Dynamic Wholesale Pricing under Censored-Demand Learning

Titel: Dynamische Groothandelsprijzen onder Censuur-Demand Learning

1. Probleemstelling

Het artikel onderzoekt een dynamisch, eindig-horizont contract tussen een fabrikant (manufacturer) en een retailer in een toeleveringsketen. De kern van het probleem ligt in twee factoren:

• Gecensureerde vraag (Censored Demand): Beide partijen observeren slechts de gerealiseerde verkoop ($S_t = \min(q_t, D_t)$), niet de ware vraag ($D_t$). Wanneer er een voorraadtekort optreedt (stockout), blijft de niet-gerealiseerde vraag onwaarneembaar. Dit leidt tot "censuur" van de data.
• Strategisch leren: Zowel de fabrikant als de retailer hebben een onbekende parameter $\Theta$ in de vraagverdeling. Ze updaten hun gezamenlijke overtuiging (posterior) over deze parameter op basis van de gedeelde, gecensureerde verkoopdata.

De dynamiek verloopt als volgt: In elke periode $t$ stelt de fabrikant eerst een groothandelsprijs $w_t$ in. De retailer observeert deze prijs en kiest vervolgens een bestelhoeveelheid $q_t$. De fabrikant levert de bestelde hoeveelheid. Er wordt geen voorraad overgedragen naar de volgende periode. Het doel is om de Markov Perfecte Evenwichten (MPE) te karakteriseren als functie van de publieke overtuigingsstaat (de hyperparameters van de verdeling).

2. Methodologie en Modelopzet

Het auteurs modelleren de interactie als een informatie-onvolledige dynamische Stackelberg-spel.

• Vraagverdeling: Om de analytische complexiteit van gecensureerde data te hanteren, gebruiken de auteurs de "newsvendor"-familie van verdelingen (Braden en Freimer, 1991). De conditionele vraagverdeling wordt gegeven door:
  $$F(y | \theta) = 1 - e^{-\theta \ell(y)}$$
  waarbij $\ell(y)$ een differentieerbare, stijgende functie is. Een specifiek geval is de Weibull-verdeling ($\ell(y) = y^k$), die de exponentiële verdeling omvat voor $k=1$.
• Bayesiaanse Updating: De prior voor de parameter $\Theta$ is een Gamma-verdeling met hyperparameters $(a, b)$ (vorm en snelheid). Door de keuze van de likelihood en de geconjugeerde prior, behoudt de posterior dezelfde functionele vorm. De hyperparameters worden bijgewerkt na elke periode:
  • $a_{t+1} = a_t + \mathbb{1}_{\{s_t < q_t\}}$ (toename bij exacte observatie).
  • $b_{t+1} = b_t + \ell(s_t)$ (toename gebaseerd op de gerealiseerde verkoop).
• Oplossingsconcept: De auteurs gebruiken Markov Perfect Equilibrium (MPE). De strategieën hangen alleen af van de huidige staat (de hyperparameters $a_t, b_t$) en niet van de volledige geschiedenis.
• Dimensionaliteitsreductie: Een cruciale methodologische stap is het toepassen van een schaaltechniek (gebaseerd op Lariviere en Porteus, 1999) om het probleem te reduceren van een tweedimensionale staat $(a, b)$ naar een eendimensionale standaardvorm die alleen afhangt van $a$.

3. Belangrijkste Bijdragen

De paper levert drie fundamentele bijdragen aan de literatuur over supply chain contracts en dynamisch leren:

1. Dynamisch Contracting met Gecensureerd Leren: Het is een van de eerste werken dat een dynamische Stackelberg-spel analyseert waarbij zowel de fabrikant als de retailer gezamenlijk leren uit gedeelde, gecensureerde POS-data, in plaats van dat alleen de retailer leert.
2. Existentie van MPE (Weibull-vraag): Voor Weibull-vraag wordt de existentie van een MPE bewezen. De auteurs gebruiken een techniek om de dimensie van het probleem te reduceren. Hierdoor wordt de berekening teruggebracht tot een gestandaardiseerde recursie die slechts van één parameter ($a$) afhangt, in plaats van van de volledige verdeling.
3. Uniciteit en Berekenbaarheid (Exponentiële vraag): Voor het specifieke geval van exponentiële vraag ($k=1$) bewijzen ze dat het MPE uniek is en dat het kan worden berekend via een eenvoudige achterwaartse recursie (backward recursion) zonder dat er in elke periode een complex optimalisatieprobleem opgelost hoeft te worden.

4. Belangrijkste Resultaten

• Schaalbaarheid en Invariantie:
  • Voor Weibull-vraag hangt de evenwichtsgroothandelsprijs van de fabrikant alleen af van de initiële overtuiging en het aantal ongecensureerde vraagobservaties (de parameter $a$).
  • De prijs is onafhankelijk van de schaalparameter $b$ (die de grootte van de vraag bepaalt). De fabrikant hoeft zijn prijs niet aan te passen aan de schaal van de vraag, zolang de vorm van de verdeling gelijk blijft.
  • De retailer's bestelhoeveelheid en de winsten van beide partijen schalen wel met $b$ (specifiek met $b^{1/k}$).
• Exponentiële Vraag (Uniciteit):
  • Wanneer de vraag exponentieel verdeeld is, is er een unieke oplossing.
  • De optimale prijs en hoeveelheid kunnen expliciet worden uitgedrukt in termen van de waardefuncties van de volgende periode.
  • De oplossing vereist geen numerieke optimalisatie in elke stap; het is een gesloten vorm recursie.
• Asymmetrie in Prijsbeleid: De resultaten tonen een interessante asymmetrie aan: de fabrikant's prijsstrategie is ongevoelig voor de schaal van de vraag (door de schaal-invariantie van de Weibull-familie), terwijl de winsten en bestelhoeveelheden wel toenemen met de vraaggrootte.

5. Significantie en Implicaties

• Theoretisch: Het artikel vult een belangrijke leemte in de literatuur door de interactie tussen contractvorming en strategisch leren uit gecensureerde data te modelleren. Het bewijst dat complexe dynamische spellen met onvolledige informatie en censuur toch analytisch hanteerbaar kunnen zijn door slimme gebruikmaking van conjugate priors en schaaltechnieken.
• Praktisch: Voor bedrijven die werken in volatiele markten met korte productlevenscycli (waar historische data beperkt is en stockouts vaak voorkomen), biedt het model inzicht in hoe dynamische prijscontracten kunnen worden ontworpen. Het suggereert dat fabrikanten hun prijsstrategie kunnen baseren op het "aantal geleerde observaties" in plaats van op complexe schattingen van de absolute vraaggrootte, zolang de vraagverdeling de juiste vorm heeft.
• Berekenbaarheid: Door de dimensionaliteitsreductie wordt het probleem oplosbaar voor langere horizons, wat vaak een beperkende factor is in dynamische supply chain modellen.

Conclusie:
De auteurs tonen aan dat dynamische wholesale-price contracts onder onzekerheid en censuur niet alleen theoretisch onderbouwde evenwichten hebben, maar ook computable zijn. De resultaten benadrukken hoe de structuur van de vraagverdeling (Weibull vs. Exponentieel) de complexiteit van het strategisch leren en de prijsstelling fundamenteel beïnvloedt.