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Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

Questo studio caratterizza gli equilibri di Markov perfetti in un contratto di all'ingrosso dinamico a orizzonte finito, in cui un produttore e un rivenditore aggiornano le credenze sulla distribuzione della domanda basandosi sui dati di vendita censurati, dimostrando l'esistenza e l'unicità delle soluzioni per distribuzioni di domanda di tipo Weibull ed esponenziale.

Autori originali: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Pubblicato 2026-03-17

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CC BY 4.0

Autori originali: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

🛒 Il Gioco del "Venditore e il Negozio" in un Mondo di Incertezza

Immagina due amici: Mario, che produce dei gadget (il Manufacturatore), e Luca, che li vende in un negozio (il Rivenditore). Lavorano insieme per un periodo di tempo limitato, diciamo un anno, e devono decidere ogni mese quanto costerà il gadget e quanti pezzi Luca dovrà ordinare.

Il problema è che nessuno dei due sa esattamente quanti clienti vorranno comprare il gadget. Sanno solo che c'è una "richiesta" nascosta, ma non possono vederla direttamente. Possono vedere solo quanto riescono a vendere.

🕵️‍♂️ Il Mistero della "Richiesta Censurata"

Immagina che Luca metta in vetrina 10 gadget.

Se arrivano 5 clienti, Luca ne vende 5. Sa che la richiesta era di 5.
Se arrivano 20 clienti, Luca ne vende 10 e ne perde 10. Ma non sa che erano 20. Per lui, sembra che la richiesta fosse esattamente 10.

Questo è il concetto di "domanda censurata": quando il negozio va "fuori stock" (esaurisce le scorte), il dato reale si perde. È come se Luca guardasse attraverso una nebbia: vede solo ciò che riesce a vendere, non ciò che avrebbe potuto vendere se avesse avuto più merce.

🧠 Imparare insieme (e sbagliare insieme)

Mario e Luca non sono stupidi: si aggiornano ogni mese. Usano i dati delle vendite passate per indovinare meglio la richiesta futura.

Se vendono molto, pensano: "Forse la richiesta è alta!".
Se vendono poco, pensano: "Forse la richiesta è bassa".

Ma c'è un trucco: poiché vedono gli stessi dati (le stesse vendite), hanno la stessa "fede" o convinzione sulla richiesta futura. È come se avessero entrambi lo stesso quaderno degli appunti aggiornato ogni giorno.

🎲 Il Gioco Strategico

Ogni mese succede questo:

Mario decide il prezzo all'ingrosso (quanto chiede a Luca per ogni pezzo).
Luca, vedendo il prezzo, decide quanti pezzi ordinare.
Arrivano i clienti, si vendono i pezzi (o no), e entrambi aggiornano il loro quaderno degli appunti con i nuovi dati.

L'obiettivo del paper è capire: Qual è la strategia migliore per Mario e Luca per massimizzare i loro guadagni, sapendo che devono imparare mentre giocano?

💡 Le Scoperte Chiave (Spiegate con le Metafore)

Gli autori hanno scoperto due cose fondamentali, a seconda di come si comporta la "nebbia" della domanda:

1. La Regola del "Ridimensionamento" (Per la domanda complessa)

Immagina che la domanda sia come un palloncino che si gonfia. A volte si gonfia di poco, a volte tantissimo.
Gli autori hanno scoperto che, anche se il palloncino cambia dimensione (c'è un parametro che cambia la "scala" della domanda), Mario non deve preoccuparsi di quanto è grande il palloncino in assoluto per fissare il prezzo.

L'analogia: È come se Mario guardasse solo la forma del palloncino, non la sua grandezza esatta.
Il risultato: Hanno trovato un modo per semplificare il calcolo. Invece di dover fare calcoli complicatissimi su due variabili (forma e grandezza), possono ridurli a un solo calcolo. Questo rende il problema risolvibile e garantisce che esista sempre una soluzione stabile dove nessuno dei due vuole cambiare strategia.

2. La Regola del "Calcolo Semplice" (Per la domanda esponenziale)

Se la domanda segue un modello più semplice (come la distribuzione esponenziale, che è come una candela che brucia a una velocità costante ma imprevedibile), la situazione diventa ancora più chiara.

L'analogia: È come se avessero una ricetta perfetta. Non devono fare calcoli complessi ogni volta. Possono semplicemente guardare indietro, un passo alla volta, e dire: "Se faccio così, guadagno X; se faccio cosà, guadagno Y".
Il risultato: C'è una sola soluzione perfetta (unica) che entrambi possono trovare facilmente. Non ci sono sorprese o strategie confuse: basta seguire la ricetta matematica.

