Beta Regression with Autoregressive Errors for Interrupted Time Series Analysis of Proportion and Rate Outcomes: A Simulation Study

Resumo Técnico: Regressão Beta com Erros Autorregressivos para Análise de Séries Temporais Interrompidas

Definição do Problema
A análise de séries temporais interrompidas (ITSA) é um delineamento padrão para avaliar intervenções em pesquisas de saúde e políticas públicas. No entanto, quando os desfechos são proporções ou taxas limitadas ao intervalo unitário (0, 1), as abordagens analíticas padrão enfrentam dois tipos distintos de erro de especificação do modelo:

1. Suporte Limitado: A Regressão de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) assume uma média condicional não limitada e de variância constante. Aplicar MQO a dados limitados pode resultar em valores ajustados fora do intervalo admissível (0, 1) e ignora a relação intrínseca média-variância, onde a variância diminui próximo aos limites. Embora a regressão Beta trate isso ao modelar a média condicional em uma escala logit e um parâmetro de precisão, ela tipicamente assume observações independentes.
2. Erros Autocorrelacionados: Dados de séries temporais frequentemente exibem dependência serial. Ignorar estruturas de erro autorregressivas (AR) leva a erros padrão enviesados, taxas de Erro Tipo I infladas e intervalos de confiança não confiáveis. O remédio padrão para desfechos contínuos — o uso de MQO com erros padrão consistentes para heterocedasticidade e autocorrelação (HAC) (ex: Newey–West) — é frequentemente aplicado a desfechos limitados via Modelos Lineares Generalizados (GLM) quase-binomiais. No entanto, essa abordagem de duas etapas (ajuste de um modelo de média e correção de variância pós-estimativa) falha em modelar conjuntamente a densidade condicional limitada e a estrutura de erro autorregressiva.

Nenhum estimador existente aborda simultaneamente a natureza limitada do desfecho e a estrutura de erro autorregressiva dentro de um único framework de verossimilhança.

Metodologia
O estudo introduz o betark, uma implementação em Stata de um estimador de máxima verossimilhança condicional conjunta para regressão Beta com erros AR($k$). A metodologia baseia-se na abordagem de substituição recursiva (Rocha e Cribari-Neto; estendida por Ferreira et al.), que produz uma verossimilhança Beta condicional de forma fechada para um processo autorregressivo de ordem $k$ arbitrária.

• Especificação do Modelo: A média condicional $\mu_t$ é ligada às covariáveis via uma função logit, $g(\mu_t) = x'_t\beta$. O termo de distúrbio $\xi_t = g(\mu_t) - x'_t\beta$ segue um processo AR($k$): $\xi_t = \sum_{i=1}^k \rho_i [g(y_{t-i}) - x'_{t-i}\beta] + r_t$. Crucialmente, o feedback autorregressivo é construído a partir de resultados defasados realizados e transformados pelo link, em vez de erros latentes, respeitando o suporte limitado de $y_t$.
• Estimativa: O modelo é estimado pela maximização da log-verossimilhança condicional conjunta sobre os coeficientes da média ($\beta$), parâmetros de precisão ($\delta$) e coeficientes autorregressivos ($\rho$) simultaneamente. Essa estimativa conjunta garante que a matriz de covariância resultante reflita inerentemente a estrutura de autocorrelação, eliminando a necessidade de correções separadas de sanduíche ou de duas etapas.
• Comparador: O estudo avalia o betark contra o padrão atual alternativo: um GLM quase-binomial com link logit, pareado com erros padrão HAC Newey–West (implementado no Stata como glm com vce(hac nwest #)). Este comparador estima o modelo de média primeiro e aplica uma correção de variância não paramétrica pós-estimativa.

Design de Simulação
Um estudo de simulação de Monte Carlo foi conduzido para avaliar as propriedades de amostra finita através de:

• Design: ITSA de grupo único com um único ponto de intervenção.
• Parâmetros: Três comprimentos de série ($T \in \{100, 200, 400\}$), três ordens de AR ($k \in \{1, 2, 3\}$) e três cenários de autocorrelação (positiva leve, oscilatória e alta persistência).
• Desfechos: Viés, razão de erro padrão, cobertura de intervalo de confiança de 95%, Erro Tipo I e poder estatístico.
• Sensibilidade: As análises examinaram a especificação incorreta da ordem de AR (erro de um lag) e variações na média inicial e nas tendências pré-intervenção.

Principais Resultados

1. Viés: Tanto o betark quanto o estimador GLM+HAC foram essencialmente não enviesados em todos os cenários. As diferenças no desempenho inferencial foram impulsionadas inteiramente pela estimativa de variância, não pela estimativa do ponto.
2. Erro Tipo I e Cobertura:
   • Sob autocorrelação positiva leve e oscilatória, ambos os métodos performaram razoavelmente, embora o estimador GLM+HAC tenha tendido a ser excessivamente conservador (intervalos mais largos) em cenários oscilatórios.
   • Sob alta persistência, o estimador GLM+HAC sofreu inflação severa no Erro Tipo I (excedendo 60% em séries curtas com processos AR(3)) e baixa cobertura.
   • O betark forneceu inferência melhor calibrada na maioria dos cenários. Embora o betark também tenha exibido inflação de Erro Tipo I sob processos AR(3) de alta persistência, a inflação foi consistentemente e substancialmente menor que a do comparador GLM+HAC (ex: 43,0% vs. 65,4% para AR(3) em $T=100$).
3. Calibração de Erro Padrão: As razões de erro padrão do betark foram mais próximas do valor ideal de 1,0. O estimador GLM+HAC subestimou sistematicamente os erros padrão (razões tão baixas quanto 0,22) sob alta persistência, levando à observada inflação de poder e de Erro Tipo I.
4. Robustez: A especificação incorreta da ordem de AR por um único lag teve apenas um efeito modesto no desempenho do betark (diferença de 1 a 2 pontos percentuais na cobertura), sugerindo que o método é robusto à incerteza moderada da ordem de lag. Análises de sensibilidade confirmaram que os achados se mantiveram através de variações na média inicial e tendências pré-intervenção.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer a primeira avaliação sistemática das propriedades de inferência de amostra finita de um modelo Beta-AR($k$) de máxima verossimilhança condicional conjunta para ITSA. A principal contribuição é a demonstração de que o betark oferece uma inferência melhor calibrada do que o GLM quase-binomial com erros padrão HAC Newey–West, particularmente sob condições de alta persistência e autorregressão de ordem superior, onde as consequências da escolha do estimador são mais severas.

Os autores enfatizam que a "vantagem de poder" do GLM+HAC em cenários de alta persistência é um artefato de erros padrão anticonservadores (inflação de Erro Tipo I) e não de genuína eficiência estatística. Embora o betark represente uma melhoria significativa, o estudo reconhece modestamente que mesmo o betark não resolve totalmente o desafio inferencial sob as condições mais exigentes (AR(3) de alta persistência) em amostras moderadas ($T=400$), onde o Erro Tipo I permanece elevado. O artigo conclui que pesquisadores que analisam desfechos limitados com suspeita de dependência serial de ordem superior devem caracterizar a estrutura de autocorrelação e exercer cautela, observando que o betark é preferível, mas não é uma solução completa para todos os cenários extremos.