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Beta Regression with Autoregressive Errors for Interrupted Time Series Analysis of Proportion and Rate Outcomes: A Simulation Study

यह शोध पत्र *betark* का परिचय देता है, जो सीमित परिणामों (bounded outcomes) के इंटरप्टेड टाइम सीरीज़ विश्लेषण के लिए ऑटोरेग्रेसिव त्रुटियों के साथ बीटा रिग्रेशन के संयुक्त अधिकतम संभावना अनुमान (joint maximum likelihood estimation) हेतु एक स्टेटा (Stata) कमांड है, और सिमुलेशन के माध्यम से यह प्रदर्शित करता है कि यह मानक क्वाज़ी-लाइक्लीहुड GLMs (HAC सुधारों के साथ) की तुलना में बेहतर-कैलिब्रेटेड अनुमान प्रदान करता है, विशेष रूप से अत्यधिक निरंतर ऑटोकोरिलेशन (highly persistent autocorrelation) वाले परिदृश्यों में।

मूल लेखक: Ariel Linden

प्रकाशित 2026-07-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ariel Linden

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने वाले जासूस हैं: क्या एक नई नीति (जैसे स्कूल में सोडा बैन करना या अस्पताल में स्वच्छता के नियम बदलना) ने वास्तव में उस परिणाम को बदल दिया जिसकी आप परवाह करते हैं? शायद आप उन छात्रों के प्रतिशत को ट्रैक कर रहे हैं जो होमवर्क पूरा करते हैं, या अस्पताल में संक्रमण की दैनिक दर को। ये संख्याएँ विशेष हैं क्योंकि ये अनुपात (proportions) हैं—ये 0% से कम या 100% से अधिक नहीं हो सकतीं। वे एक बॉक्स के भीतर कैद हैं।

लंबे समय तक, जासूसों ने इस तरह के मामलों को हल करने के लिए "ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वायर्स" (OLS) नामक एक मानक उपकरण का उपयोग किया। लेकिन प्रोपोरशन (अनुपात) पर OLS का उपयोग करना ऐसा ही है जैसे चट्टानों को मापने के लिए बनाए गए पैमाने से मछली को मापने की कोशिश करना। यह इस तथ्य को अनदेखा करता है कि मछली फिसलन भरी और सीमित है; यह 110% संक्रमण दर की भविष्यवाणी कर सकता है, जो असंभव है।

इस "मछली" वाली समस्या को ठीक करने के लिए, सांख्यिकीविदों ने एक बेहतर उपकरण बनाया जिसे बीटा रिग्रेशन (Beta Regression) कहा जाता है। यह समझता है कि अनुपात एक बॉक्स के भीतर रहते हैं। लेकिन यहाँ एक मोड़ है: टाइम सीरीज़ डेटा (वह डेटा जो दिन-प्रतिदिन एकत्र किया जाता है) अक्सर "चिपचिपा" होता है। यदि आज की संक्रमण दर अधिक है, तो कल भी अधिक होने की संभावना है। इसे ऑटोकोरिलेशन (autocorrelation) कहा जाता है।

यह पेपर दो जासूसों की तुलना करता है जो चिपचिपे, बॉक्स-बाउंड डेटा के मामले को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं:

डिटेक्टिव GLM+HAC: यह जासूस बॉक्स को संभालने के लिए "बीटा रिग्रेशन" टूल का उपयोग करता है, लेकिन फिर "चिपचिपाहट" को ठीक करने के लिए न्यूवी-वेस्ट (Newey–West) स्टैंडर्ड एरर्स नामक एक पैच का उपयोग करता है। यह ऐसा है जैसे आपने रेनकोट पहना हो और फिर हवा को रोकने के लिए उसके ऊपर एक प्लास्टिक शीट टेप से चिपका दी हो।
डिटेक्टिव betark: यह जासूस एक बिल्कुल नए, कस्टम-निर्मित टूल betark का उपयोग करता है। यह केवल हवा को रोकने के लिए पैच नहीं लगाता; यह हवा को रेनकोट के डिज़ाइन में ही शामिल कर देता है। यह "चिपचिपाहट" (ऑटोरेग्रेसिव एरर्स) और "बॉक्स" (बीटा डिस्ट्रीब्यूशन) दोनों को एक साथ, एक ही एकीकृत गणना में मॉडल करता है।

