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Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

Este artículo caracteriza los equilibrios de Markov perfectos en un contrato dinámico de precios mayoristas bajo demanda censurada, demostrando la existencia y computabilidad de soluciones para distribuciones de demanda Weibull y exponencial mediante actualizaciones de creencias comunes basadas en datos de ventas.

Autores originales: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Publicado 2026-03-17

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CC BY 4.0

Autores originales: Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que el mundo de los negocios es como un juego de ajedrez en la oscuridad, donde dos jugadores (un fabricante y un vendedor minorista) deben tomar decisiones sin ver todo el tablero.

Este artículo de investigación explica cómo estos dos jugadores pueden aprender a jugar mejor cuando la información que tienen está "censurada" o incompleta. Aquí te lo cuento con una analogía sencilla:

1. El Escenario: La Tienda de Helados y el Fabricante

Imagina que tienes una fábrica de helados (el Fabricante) y un puesto de helados en la playa (el Minorista).

El problema: No saben exactamente cuánta gente tendrá hambre de helado hoy. Solo saben que depende de una "variable oculta" (quizás el clima, la temporada, o el estado de ánimo de la gente).
La regla del juego: El Fabricante fija el precio al que le vende el helado al Minorista. Luego, el Minorista decide cuántos helados pedir.
La trampa (La Censura): Si el Minorista pide 100 helados y llegan 150 clientes, solo venden 100. Los 50 clientes que se fueron sin helado no dejan rastro. El Minorista y el Fabricante solo ven que vendieron 100. No saben si la demanda real era 100 o 150. Es como intentar adivinar cuántas personas hay en una fiesta mirando solo cuántas sillas están ocupadas, pero sin ver a los que se quedaron de pie.

2. El Aprendizaje: "Adivinar y Corregir"

Como no tienen datos perfectos, ambos deben aprender con lo que ven.

Cada semana, ajustan sus "creencias" sobre cuánta gente querrá helado basándose en las ventas reales.
Si venden todo lo que tenían, piensan: "¡Ups! Probablemente había más gente con hambre, pero nos quedamos sin stock".
Si les sobra helado, piensan: "Bueno, la demanda fue menor de lo que pensábamos".

El gran hallazgo del artículo es cómo estos dos jugadores, que comparten la misma información (ambos ven las mismas ventas), toman decisiones estratégicas para maximizar sus ganancias a lo largo de un tiempo limitado (por ejemplo, una temporada de verano).

3. La Estrategia: El "Equilibrio Perfecto"

Los autores demuestran que existe una forma matemática perfecta de jugar este juego, llamada Equilibrio de Markov Perfecto. En lenguaje sencillo, significa que:

El Fabricante no necesita recordar toda la historia de ventas de los últimos años. Solo necesita saber: "¿Cuántas veces hemos tenido ventas exactas (sin quedarse sin stock)?" y "¿Qué tan grande es el mercado en general?".
El Minorista reacciona al precio que pone el Fabricante y a lo que han aprendido hasta ahora.

4. Los Dos Tipos de "Helados" (Casos Matemáticos)

El artículo analiza dos situaciones diferentes, como si fueran dos tipos de helados con comportamientos distintos:

Caso A: El Helado "Weibull" (El complejo)
Imagina un helado cuya demanda es muy variable y difícil de predecir. Los autores descubrieron un truco matemático genial: pueden simplificar el problema. En lugar de tener que calcular dos variables complicadas, pueden reducir todo a una sola variable (la "forma" de la demanda).
- La analogía: Es como si, en lugar de medir la temperatura, la humedad y el viento por separado, pudieras usar un solo número mágico que te diga si va a llover. Esto hace que calcular la estrategia perfecta sea mucho más fácil y rápido.
Caso B: El Helado "Exponencial" (El sencillo)
Imagina un helado cuya demanda es más predecible y constante. Aquí, los autores demuestran que solo existe una única forma perfecta de jugar.
- La analogía: Es como un laberinto donde solo hay un camino correcto. No importa cómo empieces, si sigues las reglas, llegarás al mismo punto óptimo. Además, ofrecen una fórmula simple para calcular ese camino sin tener que hacer cálculos complicados en cada paso.

5. ¿Por qué es importante esto?

En el mundo real, las empresas a menudo operan con datos incompletos.

Si un fabricante sabe que el minorista está "aprendiendo" de las ventas, puede ajustar sus precios de manera más inteligente.
El artículo nos dice que, incluso con datos incompletos, si ambos jugadores son inteligentes y comparten la información, pueden encontrar un equilibrio donde ambos ganan más que si jugaran a ciegas.

En resumen:
Este paper es como un manual de instrucciones para dos socios de negocios que deben tomar decisiones diarias sin saber el futuro. Les enseña cómo usar los datos imperfectos que tienen (las ventas reales) para "adivinar" el futuro, ajustar sus precios y pedidos, y encontrar la estrategia ganadora, incluso cuando el mercado es un misterio. Han encontrado atajos matemáticos para que este cálculo sea posible y eficiente.

Resumen Técnico: Precios de Mayoreo Dinámicos bajo Aprendizaje de Demanda Censurada

1. Planteamiento del Problema

El artículo estudia un contrato dinámico de precios de mayoreo en un horizonte finito entre un fabricante (líder) y un minorista (seguidor) en una cadena de suministro. El contexto se caracteriza por dos factores críticos:

Demanda Censurada: Ambos agentes observan únicamente las ventas realizadas ( $S_t = \min(q_t, D_t)$ ), no la demanda real ( $D_t$ ). Cuando ocurren desabastecimientos (stockouts), la demanda no satisfecha es no observada (censurada).
Aprendizaje Estratégico: La distribución de la demanda depende de un parámetro desconocido $\Theta$ . Tanto el fabricante como el minorista actualizan sus creencias sobre este parámetro utilizando los datos de ventas compartidos (información pública) mediante inferencia bayesiana.

