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Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

Cet article caractérise les équilibres de Markov parfaits dans un contrat de prix de gros dynamique où un fabricant et un détaillant apprennent la demande à partir de données de ventes censurées, en démontrant l'existence et l'unicité de ces équilibres pour des distributions de demande de Weibull et exponentielle grâce à des méthodes de récursion simplifiées.

Auteurs originaux : Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Publié 2026-03-17

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Michalis Deligiannis, Marco Scarsini, Xavier Venel

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous êtes le chef d'une grande chaîne de restaurants (le Fabricant) et que vous approvisionnez un réseau de restaurants locaux (le Vendeur). Vous ne savez pas exactement combien de clients viendront manger demain. Vous avez une idée, mais c'est flou.

Le problème ? Quand un restaurant est plein et qu'un client repart sans manger parce qu'il n'y a plus de table, vous ne le savez pas. Vous ne voyez que les clients qui ont mangé. C'est ce qu'on appelle une demande censurée : vous voyez les ventes, mais pas les clients perdus.

Voici l'histoire de ce papier de recherche, racontée comme une aventure de gestion :

1. Le Jeu de l'Estimation (L'Apprentissage)

Dans ce jeu, le Chef et le Vendeur jouent ensemble, mais ils ne voient pas la même chose que le "monde réel". Ils ne voient que les ventes réelles.

Si le Vendeur commande 100 pizzas et qu'il en vend 100, il ne sait pas si 100 clients voulaient manger ou si 150 voulaient manger mais qu'il n'y en avait plus assez.
Chaque fois qu'il y a une pénurie (rupture de stock), le Chef et le Vendeur se disent : "Tiens, il y a peut-être plus de clients que prévu !". Ils mettent à jour leur "croyance" commune, comme un détective qui réajuste son profil du suspect à chaque nouvelle piste.

2. La Stratégie : Qui fixe le prix ?

C'est un jeu en deux temps, répété chaque jour pendant un certain temps (disons, 30 jours) :

Le Chef fixe le prix de gros (combien il vend la pizza au Vendeur).
Le Vendeur regarde ce prix et décide combien de pizzas commander.
La journée se passe, les ventes sont enregistrées, et tout le monde met à jour son estimation de la demande.

Le but ? Trouver l'équilibre parfait où personne ne veut changer sa stratégie, même en sachant ce que l'autre fait. C'est ce qu'on appelle un Équilibre de Markov Parfait. En gros, c'est la "stratégie gagnante" qui dépend uniquement de ce qu'ils savent maintenant (leur niveau de confiance dans la demande), et non de toute l'histoire passée.

3. La Magie Mathématique (La Réduction de Dimension)

Le papier dit que résoudre ce problème est normalement un cauchemar mathématique. Pourquoi ? Parce que les données s'accumulent et que les calculs deviennent énormes.

Mais les auteurs ont trouvé une astuce géniale, un peu comme si on utilisait une loupe magique :

Ils ont découvert que pour certains types de demandes (comme la distribution de Weibull), on peut "normaliser" le problème.
Imaginez que vous avez une carte du monde. Au lieu de dessiner chaque montagne, chaque rivière et chaque ville (ce qui prendrait des heures), vous vous rendez compte que la forme des montagnes dépend juste d'un seul chiffre : leur "pente".
Grâce à cette astuce, ils montrent que le Chef n'a pas besoin de se soucier de combien de ventes il y a eu en absolu, mais seulement de combien de fois il a eu une vente exacte (sans rupture de stock).
Le résultat surprenant : Le prix que le Chef fixe ne dépend pas de la "taille" du marché (est-ce qu'il y a 1000 clients ou 10 000 ?), mais seulement de la confiance qu'il a dans ses estimations. C'est comme si le prix d'un café restait le même, que vous soyez dans un petit village ou une grande ville, tant que la "certitude" sur la clientèle est la même.

