Beta Regression with Autoregressive Errors for Interrupted Time Series Analysis of Proportion and Rate Outcomes: A Simulation Study

Technische Samenvatting: Beta-regressie met autoregressieve fouten voor Interrupted Time Series Analyse

Probleemstelling
Interrupted time series analyse (ITSA) is een standaardontwerp voor het evalueren van interventies in gezondheids- en beleidsonderzoek. Echter, wanneer uitkomsten proporties of ratio's zijn die begrensd zijn binnen het eenheidsinterval (0, 1), worden standaard analytische benaderingen geconfronteerd met twee afzonderlijke vormen van modelmisspecificatie:

1. Begrensde steun (Bounded Support): Ordinary Least Squares (OLS) gaat uit van een onbegrensde, constante variantie van het voorwaardelijke gemiddelde. Het toepassen van OLS op begrensde data kan leiden tot gefitte waarden buiten het toegestane bereik (0, 1) en negeert de intrinsieke gemiddelde-variantie relatie waarbij de variantie afneemt nabij de grenzen. Hoewel Beta-regressie dit aanpakt door het voorwaardelijke gemiddelde op een logit-schaal en een precisieparameter te modelleren, gaat het doorgaans uit van onafhankelijke observaties.
2. Autocorrelatie in fouten: Tijdreeksgegevens vertonen frequent seriële afhankelijkheid. Het negeren van autoregressieve (AR) foutstructuren leidt tot vertekende standaardfouten, opgeblazen Type I-foutpercentages en onbetrouwbare betrouwbaarheidsintervallen. De standaardoplossing voor continue uitkomsten—het gebruik van OLS met Heteroskedasticity- and Autocorrelation-Consistent (HAC) standaardfouten (bijv. Newey–West)—wordt vaak toegepast op begrensde uitkomsten via quasi-binomiale Generalized Linear Models (GLM's). Deze tweestapsbenadering (het fitten van een gemiddeldemodel en het achteraf corrigeren van de variantie) faalt echter in het gelijktijdig modelleren van de begrensde voorwaardelijke dichtheid en de autoregressieve foutstructuur.

Geen enkele bestaande estimator adresseert gelijktijdig de begrensde aard van de uitkomst en de autoregressieve foutstructuur binnen één enkel likelihood-raamwerk.

Methodologie
De studie introduceert betark, een Stata-implementatie van een gezamenlijke voorwaardelijke maximum likelihood-estimator voor Beta-regressie met AR($k$)-fouten. De methodologie rust op de recursieve substitutie-aanpak (Rocha en Cribari-Neto; uitgebreid door Ferreira et al.), die een gesloten vorm van de voorwaardelijke Beta-likelihood oplevert voor een autoregressief proces van een willekeurige orde $k$.

• Modelspecificatie: Het voorwaardelijke gemiddelde $\mu_t$ wordt via een logitfunctie aan covariaten gekopperd, $g(\mu_t) = x'_t\beta$. De verstoringsterm $\xi_t = g(\mu_t) - x'_t\beta$ volgt een AR($k$)-proces: $\xi_t = \sum_{i=1}^k \rho_i [g(y_{t-i}) - x'_{t-i}\beta] + r_t$. Cruciaal is dat de autoregressieve feedback wordt geconstrueerd vanuit gerealiseerde, link-getransformeerde vertraagde uitkomsten in plaats van latente fouten, waardoor de begrensde steun van $y_t$ wordt gerespecteerd.
• Schatting: Het model wordt geschat door de gezamenlijke voorwaardelijke log-likelihood te maximaliseren over de gemiddelde coëfficiënten ($\beta$), precisieparameters ($\delta$) en autoregressieve coëfficiënten ($\rho$) simultaan. Deze gezamenlijke schatting zorgt ervoor dat de resulterende covariantie-matrix inherent de autocorrelatiestructuur reflecteert, waardoor een aparte sandwich- of tweestapscorrectie overbodig is.
• Comparator: De studie evalueert betark tegenover de huidige standaard alternatieve methode: een quasi-binomiale GLM met een logit-link, gekoppeld aan Newey–West HAC-standaardfouten (geïmplementeerd in Stata als glm met vce(hac nwest #)). Deze comparator schat eerst het gemiddelde model en past achteraf een non-parametrische variantiecorrectie toe.

