？

文章得出了一个非常反直觉但有趣的结论：

工厂老板（制造商）很“淡定”：
在均衡状态下，工厂老板定的批发价，其实不关心市场需求具体有多大（规模参数）。他只关心**“我们猜得有多准”**（形状参数和观察次数）。
- 比喻：就像船长定航速，他只看“风向准不准”，而不看“船要开多远”。因为不管船开多远，只要风向准，航速策略就不变。
店长（零售商）很“敏感”：
店长的进货量会随着市场需求的规模变大而变大。
- 比喻：如果听说今天人流量大（规模变大），店长就会多进货，但工厂老板的定价策略依然保持“淡定”，只根据“信息准确度”来微调。

5. 现实意义：这对我们意味着什么？

数据共享很重要：在数字化时代（如沃尔玛的 Luminate 平台），工厂和店长共享销售数据，能让他们共同学习，减少迷雾。
不要只看历史：如果经常缺货（导致数据被截断），单纯看历史平均数会误导决策。必须用这种**“贝叶斯学习”**的方法，不断更新猜测。
合同设计：这篇文章告诉企业，在设计短期合同（比如季节性产品的供货协议）时，要考虑到双方都在“边做边学”。如果合同能利用这种学习机制，就能避免因为猜错需求而导致的库存积压或错失销售机会。

总结

这就好比两个人在迷雾中一起开一家店。

他们不知道顾客到底有多少，只能看到卖了多少。
他们通过每天的销售数据，一起修正对顾客数量的猜测。
文章发现，只要掌握了一种**“简化地图”的技巧，他们就能算出最优的定价和进货策略**。
最有趣的是，定价的人（工厂）其实不需要知道市场有多大，只需要知道大家猜得有多准；而进货的人（店长）则会根据市场大小灵活调整。

这篇论文就是教我们如何在信息不全的情况下，通过聪明的数学方法，把生意做到最好。

论文技术总结：基于截断需求学习的动态批发定价

1. 研究背景与问题定义 (Problem)

核心问题：
在供应链中，制造商（Manufacturer）和零售商（Retailer）通常只能观察到实际销售量（Sales），而无法直接观察到真实的市场需求（Demand）。当发生缺货（Stockout）时，未满足的需求被“截断”（Censored），即无法被观测到。这种数据截断使得需求学习变得困难，因为标准的贝叶斯更新在大多数需求分布下不再保持共轭性（Conjugacy）。

研究场景：

博弈结构： 一个有限期（Finite-horizon）的动态 Stackelberg 博弈。
参与者： 制造商（领导者）和零售商（跟随者）。
决策流程： 每期，制造商首先设定批发价格 $w_t$ ，零售商观察到价格后决定订货量 $q_t$ 。
信息结构： 双方共享相同的销售数据（POS 数据），因此拥有共同的信念（Common Belief）关于未知的需求分布参数。
目标： 在存在需求截断和共同学习的情况下，寻找马尔可夫完美均衡（Markov Perfect Equilibrium, MPE），即双方的策略仅依赖于当前的公共信念状态（由超参数表示），而非整个历史路径。

数学设定：

需求分布属于报童分布族（Newsvendor family）： $F(y|\theta) = 1 - e^{-\theta \ell(y)}$ 。
先验分布为共轭先验（Gamma 分布），后验分布由超参数 $(a_t, b_t)$ 刻画，其中 $a_t$ 记录未截断观测的次数， $b_t$ 记录累积的截断信息。

2. 方法论 (Methodology)

本文采用**动态规划（Dynamic Programming）结合维度缩减（Dimensionality Reduction）**技术来求解 MPE。

关键方法步骤：

状态空间定义：
将公共信念状态定义为超参数对 $(a_t, b_t)$ 。由于状态空间是二维且随时间增长，直接求解动态规划方程极其困难。
维度缩减技术（针对 Weibull 需求）：
- 作者借鉴了 Lariviere and Porteus (1999) 在单决策者问题中的缩放技巧，将其扩展到战略博弈环境。
- 核心思想： 利用 Weibull 分布的尺度性质，将原始问题转化为一个**标准化（Standardized）**问题。
- 在标准化问题中，假设先验的速率参数 $b=1$ ，状态仅由形状超参数 $a$ 决定。
- 证明了原始博弈的 MPE 可以通过标准化问题的解（称为标准化马尔可夫完美解，SMPS）通过简单的缩放关系（Scaling relations）重构得到。
- 结果： 制造商的均衡批发价格仅依赖于 $a_t$ （即未截断观测的数量）和时间 $t$ ，而与 $b_t$ （需求规模）无关。
指数需求特例分析：
- 当需求服从指数分布（即 Weibull 分布中 $k=1$ ）时，作者进一步证明了均衡的唯一性。
- 推导出了显式的递归公式，使得均衡价格和订货量可以通过简单的向后递归计算，无需在每期求解复杂的优化问题。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