4. Le Cas Simple (La Demande Exponentielle)

Si la demande suit un modèle très simple (comme une chute d'eau régulière), les auteurs montrent qu'il n'y a qu'une seule et unique solution parfaite.

C'est comme si vous aviez une recette de cuisine infaillible. Vous n'avez pas besoin de tester 1000 variantes. Il suffit de suivre une formule simple, en reculant dans le temps (comme un film qu'on regarde à l'envers), pour savoir exactement quel prix mettre et combien commander, jour après jour.

En Résumé

Ce papier nous dit que même quand on ne voit pas tout (demande cachée par les ruptures de stock), on peut quand même trouver une stratégie de prix et de commande très intelligente.

L'idée clé : On apprend ensemble en observant les ventes.
L'astuce : On peut simplifier les calculs complexes en se concentrant sur l'essentiel (la forme de la demande, pas son volume).
Leçon pour le monde réel : Les entreprises qui partagent leurs données de vente en temps réel (comme Walmart et ses fournisseurs) peuvent utiliser ces modèles pour ajuster leurs prix dynamiquement, sans avoir besoin de deviner l'avenir, mais simplement en s'adaptant à ce qu'elles ont vu hier.

C'est un peu comme jouer aux échecs contre un adversaire qui cache ses pièces, mais où vous apprenez à deviner ses coups en regardant seulement les cases sur lesquelles il a posé ses pions, et en ajustant votre stratégie à chaque coup pour gagner la partie.

1. Problématique et Contexte

L'article étudie un contrat dynamique de prix de gros à horizon fini entre un fabricant (M) et un détaillant (R) dans un environnement où la demande réelle est inconnue et partiellement observée.

Censure de la demande : Les deux parties n'observent que les ventes réalisées ( $S_t = \min(q_t, D_t)$ ), et non la demande réelle ( $D_t$ ). Lorsqu'un stock est épuisé (rupture de stock), la demande non satisfaite est perdue et non observée. Cela crée un problème de données censurées.
Apprentissage stratégique : Contrairement aux modèles classiques où seul le détaillant apprend, ici, le fabricant et le détaillant partagent les mêmes données de vente (via des plateformes numériques modernes) et mettent à jour leurs croyances communes sur la distribution de la demande de manière bayésienne.
Jeu dynamique : Le jeu se déroule sur $T$ $T$ périodes. À chaque période :
1. Le fabricant fixe un prix de gros $w_t$ .
2. Le détaillant observe le prix et choisit une quantité à commander $q_t$ .
3. La demande se réalise, les ventes sont observées, et les croyances sont mises à jour.
Objectif : Caractériser l'Équilibre Parfait de Markov (MPE) de ce jeu de Stackelberg dynamique à information incomplète commune.

2. Méthodologie et Modélisation

Les auteurs utilisent une approche combinant la théorie des jeux, l'apprentissage bayésien et la programmation dynamique.

A. Hypothèses de Distribution

Pour rendre le problème mathématiquement traitable face à la censure, les auteurs utilisent la famille de distributions du "newsvendor" introduite par Braden et Freimer (1991) :

La fonction de répartition conditionnelle est $F(y|\theta) = 1 - e^{-\theta \ell(y)}$ .
Le cas Weibull est central : $\ell(y) = y^k$ (avec $k>0$ ). Si $k=1$ , on retrouve la distribution exponentielle.
L'a priori sur le paramètre inconnu $\Theta$ est une loi Gamma conjuguée, définie par les hyperparamètres de forme $a$ et de taux $b$ .

B. Mise à jour des croyances (État Public)

L'état du système à la période $t$ est résumé par les hyperparamètres $(a_t, b_t)$ de la distribution a posteriori :

$a_{t+1} = a_t + \mathbb{I}(s_t < q_t)$ : $a$ augmente uniquement si la demande est observée exactement (pas de rupture de stock).
$b_{t+1} = b_t + \ell(s_t)$ : $b$ augmente selon la magnitude des ventes observées.
Ces paramètres forment un état de Markov suffisant pour l'histoire passée.