द बिग शोडाउन: सिमुलेशन ने क्या खुलासा किया

लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने यह देखने के लिए कि कौन सा जासूस बेहतर है, अलग-अलग परिदृश्यों के लिए 2,000 बार एक विशाल सिमुलेशन स्टडी (कंप्यूटर प्रयोग) चलाई। उन्होंने उन मामलों का परीक्षण किया जहाँ डेटा अलग-अलग तरीकों से "चिपचिपा" था: थोड़ा चिपचिपा, लहरदार (oscillating), और बहुत अधिक चिपचिपा (अत्यधिक निरंतर/highly persistent)।

फैसला:
अधिकांश परिदृश्यों में, betark श्रेष्ठ जासूस था। इसने इस बारे में अधिक सटीक उत्तर दिए कि वह अपने निष्कर्षों के प्रति कितना आश्वस्त है।

"बहुत अधिक आत्मविश्वासी" होने का जाल: जब डेटा बहुत चिपचिपा (उच्च निरंतर ऑटोकोरिलेशन) था, तो डिटेक्टिव GLM+HAC झूठ बोलने लगा। इसने सोचा कि वह वास्तव में जितना है उससे कहीं अधिक निश्चित है। सिमुलेशन में, जब डेटा अत्यधिक चिपचिपा था और सीरीज़ छोटी थी (100 टाइम पॉइंट्स), तब GLM+HAC ने वास्तव में कोई प्रभाव न होने पर भी 60.2% बार गलत तरीके से एक "महत्वपूर्ण" परिणाम (Type I error) का दावा किया। यह वैसा ही है जैसे आग लगने पर भी स्मोक डिटेक्टर 10 में से 6 बार बज उठे।
बेहतर कैलिब्रेटर: betark ने भी इन कठिन, चिपचिपे परिदृश्यों में गलतियाँ कीं, लेकिन बहुत कम। उसी छोटी लंबाई (100 टाइम पॉइंट्स) और अत्यधिक चिपचिपे डेटा के साथ, इसने केवल 43.0% बार गलत परिणाम का दावा किया। हालांकि यह अभी भी उच्च है, लेकिन यह दूसरे जासूस से बहुत बेहतर था। जैसे-जैसे सीरीज़ लंबी होती गई (400 टाइम पॉइंट्स तक), betark बेहतर होता गया, जबकि GLM–HAC में बहुत कम सुधार हुआ।

"पावर" का भ्रम:
आप सोच सकते हैं कि जो जासूस "मुझे सिग्नल मिला!" अधिक बार चिल्लाता है, वह बेहतर है। चिपचिपे परिदृश्यों में GLM+HAC ने अधिक बार "सिग्नल!" चिल्लाया। लेकिन पेपर बताता है कि यह कोई सुपरपावर नहीं है; यह एक गड़बड़ी (glitch) है। क्योंकि GLM+HAC ने इस बात को कम करके आंका कि डेटा कितना डगमगा रहा है, इसलिए इसके "कॉन्फिडेंस इंटरवल्स" (त्रुटि का मार्जिन) बहुत संकीले थे। यह "मैं पक्का हूँ!" चिल्ला रहा था जबकि इसे कहना चाहिए था "मैं इतना भी पक्का नहीं हूँ।" betark अपनी अनिश्चितता के बारे में अधिक ईमानदार था।

"क्या होगा अगर" टेस्ट

लेखकों ने यह भी पूछा: "क्या होगा यदि हमें विवरण थोड़े गलत मिलें?"