动态契约与截断需求学习的结合：
首次在一个动态 Stackelberg 博弈框架下，将制造商的定价决策、零售商的订货决策与基于截断数据的贝叶斯学习结合起来。填补了供应链契约与截断需求学习交叉领域的空白。
MPE 的存在性证明（Weibull 需求）：
利用维度缩减技术，证明了在 Weibull 需求下 MPE 的存在性。这是该技术在战略报童问题中的首次应用。该证明克服了状态空间随历史增长而爆炸的难题。
MPE 的唯一性与可计算性（指数需求）：
在指数需求假设下，证明了 MPE 的唯一性，并给出了具体的计算算法（向后递归）。这为实际计算提供了可行路径。
揭示了定价策略的不对称性：
发现了一个重要的经济学洞见：在均衡中，制造商的批发价格策略对需求的规模（Scale, 由 $b_t$ 决定）不敏感，仅依赖于需求的形状/不确定性（由 $a_t$ 决定）。然而，零售商的订货量和双方的利润都随需求规模的增加而增加。

4. 主要结果 (Key Results)

均衡结构：
- 对于 Weibull 需求，存在 MPE。制造商的最优批发价格 $w^*_t$ 是时间 $t$ 和未截断观测次数 $a_t$ 的函数，形式为 $w^*_t(a_t)$ 。
- 零售商的订货量 $q^*_t$ 依赖于 $w^*_t$ 和当前的信念状态，且随 $b_t$ 的 $1/k$ 次方缩放。
- 标准化价值函数（Standardized Value Functions）仅依赖于 $a_t$ ，大大简化了计算。
指数分布下的显式解：
- 当 $\ell(y)=y$ （指数分布）时，均衡批发价格 $w^*_t(a)$ 满足特定的代数方程（见论文公式 25）。
- 均衡订货量 $\tilde{q}^*_t$ 有显式表达式（见论文公式 26）。
- 价值函数可以通过求和公式直接计算（见论文公式 28, 29），无需迭代求解优化问题。
学习效应：
- 随着未截断观测（即无缺货）次数的增加（ $a_t$ 增大），不确定性降低。
- 随着截断观测（即发生缺货）的累积（ $b_t$ 增大），对需求规模的估计发生变化，影响订货量但不影响批发价格策略。

5. 研究意义 (Significance)

理论意义：
- 解决了在信息不完全（截断数据）和动态博弈背景下，供应链协调的理论难题。
- 证明了在战略互动中，利用共轭先验和维度缩减技术可以有效处理高维状态空间问题。
- 丰富了“向报童销售”（Selling to the Newsvendor）文献，将其从静态或已知分布扩展到动态学习场景。
实践意义：
- 数据共享的价值： 模型支持了现代供应链中制造商与零售商共享实时 POS 数据的做法。双方基于相同的信息更新信念，有助于达成更高效的契约。
- 定价指导： 研究表明，制造商在制定动态批发价格时，可以忽略需求的具体规模波动（只要形状参数不变），而应重点关注缺货频率（即未截断观测的积累），这为简化定价算法提供了理论依据。
- 库存管理： 揭示了在缺货导致数据缺失时，如何通过贝叶斯学习动态调整订货策略，以平衡短期利润和长期信息获取。

6. 局限与未来方向

目前模型假设无库存积压（Inventory carryover），未来可研究库存结转对学习和定价的影响。
模型假设信息完全对称（双方共享数据），未来可探索信息不对称（如一方拥有私有数据）下的契约设计。
可进一步研究无限期（Infinite-horizon）设定下的长期均衡行为。

总结：
这篇论文通过严谨的数学推导，建立了一个在截断需求环境下动态批发定价的理论框架。其核心突破在于利用维度缩减技术解决了战略学习中的高维状态难题，并揭示了制造商定价策略对需求规模不敏感的独特性质，为供应链中的动态契约设计和数据驱动决策提供了重要的理论支撑。