Simulatieontwerp
Een Monte Carlo-simulatiestudie werd uitgevoerd om de eigenschappen in eindige steekproeven te evalueren over:

• Ontwerp: Single-group ITSA met een enkel interventiepunt.
• Parameters: Drie reekslengtes ($T \in \{100, 200, 400\}$), drie AR-ordes ($k \in \{1, 2, 3\}$), en drie autocorrelatiescenario's (licht positief, oscillerend en hoge persistentie).
• Uitkomsten: Bias, standaardfoutratio, 95% betrouwbaarheidsintervaldekking, Type I-fout en statistische power.
• Sensitiviteit: Analyses onderzochten de misspecificatie van de AR-orde (afwijking van één lag) en variaties in het startgemiddelde en pre-interventie trends.

Belangrijkste Resultaten

1. Bias: Zowel betark als de GLM+HAC-estimator waren in essentie onbevooroordeeld in alle scenario's. Verschillen in inferentiële prestaties werden volledig gedreven door de variantieschatting, niet door de punt-schatting.
2. Type I-fout en Dekking:
   • Onder licht positieve en oscillerende autocorrelatie presteerden beide methoden redelijk, hoewel de GLM+HAC-estimator de neiging had conservatiever te zijn (bredere intervallen) in oscillerende scenario's.
   • Onder hoge persistentie leed de GLM+HAC-estimator onder ernstige inflatie van de Type I-fout (meer dan 60% in korte reeksen met AR(3)-processen) en slechte dekking.
   • betark bood beter gekalibreerde inferentie in de meeste scenario's. Hoewel betark ook een verhoogde Type I-fout vertoonde onder zeer persistente AR(3)-processen, was de inflatie consistent en substantieel lager dan die van de GLM+HAC-comparator (bijv. 43,0% vs. 65,4% voor AR(3) bij $T=100$).
3. Standaardfout-kalibratie: De standaardfoutratio's van betark lagen dichter bij de ideale waarde van 1,0. De GLM+HAC-estimator onderschatte systematisch de standaardfouten (ratio's zo laag als 0,22) onder hoge persistentie, wat leidde tot de geobserveerde power-inflatie en Type I-fout-excess.
4. Robuustheid: Het misspecificeren van de AR-orde met één lag had slechts een bescheiden effect op de prestaties van betark (1–2 procentpunt verschil in dekking), wat suggereert dat de methode robuust is tegen matige onzekerheid in de lag-orde. Sensitiviteitsanalyses bevestigden dat de bevindingen standhielden bij variërende startgemiddelden en pre-interventie trends.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de eerste systematische evaluatie te bieden van de eindige steekproef-inferentiële eigenschappen van een gezamenlijk voorwaardelijk maximum likelihood Beta-AR($k$)-model voor ITSA. De primaire bijdrage is de demonstratie dat betark een beter gekalibreerde inferentie biedt dan de quasi-binomiale GLM met Newey–West HAC-fouten, met name onder condities van hoge persistentie en hogere-orde autoregressie waar de gevolgen van de keuze van de estimator het meest ernstig zijn.

De auteurs benadrukken dat het "power-voordeel" van de GLM+HAC-estimator in scenario's met hoge persistentie een artefact is van anticonservatieve standaardfouten (geinflueerde Type I-fout) in plaats van echte statistische efficiëntie. Hoewel betark een significante verbetering vertegenwoordigt, erkent de studie bescheiden dat zelfs betark de inferentiële uitdaging onder de meest veeleisende condities (AR(3) hoge persistentie) bij matige steekproefgroottes ($T=400$) niet volledig oplost, waarbij de Type I-fout verhoogd blijft. Het artikel concludeert dat onderzoekers die begrensde uitkomsten analyseren met vermoedelijke hoge-orde seriële afhankelijkheid de autocorrelatiestructuur moeten karakteriseren en voorzichtigheid moeten betrachten, waarbij wordt opgemerkt dat betark te prefereren is maar geen volledige oplossing is voor alle extreme scenario's.