Beta Regression with Autoregressive Errors for Interrupted Time Series Analysis of Proportion and Rate Outcomes: A Simulation Study

Résumé technique : Régression bêta avec erreurs autorégressives pour l'analyse de séries temporelles interrompues

Énoncé du problème
L'analyse de séries temporelles interrompues (ITSA) est un plan standard pour évaluer les interventions dans la recherche en santé et en politiques publiques. Cependant, lorsque les résultats sont des proportions ou des taux bornés dans l'intervalle unité (0, 1), les approches analytiques standards font face à deux formes distinctes de spécification erronée du modèle :

1. Support borné : Les moindres carrés ordinaires (MCO) supposent une moyenne conditionnelle non bornée à variance constante. L'application des MCO à des données bornées peut produire des valeurs ajustées en dehors de la plage admissible (0, 1) et ignore la relation intrinsèque moyenne-variance où la variance diminue près des limites. Bien que la régression bêta traite cela en modélisant la moyenne conditionnelle sur une échelle logit et un paramètre de précision, elle suppose généralement des observations indépendantes.
2. Erreurs autocorrelées : Les données de séries temporelles présentent fréquemment une dépendance sérielle. Ignorer les structures d'erreur autorégressives (AR) conduit à des erreurs types biaisées, des taux d'erreur de type I gonflés et des intervalles de confiance peu fiables. Le remède standard pour les variables continues — utiliser les MCO avec des erreurs types HAC (Heteroskedasticity- and Autocorrelation-Consistent) de Newey–West — est souvent appliqué aux résultats bornés via des modèles linéaires généralisés (GLM) quasi-binomiaux. Cependant, cette approche en deux étapes (ajustement d'un modèle de moyenne suivi d'une correction de la variance post-estimation) ne parvient pas à modéliser conjointement la densité conditionnelle bornée et la structure d'erreur autorégressive.

Aucun estimateur existant ne traite simultanément la nature bornée du résultat et la structure d'erreur autorégressive au sein d'un cadre de vraisemblance unique.

Méthodologie
L'étude introduit betark, une implémentation Stata d'un estimateur de maximum de vraisemblance conditionnel joint pour la régression bêta avec des erreurs AR($k$). La méthodologie repose sur l'approche de substitution récursive (Rocha et Cribari-Neto ; étendue par Ferreira et al.), qui produit une vraisemblance bêta conditionnelle de forme fermée pour un processus autorégressif d'ordre $k$ arbitraire.

• Spécification du modèle : La moyenne conditionnelle $\mu_t$ est liée aux covariables via une fonction logit, $g(\mu_t) = x'_t\beta$. Le terme de perturbation $\xi_t = g(\mu_t) - x'_t\beta$ suit un processus AR($k$) : $\xi_t = \sum_{i=1}^k \rho_i [g(y_{t-i}) - x'_{t-i}\beta] + r_t$. Crucialement, la rétroaction autorégressive est construite à partir de résultats décalés réalisés et transformés par la fonction de lien plutôt qu'à partir d'erreurs latentes, respectant ainsi le support borné de $y_t$.
• Estimation : Le modèle est estimé en maximisant la log-vraisemblance conditionnelle jointe sur les coefficients de la moyenne ($\beta$), les paramètres de précision ($\delta$) et les coefficients autorégressifs ($\rho$) simultanément. Cette estimation jointe garantit que la matrice de covariance résultante reflète intrinsèquement la structure d'autocorrélation, éliminant le besoin de corrections séparées de type sandwich ou en deux étapes.
• Comparateur : L'étude évalue betark par rapport à l'alternative standard actuelle : un GLM quasi-binomial avec un lien logit, couplé à des erreurs types HAC Newey–West (implémenté dans Stata via glm avec vce(hac nwest #)). Ce comparateur estime d'abord le modèle de moyenne et applique ensuite une correction de variance non paramétrique post-estimation.