C. Concept de Solution

Les auteurs recherchent un Équilibre Parfait de Markov (MPE). Les stratégies dépendent uniquement de l'état courant $(a_t, b_t)$ et non de l'historique complet.

Stratégie du fabricant : $w_t(a_t, b_t)$ .
Stratégie du détaillant : $q_t(a_t, b_t, w_t)$ .

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

L'article apporte trois contributions majeures :

1. Réduction de Dimensionnalité et Existence de l'Équilibre (Cas Weibull)

Pour la demande Weibull, les auteurs étendent une technique de réduction de dimensionnalité (initialement développée par Lariviere et Porteus pour un agent unique) à un cadre stratégique à deux agents.

Standardisation : Ils montrent qu'il est possible de transformer le problème original en un problème standardisé où l'état ne dépend que de l'hyperparamètre de forme $a$ , et non de $b$ .
Résultat : Le prix de gros d'équilibre du fabricant ne dépend que de $a_t$ (et du temps $t$ ), et non de l'échelle de la demande $b_t$ .
Existence : Ils prouvent l'existence d'un MPE en construisant une Solution Markovienne Parfaite Standardisée (SMPS). La relation entre la solution standardisée et l'équilibre original est donnée par un facteur d'échelle $b^{1/k}$ $b^{1/ k}$ .
- $w^*_t(a, b) = w^*_t(a)$
- $q^*_t(a, b, w) = b^{1/k} \tilde{q}^*_t(a, w)$

2. Unicité et Caractérisation Analytique (Cas Exponentiel)

Pour le cas particulier de la demande exponentielle ( $k=1$ ), les résultats sont plus forts :

Unicité : L'équilibre MPE est unique.
Calculabilité : L'équilibre peut être calculé par une récursion arrière simple sans avoir à résoudre de problème d'optimisation complexe à chaque étape.
Formules explicites : Les auteurs fournissent des formules fermées pour le prix de gros $w^*_t(a)$ $w_{t}^{*} (a)$ et la quantité $\tilde{q}^*_t(a)$ $\tilde{q}_{t}^{*} (a)$ , qui dépendent des différences de valeurs futures (termes de type "marge future").
- Le prix de gros est strictement inférieur à la marge potentielle future ajustée.
- La quantité commandée est strictement positive à chaque période.

3. Implications Économiques

Asymétrie de sensibilité : La politique de prix du fabricant est insensible à l'échelle de la demande ( $b$ ), tandis que les quantités commandées et les profits augmentent avec $b$ .
Apprentissage et Ruptures de stock : L'apprentissage est plus lent en cas de ruptures de stock fréquentes (car $a$ n'augmente pas), ce qui affecte la dynamique des prix et des quantités sur l'horizon du contrat.

4. Signification et Apports

Théorique : C'est l'une des premières applications de la réduction de dimensionnalité pour prouver l'existence d'un équilibre dans un contexte de "newsvendor" stratégique à deux niveaux avec apprentissage de données censurées.
Pratique : Le modèle éclaire la gestion des contrats B2B dans des marchés volatils où les données de vente en temps réel (POS) sont partagées. Il suggère que les fabricants peuvent fixer des prix basés sur le nombre d'observations de demande exacte (compteur de ruptures) plutôt que sur l'estimation absolue de la demande, simplifiant ainsi la prise de décision.
Méthodologique : L'utilisation de la famille de distributions "newsvendor" permet de maintenir la conjugaison bayésienne malgré la censure, offrant une voie pour analyser des problèmes de contrôle stochastique complexes qui seraient autrement intraitables.

En résumé, cet article fournit un cadre rigoureux pour comprendre comment l'incertitude sur la demande, combinée à la censure des données et à l'interaction stratégique, façonne les contrats de prix de gros dynamiques, avec des solutions analytiques élégantes pour des distributions de demande courantes.