गलत लैग ऑर्डर (Wrong Lag Order): क्या होगा यदि डेटा वास्तव में 3 दिनों के लिए चिपचिपा है, लेकिन हम टूल को बताते हैं कि यह केवल 2 दिनों के लिए चिपचिपा है? पेपर ने पाया कि betark आश्चर्यजनक रूप से मजबूत है। "चिपचिपाहट" सेटिंग में एक दिन का अंतर होने से भी सटीकता में केवल 1-2% का बदलाव आया। यह एक मजबूत (robust) टूल है।
अलग शुरुआती बिंदु: क्या होगा यदि शुरुआती संक्रमण दर बहुत कम (5%) या मध्यम (50%) हो? betark ने इन बदलावों को भी मानक परिदृश्यों की तरह ही अच्छी तरह से संभाला।

वास्तविक दुनिया का उदाहरण (द "फेक" डायबिटीज स्टडी)

यह दिखाने के लिए कि वास्तविक जीवन में यह कैसे मायने रखता है, लेखकों ने मधुमेह कार्यक्रम के बारे में एक नकली अध्ययन बनाया। उन्होंने 300 दिनों के डेटा का सिमुलेशन किया जहाँ एक क्लिनिक उच्च रक्त शर्करा वाले रोगियों के प्रतिशत को कम करने की कोशिश कर रहा था।

जब डेटा "चिपचिपा" (AR(3)) था, तो दोनों जासूसों ने इस बारे में अलग-अलग जवाब दिए कि वे कितने निश्चित थे।
एक मामले में, betark ने एक मजबूत प्रभाव (चीनी में बड़ी गिरावट) पाया लेकिन कहा, "मुझे केवल 71% यकीन है कि यह असली है" (p-value 0.283)।
GLM+HAC ने एक कमजोर प्रभाव पाया लेकिन कहा, "मुझे 86% यकीन है कि यह असली है" (p-value 0.134)।
पेपर बताता है कि दूसरा जासूस आपको धोखा दे रहा है। यह अधिक आत्मविश्वास का दावा कर रहा है जितना उसे मिलना चाहिए क्योंकि इसने डेटा की "चिपचिपाहट" को ठीक से नहीं समझा।

मुख्य निष्कर्ष

पेपर निष्कर्ष निकालता है कि betark समय के साथ प्रोपोरशन और दरों का विश्लेषण करने के लिए एक बेहतर उपकरण है, खासकर जब डेटा "चिपचिपा" हो। यह अनिश्चितता की एक अधिक ईमानदार तस्वीर प्रदान करता है।

हालाँकि, लेखक इसे जादुई छड़ी कहने में सावधान हैं। यहाँ तक कि betark भी संघर्ष कर गया जब डेटा अत्यधिक चिपचिपा (उच्च निरंतरता वाला AR(3)) था और टाइम सीरीज़ छोटी थी। उन विशिष्ट, कठिन मामलों में, सबसे अच्छा जासूस भी गलत अलार्म (Type I error) देने की उच्च संभावना रखता था।

इसलिए, यदि आप संक्रमण दर या स्कूल उपस्थिति जैसे डेटा का विश्लेषण कर रहे हैं:

पुराने, टूटे हुए पैमाने (OLS) का उपयोग न करें।
यदि आप मानक "पैच" किए गए टूल (GLM+HAC) का उपयोग करते हैं, तो यदि आपका डेटा चिपचिपा है तो बहुत सावधान रहें; आप बहुत अधिक आत्मविश्वासी हो सकते हैं।
नया betark टूल आम तौर पर बेहतर विकल्प है, लेकिन यदि आपका डेटा बहुत अधिक चिपचिपा है और आपके पास बहुत अधिक टाइम पॉइंट्स नहीं हैं, तो फिर भी अपने निष्कर्षों के बारे में बहुत सावधान रहने की आवश्यकता है।

पेपर यह दावा नहीं करता है कि उसने चिपचिपे, बाउंडेड डेटा की समस्या को हमेशा के लिए हल कर दिया है, लेकिन इसने पहले की तुलना में काम के लिए बहुत बेहतर उपकरण बनाया है।

तकनीकी सारांश: इंटरप्टेड टाइम सीरीज़ विश्लेषण के लिए ऑटोरेग्रेसिव एरर्स के साथ बीटा रिग्रेशन