🌟 Perché è importante?

Nella vita reale, molte aziende (come Walmart o Amazon) condividono i dati delle vendite con i loro fornitori. Ma spesso i fornitori non sanno se le vendite basse sono dovute a una scarsa richiesta o perché il negozio era vuoto (stockout).

Questo studio dice alle aziende:

Non preoccupatevi troppo della scala: Se la domanda cambia di grandezza, il prezzo strategico rimane stabile.
Imparate insieme: Usando i dati condivisi, potete trovare un equilibrio dove sia il produttore che il venditore guadagnano il massimo possibile, anche senza sapere la verità assoluta sulla domanda.
Siete in buona compagnia: Anche se non vedete tutto, c'è un modo matematico per giocare in modo intelligente e non perdere soldi.

In sintesi, è una guida su come giocare d'azzardo in modo intelligente quando si hanno solo indizi parziali, trasformando l'incertezza in un piano d'azione chiaro.

Titolo: Prezzi all'ingrosso dinamici sotto apprendimento da domanda censurata

Autori: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel (Luiss University)

1. Il Problema e il Contesto

Il paper affronta un problema fondamentale nella gestione della catena di approvvigionamento: la contrattazione dinamica tra un produttore (Manufacturer) e un rivenditore (Retailer) in un ambiente di domanda incerta e parzialmente osservabile.

Censura della domanda: In molti scenari retail, le aziende osservano le vendite reali (sales) e non la domanda effettiva (true demand). Quando si verifica un'esaurimento delle scorte (stockout), la domanda non soddisfatta non viene osservata. Questo fenomeno genera dati "censurati", rendendo difficile l'aggiornamento delle credenze sulla distribuzione della domanda.
Apprendimento condiviso: A differenza di modelli precedenti dove solo il rivenditore apprende dai dati, questo studio ipotizza che, grazie alle infrastrutture digitali moderne (es. condivisione di dati POS in tempo reale), sia il produttore che il rivenditore osservino le stesse vendite censurate e aggiornino collettivamente le loro credenze (belief) sulla distribuzione della domanda.
Contratto Dinamico: Il rapporto è modellato come un gioco Stackelberg dinamico a orizzonte finito. In ogni periodo:
1. Il produttore fissa il prezzo all'ingrosso ( $w_t$ ).
2. Il rivenditore, osservando il prezzo, sceglie la quantità da ordinare ( $q_t$ ).
3. La domanda si realizza, le vendite ( $s_t = \min(q_t, D_t)$ ) vengono osservate da entrambi.
4. Entrambe le parti aggiornano la loro credenza comune sulla distribuzione della domanda tramite inferenza bayesiana.

L'obiettivo è caratterizzare l'Equilibrio di Markov Perfetto (MPE) di questo gioco, dove le strategie dipendono solo dallo stato attuale delle credenze (i parametri iperparametri della distribuzione a posteriori) e non dall'intera storia passata.

2. Metodologia e Modello Matematico

Struttura del Gioco

Stato del sistema: Lo stato è definito dai parametri iperparametri $(a_t, b_t)$ $(a_{t}, b_{t})$ della distribuzione a priori coniugata della domanda.
- $a_t$ : parametro di forma (aggiornato solo quando la domanda è osservata, cioè quando non c'è stockout).
- $b_t$ : parametro di scala/rate (aggiornato in base all'entità delle vendite osservate).
Distribuzione della Domanda: Per garantire la trattabilità analitica, gli autori utilizzano la famiglia di distribuzioni "Newsvendor" introdotta da Braden e Freimer (1991), definita come $F(y|\theta) = 1 - e^{-\theta \ell(y)}$ $F (y ∣ θ) = 1 - e^{- θ ℓ (y)}$ .
- Il caso specifico analizzato è la distribuzione Weibull (dove $\ell(y) = y^k$ ), che include la distribuzione esponenziale come caso particolare ( $k=1$ ).
- La prior coniugata per il parametro $\theta$ è una distribuzione Gamma.

Riduzione della Dimensionalità

Un contributo metodologico chiave è l'estensione della tecnica di riduzione della dimensionalità (originariamente sviluppata per problemi a singolo decisore da Lariviere e Porteus, 1999) a un contesto strategico a due livelli.

Gli autori dimostrano che, per la domanda Weibull, è possibile normalizzare il problema in modo che la soluzione dipenda solo dal parametro di forma $a$ e non dal parametro di scala $b$ .
Viene definito un Standardized Markov Perfect Solution (SMPS). Le strategie originali possono essere recuperate moltiplicando le soluzioni standardizzate per fattori di scala dipendenti da $b$ .
Questo riduce lo spazio degli stati da due dimensioni $(a, b)$ a una sola dimensione $(a)$ , rendendo il problema computazionalmente trattabile e permettendo di provare l'esistenza dell'equilibrio.

