Beta Regression with Autoregressive Errors for Interrupted Time Series Analysis of Proportion and Rate Outcomes: A Simulation Study

Resumen Técnico: Regresión Beta con Errores Autorregresivos para el Análisis de Series Temporales Interrumpidas

Planteamiento del Problema
El análisis de series temporales interrumpidas (ITSA, por sus siglas en inglés) es un diseño estándar para evaluar intervenciones en la investigación en salud y políticas públicas. Sin embargo, cuando los resultados son proporciones o tasas acotadas dentro del intervalo unitario (0, 1), los enfoques analíticos estándar enfrentan dos formas distintas de especificación errónea del modelo:

1. Soporte Acotado: Los Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS) asumen una media condicional de varianza constante y no acotada. Aplicar OLS a datos acotados puede generar valores ajustados fuera del rango admisible (0, 1) e ignora la relación intrínseca media-varianza donde la varianza se reduce cerca de los límites. Si bien la regresión Beta aborda esto modelando la media condicional en una escala logit y un parámetro de precisión, típicamente asume observaciones independientes.
2. Errores Autocorrelacionados: Los datos de series temporales frecuentemente exhiben dependencia serial. Ignorar las estructuras de error autorregresivo (AR) conduce a errores estándar sesgados, tasas de error Tipo I infladas e intervalos de confianza poco fiables. El remedio estándar para resultados continuos —el uso de OLS con errores estándar consistentes con heterocedasticidad y autocorrelación (HAC) (por ejemplo, Newey–West)— se aplica a menudo a resultados acotados a través de Modelos Lineales Generalizados (GLM) cuasi-binomiales. Sin embargo, este enfoque de dos etapas (ajuste de un modelo de media y corrección de la varianza post-estimación) no modela conjuntamente la densidad condicional acotada y la estructura de error autorregresivo.

Ningún estimador existente aborda simultáneamente la naturaleza acotada del resultado y la estructura de error autorregresivo dentro de un único marco de verosimilitud.

Metodología
El estudio introduce betark, una implementación en Stata de un estimador de máxima verosimilitud condicional conjunta para la regresión Beta con errores AR($k$). La metodología se basa en el enfoque de sustitución recursiva (Rocha y Cribari-Neto; extendido por Ferreira et al.), que produce una verosimilitud Beta condicional de forma cerrada para un proceso autorregresivo de orden $k$ arbitrario.

• Especificación del Modelo: La media condicional $\mu_t$ se vincula a las covariables mediante una función logit, $g(\mu_t) = x'_t\beta$. El término de perturbación $\xi_t = g(\mu_t) - x'_t\beta$ sigue un proceso AR($k$): $\xi_t = \sum_{i=1}^k \rho_i [g(y_{t-i}) - x'_{t-i}\beta] + r_t$. Crucialmente, la retroalimentación autorregresiva se construye a partir de los valores rezagados realizados y transformados por la función de enlace, en lugar de errores latentes, respetando el soporte acotado de $y_t$.
• Estimación: El modelo se estima maximizando la verosimilitud condicional conjunta sobre los coeficientes de la media ($\beta$), los parámetros de precisión ($\delta$) y los coeficientes autorregresivos ($\rho$) de forma simultánea. Esta estimación conjunta asegura que la matriz de covarianza resultante refleje inherentemente la estructura de autocorrelación, eliminando la necesidad de correcciones separadas de tipo sándwich o de dos etapas.
• Comparador: El estudio evalúa betark contra el estándar alternativo actual: un GLM cuasi-binomial con un enlace logit, emparejado con errores estándar HAC Newey–West (implementado en Stata como glm con vce(hac nwest #)). Este comparador estima primero el modelo de la media y aplica una corrección de varianza no paramétrica post-estimación.

Diseño de la Simulación
Se llevó a cabo un estudio de simulación de Monte Carlo para evaluar las propiedades de muestra finita a través de:

• Diseño: ITSA de un solo grupo con un único punto de intervención.
• Parámetros: Tres longitudes de serie ($T \in \{100, 200, 400\}$), tres órdenes AR ($k \in \{1, 2, 3\}$) y tres escenarios de autocorrelación (positiva leve, oscilatoria y alta persistencia).
• Resultados: Sesgo, razón de error estándar, cobertura de intervalo de confianza del 95%, error Tipo I y potencia estadística.
• Sensibilidad: Los análisis examinaron la especificación errónea del orden de AR (desviación por un rezago) y variaciones en la media inicial y las tendencias pre-intervención.

Resultados Clave

1. Sesgo: Tanto betark como el estimador GLM+HAC fueron esencialmente insesgados en todos los escenarios. Las diferencias en el desempeño inferencial fueron impulsadas enteramente por la estimación de la varianza, no por la estimación de la media.
2. Error Tipo I y Cobertura:
   • Bajo autocorrelación positiva leve y oscilatoria, ambos métodos funcionaron razonablemente, aunque el estimador GLM+HAC tendió a ser excesivamente conservador (intervalos más amplios) en escenarios oscilatorios.
   • Bajo una alta persistencia, el estimador GLM+HAC sufrió una severa inflación en el error Tipo I (superando el 60% en series cortas con procesos AR(3)) y una pobre cobertura.
   • betark proporcionó una inferencia mejor calibrada en la mayoría de los escenarios. Aunque betark también exhibió una elevada tasa de error Tipo I bajo procesos de alta persistencia AR(3), la inflación fue consistentemente menor y sustancialmente inferior a la del comparador GLM+HAC (por ejemplo, 43.0% frente a 65.4% para AR(3) con $T=100$).
3. Calibración del Error Estándar: Las razones de error estándar de betark estuvieron más cerca del valor ideal de 1.0. El estimador GLM+HAC subestimó sistemáticamente los errores estándar (razones tan bajas como 0.22) bajo alta persistencia, lo que condujo a la observada inflación de la potencia y el exceso de error Tipo I.
4. Robustez: La especificación errónea del orden de AR por un solo rezago tuvo un efecto modesto en el desempeño de betk (una diferencia de 1 a 2 puntos porcentuales en la cobertura), lo que sugiere que el método es robusto ante la incertidumbre moderada del orden de rezagos. Los análisis de sensibilidad confirmaron que los hallazgos se mantuvieron a través de variaciones en las medias iniciales y las tendencias pre-intervención.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera evaluación sistemática de las propiedades inferenciales de muestra finita de un modelo Beta-AR($k$) de máxima verosimilitud condicional conjunta para ITSA. La contribución principal es la demostración de que betark ofrece una inferencia mejor calibrada que el GLM cuasi-binomial con errores HAC Newey–West, particularmente bajo condiciones de alta persistencia y autorregresión de orden superior, donde las consecuencias de la elección del estimador son más graves.

Los autores enfatizan que la "ventaja de potencia" del estimador GLM+HAC en escenarios de alta persistencia es un artefacto de errores estándar anticonservadores (inflación del error Tipo I) y no de una eficiencia estadística genuina. Si bien betark representa una mejora significativa, el estudio reconoce modestamente que incluso betark no resuelve completamente el desafío inferencial bajo las condiciones más exigentes (AR(3) de alta persistencia) con tamaños de muestra moderados ($T=400$), donde el error Tipo I sigue elevado. El artículo concluye que los investigadores que analicen resultados acotados con sospecha de dependencia serial de alto orden deben caracterizar la estructura de autocorrelación y actuar con cautela, señalando que betark es preferible pero no es una solución completa para todos los escenarios extremos.