समस्या विवरण
इंटरप्टेड टाइम सीरीज़ विश्लेषण (ITSA) स्वास्थ्य और नीति अनुसंधान में हस्तक्षेपों के मूल्यांकन के लिए एक मानक डिज़ाइन है। हालाँकि, जब परिणाम अनुपात या दरें होते हैं जो यूनिट इंटरवल (0, 1) के भीतर सीमित होते हैं, तो मानक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण दो अलग-अलग प्रकार के मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन (मॉडल की गलत व्याख्या) का सामना करते हैं:

बाउंडेड सपोर्ट (सीमित समर्थन): ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वायर्स (OLS) एक अनबाउंडेड, निरंतर-वैरिएंस कंडीशनल मीन (सप्रतिबंध माध्य) मानता है। बाउंडेड डेटा पर OLS लागू करने से फिट किए गए मान स्वीकार्य सीमा (0, 1) के बाहर जा सकते हैं और यह अंतर्निहित मीन-वैरिएंस संबंध की अनदेखी करता है जहाँ सीमाओं के पास वैरिएंस सिकुड़ जाता है। जबकि बीटा रिग्रेशन इसे लॉगिट स्केल और एक प्रिसिजन पैरामीटर के माध्यम से संबोधित करता है, यह आमतौर पर स्वतंत्र अवलोकनों को मानता है।
ऑटोकोरिलेटेड एरर्स (स्व-सहसंबंधित त्रुटियाँ): टाइम सीरीज़ डेटा अक्सर सीरियल डिपेंडेंस प्रदर्शित करता है। ऑटोरेग्रेसिव (AR) एरर स्ट्रक्चर की अनदेखी करने से बायस्ड स्टैंडर्ड एरर, इन्फ्लेटेड टाइप I एरर रेट और अविश्वसनीय कॉन्फिडेंस इंटरवल उत्पन्न होते हैं। निरंतर परिणामों के लिए मानक उपचार—जैसे कि हेटरोस्केडास्टिसिटी-एंड-ऑटोकोरिलेशन-कंसिस्टेंट (HAC) स्टैंडर्ड एरर्स (जैसे, न्यूई-वेस्ट) के साथ OLS का उपयोग करना—अक्सर बाउंडेड परिणामों के लिए क्वासी-बाइनोमियल जनरल लाइनियर मॉडल्स (GLMs) के माध्यम से लागू किया जाता है। हालाँकि, यह दो-चरणीय दृष्टिकोण (एक मीन मॉडल फिट करना और पोस्ट-एस्टिमेशन के बाद वैरिएंस को ठीक करना) बाउंडेड कंडीशनल डेंसिटी और ऑटोरेग्रेसिव एरर स्ट्रक्चर को एक साथ मॉडल करने में विफल रहता है।

कोई भी मौजूदा एस्टिमेटर मौजूदा नहीं है जो एक ही लाइकलीहुड फ्रेमवर्क के भीतर बाउंडेड आउटकम और ऑटोरेग्रेसिव एरर स्ट्रक्चर को एक साथ संबोधित कर सके।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन betark को पेश करता है, जो AR( $k$ ) एरर्स के साथ बीटा रिग्रेशन के लिए एक जॉइंट कंडीशनल मैक्सिमम लाइकलीहुड एस्टिमेटर का स्टेटा (Stata) कार्यान्वयन है। कार्यप्रणाली रिकर्सिव सब्स्टीट्यूशन अप्रोच (रोचा और क्रिबारी-नेटो; फरेरा एट अल. द्वारा विस्तारित) पर आधारित है, जो एक मनमाने क्रम $k$ के ऑटोरेग्रेसिव प्रोसेस के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म कंडीशनल बीटा लाइकलीहुड प्रदान करती है।