3. Risultati Principali

A. Esistenza dell'Equilibrio (Domanda Weibull)

Per la domanda Weibull generale, gli autori provano l'esistenza di un Equilibrio di Markov Perfetto (MPE).

La prova si basa sulla costruzione ricorsiva della soluzione standardizzata (SMPS) tramite induzione all'indietro.
Viene utilizzato il Teorema del Massimo di Berge per garantire la continuità e la compattezza degli insiemi di massimizzatori, affrontando le difficoltà legate alla non-concavità potenziale delle funzioni di valore in contesti strategici.
Implicazione strategica: Nel MPE risultante, il prezzo all'ingrosso ottimale del produttore dipende solo dal tempo $t$ e dal parametro di forma $a_t$ (che conta il numero di osservazioni di domanda non censurate), ma è indipendente dal parametro di scala $b_t$ . Questo significa che il produttore non deve adattare il prezzo in base alla "magnitudine" della domanda, ma solo alla "precisione" della sua conoscenza (numero di osservazioni esatte).

B. Unicità e Caratterizzazione (Domanda Esponenziale)

Nel caso specifico in cui la domanda segue una distribuzione esponenziale ( $k=1$ ), il modello ammette una caratterizzazione più forte:

Unicità: L'equilibrio è unico.
Calcolo Efficiente: L'equilibrio può essere calcolato tramite una semplice ricorsione all'indietro senza dover risolvere problemi di ottimizzazione complessi in ogni periodo.
Formule Chiuse: Vengono derivati espressioni esplicite per:
- Il prezzo all'ingrosso $w^*_t(a)$ .
- La quantità ordinata $\tilde{q}^*_t(a, w)$ .
- Le funzioni di valore standardizzate $v^R_t(a)$ e $v^M_t(a)$ .
Le strategie dipendono dalla differenza tra il prezzo al dettaglio $p$ e il valore futuro atteso dell'apprendimento (rappresentato dalle differenze nelle funzioni di valore $v_{t+1} - v_t$ ).

4. Contributi Chiave

Integrazione di Contratti e Apprendimento: Il lavoro colma il divario tra la letteratura sui contratti nella catena di approvvigionamento e quella sull'apprendimento da dati censurati. Mostra come l'apprendimento strategico condiviso influenzi le decisioni di prezzo e ordinazione.
Estensione della Riduzione di Dimensionalità: Per la prima volta, la tecnica di riduzione della dimensionalità viene applicata con successo per provare l'esistenza di un equilibrio in un contesto di "Newsvendor strategico" (due decisori), superando la complessità dello spazio degli stati.
Asimmetria nelle Strategie: Il risultato secondo cui il prezzo all'ingrosso è invariante rispetto alla scala della domanda ( $b$ ) è controintuitivo ma significativo. Suggerisce che, in equilibrio, il produttore reagisce all'incertezza (numero di osservazioni) piuttosto che alla dimensione del mercato.
Soluzione Computazionale: Fornisce un algoritmo efficiente per calcolare l'equilibrio nel caso esponenziale, rendendo il modello applicabile a scenari reali.

5. Significato e Implicazioni

Gestione dell'Incertezza: Il paper dimostra che in mercati volatili con cicli di vita brevi, dove i dati storici sono scarsi e censurati, la condivisione delle informazioni di vendita (POS) tra produttore e rivenditore crea un ambiente di apprendimento comune che stabilizza le decisioni strategiche.
Progettazione dei Contratti: I risultati suggeriscono che i contratti dinamici dovrebbero essere strutturati tenendo conto non solo delle quantità, ma anche del processo di apprendimento. La capacità di aggiornare le credenze diventa una variabile di stato critica.
Impatto Pratico: Per le aziende che utilizzano piattaforme di dati in tempo reale (come Walmart Luminate menzionato nell'introduzione), il modello offre un quadro teorico per capire come i dati censurati influenzino la dinamica dei prezzi e le scorte ottimali nel lungo periodo.

In sintesi, il paper fornisce un rigoroso fondamento teorico per la dinamica dei prezzi all'ingrosso in presenza di apprendimento bayesiano da dati imperfetti, offrendo sia risultati di esistenza generale che soluzioni analitiche esatte per casi specifici, con profonde implicazioni per la teoria dei giochi e la gestione della supply chain.