El objetivo es caracterizar el Equilibrio Perfecto de Markov (MPE) de este juego dinámico de Stackelberg, donde el fabricante fija el precio de mayoreo ( $w_t$ ) y el minorista responde eligiendo la cantidad a pedir ( $q_t$ ), actualizando simultáneamente sus creencias comunes.

2. Metodología y Marco Teórico

Los autores modelan la interacción como un juego dinámico de información incompleta con un estado público compartido (la creencia sobre la demanda).

Distribución de Demanda: Para garantizar la tratabilidad analítica frente a la censura, se utiliza la familia de distribuciones del "Newsvendor" introducida por Braden y Freimer (1991). La función de distribución condicional es:
$F(y | \theta) = 1 - e^{-\theta \ell(y)}$
Donde $\ell(y)$ es una función creciente. Se asume un prior conjugado Gamma para el parámetro $\theta$ , lo que permite que la distribución posterior mantenga la misma forma funcional, actualizando solo sus hiperparámetros $(a_t, b_t)$ (forma y tasa).
Estructura del Juego:
- Estado: Los hiperparámetros $(a_t, b_t)$ que resumen toda la historia de ventas observadas.
- Estrategias: Se buscan estrategias de Markov, donde las decisiones dependen solo del estado actual $(a_t, b_t)$ y no de la historia completa.
- Solución: Se define el MPE mediante programación dinámica, utilizando funciones de valor para el fabricante y el minorista.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El papel presenta tres contribuciones fundamentales:

A. Reducción de Dimensionalidad y Existencia de Equilibrio (Demanda Weibull)
Para la demanda Weibull (donde $\ell(y) = y^k$ ), los autores extienden la técnica de reducción de dimensionalidad de Lariviere y Porteus (1999) a un entorno estratégico.

Resultado: Demuestran que el problema puede transformarse en un "Newsvendor Estandarizado".
Mecanismo: Se define una solución estandarizada (SMPS) donde el hiperparámetro de tasa $b$ se elimina del núcleo de la optimización dinámica, apareciendo solo como un factor de escala en las funciones de valor y las cantidades óptimas.
Implicación: El precio de mayoreo de equilibrio del fabricante depende únicamente del hiperparámetro de forma $a$ (que cuenta las observaciones de demanda no censuradas) y del tiempo, pero es invariante al hiperparámetro de tasa $b$ (que refleja la magnitud de la demanda).
Teorema 4.2: Se prueba la existencia de un MPE para la demanda Weibull, reduciendo el cálculo a una recursión unidimensional sobre el parámetro de forma $a$ .

B. Unicidad y Caracterización (Demanda Exponencial)
Para el caso especial de demanda exponencial ( $\ell(y) = y$ , es decir, $k=1$ ), los resultados son más fuertes:

Unicidad: Se demuestra que el MPE es único.
Cálculo Eficiente: El equilibrio se puede calcular mediante una recursión hacia atrás simple sin necesidad de resolver problemas de optimización en cada paso.
Fórmulas Cerradas: Se derivan expresiones explícitas para el precio óptimo $w^*_t(a)$ $w_{t}^{*} (a)$ y la cantidad óptima $q^*_t(a, b)$ $q_{t}^{*} (a, b)$ (Eqs. 25-27).
- El precio depende de la diferencia en los valores futuros del minorista: $p + V^R_{t+1}(a+1) - V^R_{t+1}(a)$ .
- La cantidad óptima sigue una estructura similar a la del problema de un solo agente, ajustada por el aprendizaje dinámico.

C. Asimetría en las Políticas de Precios
Un hallazgo significativo es la asimetría en la sensibilidad a la escala de la demanda:

La política de precios del fabricante es insensible a la escala de la demanda (el parámetro $b$ ).
Sin embargo, las cantidades de pedido y las ganancias de ambas partes aumentan con la escala de la demanda (escalan con $b^{1/k}$ ).
Esto sugiere que, en equilibrio, el fabricante ajusta su precio basándose en la incertidumbre relativa (número de observaciones) más que en la magnitud absoluta de la demanda.

4. Significado e Impacto

Teórico: El trabajo cierra la brecha entre la literatura de contratos de cadena de suministro y la de aprendizaje de demanda censurada. Proporciona uno de los primeros resultados de existencia y unicidad de equilibrio en un juego de Stackelberg dinámico con aprendizaje estratégico compartido.
Práctico: Ofrece una justificación teórica para el uso de plataformas de datos compartidos (como POS en tiempo real). Muestra cómo la estructura del contrato y las estrategias de precios deben adaptarse cuando la información es incompleta y se actualiza dinámicamente.
Computacional: La reducción de dimensionalidad propuesta hace que el cálculo de estrategias óptimas sea viable en horizontes largos, algo que sería intratable con el espacio de estados completo $(a, b)$ .

5. Conclusiones y Futuras Direcciones

El artículo concluye que el aprendizaje de datos censurados altera fundamentalmente la dinámica de precios y pedidos en la cadena de suministro. Las direcciones futuras sugeridas incluyen explorar otros tipos de contratos (reparto de ingresos, devoluciones), asimetrías de información (cuando el minorista tiene datos privados adicionales) y horizontes infinitos.

En resumen, el paper demuestra que, incluso con datos imperfectos (censurados), es posible caracterizar equilibrios dinámicos robustos donde la estructura de aprendizaje bayesiano permite simplificar drásticamente la complejidad estratégica del problema de fijación de precios.