मॉडल स्पेसिफिकेशन: कंडीशनल मीन $\mu_t$ को एक लॉगिट फंक्शन के माध्यम से कोवेरिएट्स से जोड़ा जाता है, $g(\mu_t) = x'_t\beta$ । डिस्टर्बेंस टर्म $\xi_t = g(\mu_t) - x'_t\beta$ एक AR( $k$ ) प्रोसेस का अनुसरण करता है: $\xi_t = \sum_{i=1}^k \rho_i [g(y_{t-i}) - x'_{t-i}\beta] + r_t$ । महत्वपूर्ण रूप से, ऑटोरेग्रेसिव फीडबैक को लेटेंट (सुप्त) एरर्स के बजाय वास्तविक, लिंक-ट्रांसफॉर्म्ड लैग्ड आउटकम्स से बनाया गया है, जो $y_t$ के बाउंडेड सपोर्ट का सम्मान करता है।
एस्टिमेशन (अनुमान): इस मॉडल का अनुमान मीन कोएफिशिएंट्स ( $\beta$ ), प्रिसिजन पैरामीटर्स ( $\delta$ ), और ऑटोरेग्रेसिव कोएफिशिएंट्स ( $\rho$ ) पर एक साथ जॉइंट कंडीशनल लॉग-लाइकलीहुड को मैक्सिमाइज करके लगाया जाता है। यह जॉइंट एस्टिमेशन सुनिश्चित करता है कि परिणामी कोवेरिएंस मैट्रिक्स स्वाभाविक रूप से ऑटोकोरिलेशन स्ट्रक्चर को दर्शाता है, जिससे अलग से सैंडविच या दो-चरणीय सुधारों की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
तुलनाकर्ता (कंपैरेटर): अध्ययन betark का वर्तमान मानक विकल्प के विरुद्ध मूल्यांकन करता है: एक क्वासी-बाइनोमियल GLM, जिसमें लॉगिट लिंक और न्यूई-वेस्ट HAC स्टैंडर्ड एरर्स (स्टेटा में glm के साथ vce(hac nwest #) के रूप में कार्यान्वित) का उपयोग किया गया है। यह तुलनाकर्ता पहले मीन मॉडल का अनुमान लगाता है और पोस्ट-एस्टिमेशन के बाद नॉनपैरामेट्रिक वैरिएंस करेक्शन लागू करता है।

सिमुलेशन डिज़ाइन
विभिन्न स्थितियों में फाइनाइट-सैंपल गुणों के मूल्यांकन के लिए एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन अध्ययन किया गया:

डिज़ाइन: एक सिंगल-ग्रुप ITSA जिसमें एक सिंगल इंटरवेंशन पॉइंट है।
पैरामीटर्स: तीन सीरीज़ लंबाई ( $T \in \{100, 200, 400\}$ ), तीन AR ऑर्डर ( $k \in \{1, 2, 3\}$ ), और तीन ऑटोकोरिलेशन परिदृश्य (हल्का पॉजिटिव, ऑसिलेटरी, और हाई पर्सिस्टेंट)।
आउटकम्स: बायस, स्टैंडर्ड एरर रेशियो, 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल कवरेज, टाइप I एरर, और स्टैटिस्टिकल पावर।
सेंसिटिविटी: विश्लेषणों ने AR ऑर्डर मिसस्पेसिफिकेशन (एक लैग के अंतर से) और प्री-इंटरवेंशन ट्रेंड्स और शुरुआती मीन के विविधताओं की जांच की।