Plan de simulation
Une étude de simulation de Monte Carlo a été menée pour évaluer les propriétés en échantillon fini à travers :

• Design : ITSA à groupe unique avec un point d'intervention unique.
• Paramètres : Trois longueurs de séries ($T \in \{100, 200, 400\}$), trois ordres AR ($k \in \{1, 2, 3\}$), et trois scénarios d'autocorrélation (positive légère, oscillatoire, et forte persistance).
• Résultats : Biais, ratio d'erreur type, couverture de l'intervalle de confiance à 95 %, erreur de type I et puissance statistique.
• Sensibilité : Les analyses ont examiné la spécification erronée de l'ordre AR (décalage d'un ordre) et les variations de la moyenne initiale et des tendances pré-intervention.

Résultats clés

1. Biais : Les estimateurs betark et GLM+HAC étaient essentiellement sans biais dans tous les scénarios. Les différences de performance inférentielle étaient entièrement dictées par l'estimation de la variance, et non par l'estimation ponctuelle.
2. Erreur de type I et Couverture :
   • Sous une autocorrélation positive légère et oscillatoire, les deux méthodes ont performé raisonnablement, bien que l'estimateur GLM+HAC ait eu tendance à être trop conservateur (intervalles plus larges) dans les scénarios oscillatoires.
   • Sous une forte persistance, l'estimateur GLM+HAC a souffert d'une inflation sévère de l'erreur de type I (dépassant 60 % dans les séries courtes avec des processus AR(3)) et d'une mauvaise couverture.
   • betark a fourni une inférence mieux calibrée dans la plupart des scénarios. Bien que betark ait également présenté une élévation de l'erreur de type I sous des processus AR(3) à forte persistance, cette inflation était systématiquement et sensiblement plus faible que celle du comparateur GLM+HAC (par exemple, 43,0 % contre 65,4 % pour AR(3) à $T=100$).
3. Calibration de l'erreur type : Les ratios d'erreur type de betark étaient plus proches de la valeur idéale de 1,0. L'estimateur GLM+HAC a systématiquement sous-estimé les erreurs types (ratios aussi bas que 0,22) sous forte persistance, conduisant à l'inflation de la puissance et de l'erreur de type I observées.
4. Robustesse : La spécification erronée de l'ordre AR d'un seul décalage n'a eu qu'un effet modeste sur la performance de betark (différence de 1 à 2 points de pourcentage de couverture), suggérant que la méthode est robuste à une incertitude modérée de l'ordre de décalage. Les analyses de sensibilité ont confirmé que les résultats se maintenaient malgré les variations de la moyenne initiale et des tendances pré-intervention.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir la première évaluation systématique des propriétés de l'inférence en échantillon fini d'un modèle Beta-AR($k$) par maximum de vraisemblance conditionnelle jointe pour l'ITSA. La principale contribution est la démonstration que betark offre une inférence mieux calibrée que le GLM quasi-binomial avec les erreurs HAC Neway–West, particulièrement dans des conditions de forte persistance et d'autocorrélation d'ordre élevé où les conséquences du choix de l'estimateur sont les plus graves.

Les auteurs soulignent que l'« avantage de puissance » de l'estimateur GLM+HAC dans les scénarios de forte persistance est un artefact d'erreurs types anticonservatrices (inflation de l'erreur de type I) plutôt qu'une véritable efficacité statistique. Bien que betark représente une amélioration significative, l'étude reconnaît modestement que même betark ne résout pas totalement le défi inférentiel dans les conditions les plus exigeantes (AR(3) forte persistance) avec des tailles d'échantillon modérées ($T=400$), où l'erreur de type I reste élevée. L'article conclut que les chercheurs analysant des résultats bornés avec une suspicion de dépendance sérielle d'ordre élevé devraient caractériser la structure d'autocorrélation et faire preuve de prudence, notant que betark est préférable mais n'est pas une solution complète pour tous les scénarios extrêmes.