मुख्य परिणाम

बायस (पूर्वाग्रह): betark और GLM+HAC एस्टिमेटर दोनों ही सभी परिदृश्यों में अनिवार्य रूप से अनबायस्ड थे। इन्फेरेंशियल परफॉरमेंस में अंतर पूरी तरह से वैरिएंस एस्टिमेशन द्वारा संचालित था, न कि पॉइंट एस्टिमेशन द्वारा।
टाइप I एरर और कवरेज:
- हल्के पॉजिटिव और ऑसिलेटरी ऑटोकोरिलेशन के तहत, दोनों विधियों ने उचित प्रदर्शन किया, हालांकि GLM+HAC एस्टिमेटर ऑसिलेटरी परिदृश्यों में अधिक कंजर्वेटिव (चौड़े इंटरवल) रहा।
- हाई पर्सिस्टेंट ऑटोकोरिलेशन के तहत, GLM+HAC एस्टिमेटर ने गंभीर टाइप I एरर (शॉर्ट सीरीज़ और AR(3) प्रोसेस के साथ 60% से अधिक) और खराब कवरेज का सामना किया।
- betark ने अधिकांश परिदृश्यों में बेहतर-कैलिब्रेटेड इन्फरेंस प्रदान किया। हालांकि betark ने भी अत्यधिक पर्सिस्टेंट AR(3) प्रक्रियाओं के तहत बढ़ा हुआ टाइप I एरर दिखाया, लेकिन यह इन्फ्लेशन (वृद्धि) कंसिस्टेंटली और काफी कम थी (उदाहरण के लिए, $T=100$ पर AR(3) के लिए 43.0% बनाम 65.4%)।
स्टैंडर्ड एरर कैलिब्रेशन: betark का स्टैंडर्ड एरर रेशियो आदर्श मान 1.0 के करीब था। GLM+HAC एस्टिमेटर ने हाई पर्सिस्टेंस के तहत व्यवस्थित रूप से स्टैंडर्ड एरर को कम करके आंका (रेशियो 0.22 जितना कम), जिससे पावर इन्फ्लेशन और टाइप I एरर अधिकता देखी गई।
मजबूती (Robustness): AR ऑर्डर को एक लैग से मिसस्पेसिफाई करने का betark के प्रदर्शन पर केवल मामूली प्रभाव पड़ा (कवरेज में 1-2 प्रतिशत अंक का अंतर), जो यह सुझाव देता है कि विधि मध्यम लैग-ऑर्डर अनिश्चितता के प्रति मजबूत है। सेंसिटिविटी विश्लेषणों ने पुष्टि की कि निष्कर्ष विभिन्न शुरुआती मीन और प्री-इंटरवेंशन ट्रेंड्स में भी समान रहे।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि यह ITSA के लिए एक जॉइंट कंडीशनल मैक्सिमम लाइकलीहुड बीटा-AR( $k$ ) मॉडल के फाइनाइट-सैंपल इन्फेरेंशियल गुणों का पहला व्यवस्थित मूल्यांकन प्रदान करता है। प्राथमिक योगदान यह प्रदर्शन करना है कि betark, क्वासी-बाइनोमियल GLM और न्यूई-वेस्ट HAC एरर्स की तुलना में बेहतर-कैलिब्रेटेड इन्फरेंस प्रदान करता है, विशेष रूप से उच्च पर्सिस्टेंस और उच्च-क्रम के ऑटोरेग्रेशन की स्थितियों में जहाँ एस्टिमेटर के चुनाव के परिणाम सबसे गंभीर होते हैं।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हाई-पर्सिस्टेंस परिदृश्यों में GLM+HAC एस्टिमेटर का "पावर एडवांटेज" एंटीकंजर्वेटिव स्टैंडर्ड एरर्स (बढ़े हुए टाइप I एरर) का एक आर्टिफैक्ट है, न कि वास्तविक सांख्यिकीय दक्षता। जबकि betark एक महत्वपूर्ण सुधार है, अध्ययन विनम्रतापूर्वक स्वीकार करता है कि यहाँ तक कि bet भने betarkभी मध्यम सैंपल साइज ( $T=400$ ) में सबसे कठिन स्थितियों (AR(3) हाई पर्सिस्टेंस) के तहत टाइप I एरर के बने रहने के कारण इन्फेरेंशियल चुनौती को पूरी तरह से हल नहीं करता है। पेपर निष्कर्ष निकालता है कि जिन शोधकर्ताओं के पास संदिग्ध उच्च-क्रम की सीरियल डिपेंडेंस वाले बाउंडेड आउटकम हैं, उन्हें ऑटोकोरिलेशन स्ट्रक्चर को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए और सावधानी बरतनी चाहिए, यह नोट करते हुए किbetark` बेहतर है लेकिन सभी चरम परिदृश्यों के लिए पूर्ण समाधान नहीं है।

द बिग शोडाउन: सिमुलेशन ने क्या खुलासा किया

"क्या होगा अगर" टेस्ट

वास्तविक दुनिया का उदाहरण (द "फेक" डायबिटीज स्टडी)

मुख्य निष्कर्ष

तकनीकी सारांश: इंटरप्टेड टाइम सीरीज़ विश्लेषण के लिए ऑटोरेग्रेसिव एरर्स के साथ बीटा रिग्रेशन

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